Theorem bcthlem1 7961

Description: Lemma for bcth 7994. Property of exponentially decreasing terms.

Assertion

Ref	Expression
bcthlem1	|- (((m e. NN /\ Y e. RR) /\ (Z e. RR /\ Z < (Y / 2))) -> (Y < (1 / (2^m)) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))

Proof of Theorem bcthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 5936	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
2		2pos 5946	. . . . . . . . 9 |- 0 < 2
3		ltdiv1t 5815	. . . . . . . . 9 |- (((Y e. RR /\ (1 / (2^m)) e. RR /\ 2 e. RR) /\ 0 < 2) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < ((1 / (2^m)) / 2)))
4	2, 3	mpan2 695	. . . . . . . 8 |- ((Y e. RR /\ (1 / (2^m)) e. RR /\ 2 e. RR) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < ((1 / (2^m)) / 2)))
5	1, 4	mp3an3 904	. . . . . . 7 |- ((Y e. RR /\ (1 / (2^m)) e. RR) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < ((1 / (2^m)) / 2)))
6		rerecclt 5769	. . . . . . . 8 |- (((2^m) e. RR /\ (2^m) =/= 0) -> (1 / (2^m)) e. RR)
7		reexpclt 6525	. . . . . . . . 9 |- ((2 e. RR /\ m e. NN0) -> (2^m) e. RR)
8	1, 7	mpan 694	. . . . . . . 8 |- (m e. NN0 -> (2^m) e. RR)
9		2cn 5937	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
10		2ne0 5947	. . . . . . . . 9 |- 2 =/= 0
11		expne0it 6533	. . . . . . . . 9 |- ((2 e. CC /\ m e. NN0 /\ 2 =/= 0) -> (2^m) =/= 0)
12	9, 10, 11	mp3an13 906	. . . . . . . 8 |- (m e. NN0 -> (2^m) =/= 0)
13	6, 8, 12	sylanc 471	. . . . . . 7 |- (m e. NN0 -> (1 / (2^m)) e. RR)
14	5, 13	sylan2 451	. . . . . 6 |- ((Y e. RR /\ m e. NN0) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < ((1 / (2^m)) / 2)))
15	14	ancoms 436	. . . . 5 |- ((m e. NN0 /\ Y e. RR) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < ((1 / (2^m)) / 2)))
16	9, 10	pm3.2i 285	. . . . . . . . . 10 |- (2 e. CC /\ 2 =/= 0)
17		recdiv2t 5762	. . . . . . . . . 10 |- ((((2^m) e. CC /\ (2^m) =/= 0) /\ (2 e. CC /\ 2 =/= 0)) -> ((1 / (2^m)) / 2) = (1 / ((2^m) x. 2)))
18	16, 17	mpan2 695	. . . . . . . . 9 |- (((2^m) e. CC /\ (2^m) =/= 0) -> ((1 / (2^m)) / 2) = (1 / ((2^m) x. 2)))
19	8	recnd 5298	. . . . . . . . 9 |- (m e. NN0 -> (2^m) e. CC)
20	18, 19, 12	sylanc 471	. . . . . . . 8 |- (m e. NN0 -> ((1 / (2^m)) / 2) = (1 / ((2^m) x. 2)))
21		expp1t 6519	. . . . . . . . . 10 |- ((2 e. CC /\ m e. NN0) -> (2^(m + 1)) = ((2^m) x. 2))
22	9, 21	mpan 694	. . . . . . . . 9 |- (m e. NN0 -> (2^(m + 1)) = ((2^m) x. 2))
23	22	opreq2d 3971	. . . . . . . 8 |- (m e. NN0 -> (1 / (2^(m + 1))) = (1 / ((2^m) x. 2)))
24	20, 23	eqtr4d 1508	. . . . . . 7 |- (m e. NN0 -> ((1 / (2^m)) / 2) = (1 / (2^(m + 1))))
25	24	adantr 389	. . . . . 6 |- ((m e. NN0 /\ Y e. RR) -> ((1 / (2^m)) / 2) = (1 / (2^(m + 1))))
26	25	breq2d 2626	. . . . 5 |- ((m e. NN0 /\ Y e. RR) -> ((Y / 2) < ((1 / (2^m)) / 2) <-> (Y / 2) < (1 / (2^(m + 1)))))
