Theorem bcthlem23 8018

Description: Lemma for bcth 8029. Since sequence of ball centers (1st o. g) is a Cauchy sequence and the metric space is complete, the sequence converges to a point p in the metric space.

Hypotheses

Ref	Expression
bcthlem18.1	|- D e. CMet
bcthlem18.3	|- X = dom dom D
bcthlem18.6	|- F = {<.<.j, y>., z>. | ((j e. NN /\ y e. A) /\ z = {<.p, r>. | ((p e. X /\ (r e. RR /\ 0 < r)) /\ (r < ((2nd` y) / 2) /\ (p( ball ` D)r) (_ O))})}
bcthlem18.7	|- A = (X X. {x e. RR | 0 < x})
bcthlem18.8	|- O = ((X \ ((cls` J)` (M` j))) i^i ((1st` y)( ball ` D)((2nd` y) / 2)))

Assertion

Ref	Expression
bcthlem23	|- ((g:NN-->A /\ ((2nd` (g` 1)) < (1 / 2) /\ A.k e. NN (g` (k + 1)) e. ((k + 1)F(g` k)))) -> E.q e. X (1st o. g)(~~>m` D)q)

Distinct variable groups:   j,q,y,z,A   j,p,r,D,q,y,z   k,q,F   j,J,p,r,y,z   j,M,p,r,y,z   z,O   j,X,p,q,r,y,z   j,k,x,g,p,r,y,z,q

Proof of Theorem bcthlem23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcthlem18.1	. . 3 |- D e. CMet
2		bcthlem18.3	. . 3 |- X = dom dom D
3		bcthlem18.6	. . 3 |- F = {<.<.j, y>., z>. | ((j e. NN /\ y e. A) /\ z = {<.p, r>. | ((p e. X /\ (r e. RR /\ 0 < r)) /\ (r < ((2nd` y) / 2) /\ (p( ball ` D)r) (_ O))})}
4		bcthlem18.7	. . 3 |- A = (X X. {x e. RR | 0 < x})
5		bcthlem18.8	. . 3 |- O = ((X \ ((cls` J)` (M` j))) i^i ((1st` y)( ball ` D)((2nd` y) / 2)))
6	1, 2, 3, 4, 5	bcthlem22 8017	. 2 |- ((g:NN-->A /\ ((2nd` (g` 1)) < (1 / 2) /\ A.k e. NN (g` (k + 1)) e. ((k + 1)F(g` k)))) -> (1st o. g) e. (Cau` D))
7	2	cmscvg 7944	. . 3 |- ((D e. CMet /\ (1st o. g) e. (Cau` D)) -> E.q e. X (1st o. g)(~~>m` D)q)
8	1, 7	mpan 697	. 2 |- ((1st o. g) e. (Cau` D) -> E.q e. X (1st o. g)(~~>m` D)q)
9	6, 8	syl 10	1 |- ((g:NN-->A /\ ((2nd` (g` 1)) < (1 / 2) /\ A.k e. NN (g` (k + 1)) e. ((k + 1)F(g` k)))) -> E.q e. X (1st o. g)(~~>m` D)q)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649  {crab 1651   \ cdif 2047   i^i cin 2049   (_ wss 2050   class class class wbr 2624  {copab 2671   X. cxp 3174  dom cdm 3176   o. ccom 3180  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  {copab2 3970  1stc1st 4083  2ndc2nd 4084  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   / cdiv 5306  NNcn 5308   < clt 5498  2c2 5963  clsccl 7659   ball cbl 7788  ~~>mclm 7916  Caucca 7917  CMetcms 7918

This theorem is referenced by:  bcthlem29 8024

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-seq1 6309  df-uz 6419  df-exp 6570  df-met 7790  df-bl 7792  df-cau 7920  df-cmet 7921

Copyright terms: Public domain