MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcval4 Unicode version

Theorem bcval4 11286
Description: Value of the binomial coefficient,  N choose  K, outside of its standard domain. Remark in [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcval4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  ( K  <  0  \/  N  <  K ) )  -> 
( N  _C  K
)  =  0 )

Proof of Theorem bcval4
StepHypRef Expression
1 elfzle1 10765 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  0  <_  K )
2 0re 8806 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
3 elfzelz 10764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
43zred 10084 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  RR )
5 lenlt 8869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 0  <_  K  <->  -.  K  <  0 ) )
62, 4, 5sylancr 647 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
0  <_  K  <->  -.  K  <  0 ) )
71, 6mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  -.  K  <  0 )
87adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  -.  K  <  0 )
9 elfzle2 10766 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  <_  N )
109adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  <_  N
)
11 nn0re 9941 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
12 lenlt 8869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( K  <_  N  <->  -.  N  <  K ) )
134, 11, 12syl2anr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( K  <_  N 
<->  -.  N  <  K
) )
1410, 13mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  -.  N  <  K )
15 ioran 478 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( K  <  0  \/  N  <  K )  <-> 
( -.  K  <  0  /\  -.  N  <  K ) )
168, 14, 15sylanbrc 648 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  -.  ( K  <  0  \/  N  < 
K ) )
1716ex 425 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  -.  ( K  <  0  \/  N  <  K ) ) )
1817adantr 453 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  -.  ( K  <  0  \/  N  < 
K ) ) )
1918con2d 109 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  <  0  \/  N  < 
K )  ->  -.  K  e.  ( 0 ... N ) ) )
20193impia 1153 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  ( K  <  0  \/  N  <  K ) )  ->  -.  K  e.  (
0 ... N ) )
21 bcval3 11285 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
2220, 21syld3an3 1232 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  ( K  <  0  \/  N  <  K ) )  -> 
( N  _C  K
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   class class class wbr 3997  (class class class)co 5792   RRcr 8704   0cc0 8705    < clt 8835    <_ cle 8836   NN0cn0 9932   ZZcz 9991   ...cfz 10748    _C cbc 11281
This theorem is referenced by:  bcn1  11291  bcpasc  11299  hashf1  11360  0hashbc  13016  ram0  13031  basellem2  20281  bcmono  20478
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-xr 8839  df-le 8841  df-neg 9008  df-n 9715  df-n0 9933  df-z 9992  df-uz 10198  df-fz 10749  df-bc 11282
  Copyright terms: Public domain W3C validator