Theorem bcpasct 6923

Description: Pascal's rule for the binomial coefficient, generalized to all integers K. Equation 2 of [Gleason] p. 295.

Assertion

Ref	Expression
bcpasct	|- ((N e. NN0 /\ K e. ZZ) -> ((N C. K) + (N C. (K - 1))) = ((N + 1) C. K))

Proof of Theorem bcpasct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3963	. . . 4 |- (N = if(N e. NN0, N, 1) -> (N C. K) = (if(N e. NN0, N, 1) C. K))
2		opreq1 3963	. . . 4 |- (N = if(N e. NN0, N, 1) -> (N C. (K - 1)) = (if(N e. NN0, N, 1) C. (K - 1)))
3	1, 2	opreq12d 3973	. . 3 |- (N = if(N e. NN0, N, 1) -> ((N C. K) + (N C. (K - 1))) = ((if(N e. NN0, N, 1) C. K) + (if(N e. NN0, N, 1) C. (K - 1))))
4		opreq1 3963	. . . 4 |- (N = if(N e. NN0, N, 1) -> (N + 1) = (if(N e. NN0, N, 1) + 1))
5	4	opreq1d 3970	. . 3 |- (N = if(N e. NN0, N, 1) -> ((N + 1) C. K) = ((if(N e. NN0, N, 1) + 1) C. K))
6	3, 5	eqeq12d 1487	. 2 |- (N = if(N e. NN0, N, 1) -> (((N C. K) + (N C. (K - 1))) = ((N + 1) C. K) <-> ((if(N e. NN0, N, 1) C. K) + (if(N e. NN0, N, 1) C. (K - 1))) = ((if(N e. NN0, N, 1) + 1) C. K)))
7		opreq2 3964	. . . 4 |- (K = if(K e. ZZ, K, 1) -> (if(N e. NN0, N, 1) C. K) = (if(N e. NN0, N, 1) C. if(K e. ZZ, K, 1)))
8		opreq1 3963	. . . . 5 |- (K = if(K e. ZZ, K, 1) -> (K - 1) = (if(K e. ZZ, K, 1) - 1))
9	8	opreq2d 3971	. . . 4 |- (K = if(K e. ZZ, K, 1) -> (if(N e. NN0, N, 1) C. (K - 1)) = (if(N e. NN0, N, 1) C. (if(K e. ZZ, K, 1) - 1)))
10	7, 9	opreq12d 3973	. . 3 |- (K = if(K e. ZZ, K, 1) -> ((if(N e. NN0, N, 1) C. K) + (if(N e. NN0, N, 1) C. (K - 1))) = ((if(N e. NN0, N, 1) C. if(K e. ZZ, K, 1)) + (if(N e. NN0, N, 1) C. (if(K e. ZZ, K, 1) - 1))))
11		opreq2 3964	. . 3 |- (K = if(K e. ZZ, K, 1) -> ((if(N e. NN0, N, 1) + 1) C. K) = ((if(N e. NN0, N, 1) + 1) C. if(K e. ZZ, K, 1)))
12	10, 11	eqeq12d 1487	. 2 |- (K = if(K e. ZZ, K, 1) -> (((if(N e. NN0, N, 1) C. K) + (if(N e. NN0, N, 1) C. (K - 1))) = ((if(N e. NN0, N, 1) + 1) C. K) <-> ((if(N e. NN0, N, 1) C. if(K e. ZZ, K, 1)) + (if(N e. NN0, N, 1) C. (if(K e. ZZ, K, 1) - 1))) = ((if(N e. NN0, N, 1) + 1) C. if(K e. ZZ, K, 1))))
13		1nn0 6071	. . . 4 |- 1 e. NN0
14	13	elimel 2391	. . 3 |- if(N e. NN0, N, 1) e. NN0
15		1z 6116	. . . 4 |- 1 e. ZZ
16	15	elimel 2391	. . 3 |- if(K e. ZZ, K, 1) e. ZZ
17	14, 16	bcpasc 6922	. 2 |- ((if(N e. NN0, N, 1) C. if(K e. ZZ, K, 1)) + (if(N e. NN0, N, 1) C. (if(K e. ZZ, K, 1) - 1))) = ((if(N e. NN0, N, 1) + 1) C. if(K e. ZZ, K, 1))
18	6, 12, 17	dedth2h 2384	1 |- ((N e. NN0 /\ K e. ZZ) -> ((N C. K) + (N C. (K - 1))) = ((N + 1) C. K))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  ifcif 2358  (class class class)co 3958  1c1 5218   + caddc 5220   - cmin 5275  NN0cn0 5280  ZZcz 5281   C. cbc 6908

This theorem is referenced by:  binomlem5 7023

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-n0 6057  df-z 6093  df-seq1 6258  df-fac 6884  df-bc 6909

Copyright terms: Public domain