27	15, 26	bitrd 527	. . . 4 |- ((m e. NN0 /\ Y e. RR) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < (1 / (2^(m + 1)))))
28	27	adantr 389	. . 3 |- (((m e. NN0 /\ Y e. RR) /\ (Z e. RR /\ Z < (Y / 2))) -> (Y < (1 / (2^m)) <-> (Y / 2) < (1 / (2^(m + 1)))))
29		axlttrn 5487	. . . . . . . . 9 |- ((Z e. RR /\ (Y / 2) e. RR /\ (1 / (2^(m + 1))) e. RR) -> ((Z < (Y / 2) /\ (Y / 2) < (1 / (2^(m + 1)))) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))
30		rehalfclt 5991	. . . . . . . . 9 |- (Y e. RR -> (Y / 2) e. RR)
31	29, 30	syl3an2 859	. . . . . . . 8 |- ((Z e. RR /\ Y e. RR /\ (1 / (2^(m + 1))) e. RR) -> ((Z < (Y / 2) /\ (Y / 2) < (1 / (2^(m + 1)))) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))
32		peano2nn0 6081	. . . . . . . . 9 |- (m e. NN0 -> (m + 1) e. NN0)
33		rerecclt 5769	. . . . . . . . . 10 |- (((2^(m + 1)) e. RR /\ (2^(m + 1)) =/= 0) -> (1 / (2^(m + 1))) e. RR)
34		reexpclt 6525	. . . . . . . . . . 11 |- ((2 e. RR /\ (m + 1) e. NN0) -> (2^(m + 1)) e. RR)
35	1, 34	mpan 694	. . . . . . . . . 10 |- ((m + 1) e. NN0 -> (2^(m + 1)) e. RR)
36		expne0it 6533	. . . . . . . . . . 11 |- ((2 e. CC /\ (m + 1) e. NN0 /\ 2 =/= 0) -> (2^(m + 1)) =/= 0)
37	9, 10, 36	mp3an13 906	. . . . . . . . . 10 |- ((m + 1) e. NN0 -> (2^(m + 1)) =/= 0)
38	33, 35, 37	sylanc 471	. . . . . . . . 9 |- ((m + 1) e. NN0 -> (1 / (2^(m + 1))) e. RR)
39	32, 38	syl 10	. . . . . . . 8 |- (m e. NN0 -> (1 / (2^(m + 1))) e. RR)
40	31, 39	syl3an3 860	. . . . . . 7 |- ((Z e. RR /\ Y e. RR /\ m e. NN0) -> ((Z < (Y / 2) /\ (Y / 2) < (1 / (2^(m + 1)))) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))
41	40	exp3a 375	. . . . . 6 |- ((Z e. RR /\ Y e. RR /\ m e. NN0) -> (Z < (Y / 2) -> ((Y / 2) < (1 / (2^(m + 1))) -> Z < (1 / (2^(m + 1))))))
42	41	3exp 831	. . . . 5 |- (Z e. RR -> (Y e. RR -> (m e. NN0 -> (Z < (Y / 2) -> ((Y / 2) < (1 / (2^(m + 1))) -> Z < (1 / (2^(m + 1))))))))
43	42	com13 33	. . . 4 |- (m e. NN0 -> (Y e. RR -> (Z e. RR -> (Z < (Y / 2) -> ((Y / 2) < (1 / (2^(m + 1))) -> Z < (1 / (2^(m + 1))))))))
44	43	imp43 370	. . 3 |- (((m e. NN0 /\ Y e. RR) /\ (Z e. RR /\ Z < (Y / 2))) -> ((Y / 2) < (1 / (2^(m + 1))) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))
45	28, 44	sylbid 203	. 2 |- (((m e. NN0 /\ Y e. RR) /\ (Z e. RR /\ Z < (Y / 2))) -> (Y < (1 / (2^m)) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))
46		nnnn0t 6063	. 2 |- (m e. NN -> m e. NN0)
47	45, 46	sylanl1 460	1 |- (((m e. NN /\ Y e. RR) /\ (Z e. RR /\ Z < (Y / 2))) -> (Y < (1 / (2^m)) -> Z < (1 / (2^(m + 1)))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957   =/= wne 1583   class class class wbr 2615  (class class class)co 3958  CCcc 5215  RRcr 5216  0cc0 5217  1c1 5218   + caddc 5220   x. cmul 5222   / cdiv 5277  NNcn 5279  NN0cn0 5280   < clt 5469  2c2 5918  ^cexp 6513

This theorem is referenced by:  bcthlem17 7977

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472 &