MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcval4 Unicode version

Theorem bcval4 11413
Description: Value of the binomial coefficient,  N choose  K, outside of its standard domain. Remark in [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcval4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  ( K  <  0  \/  N  <  K ) )  -> 
( N  _C  K
)  =  0 )

Proof of Theorem bcval4
StepHypRef Expression
1 elfzle1 10891 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  0  <_  K )
2 0re 8928 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
3 elfzelz 10890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
43zred 10209 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  RR )
5 lenlt 8991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 0  <_  K  <->  -.  K  <  0 ) )
62, 4, 5sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
0  <_  K  <->  -.  K  <  0 ) )
71, 6mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  -.  K  <  0 )
87adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  -.  K  <  0 )
9 elfzle2 10892 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  <_  N )
109adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  <_  N
)
11 nn0re 10066 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
12 lenlt 8991 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( K  <_  N  <->  -.  N  <  K ) )
134, 11, 12syl2anr 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( K  <_  N 
<->  -.  N  <  K
) )
1410, 13mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  -.  N  <  K )
15 ioran 476 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( K  <  0  \/  N  <  K )  <-> 
( -.  K  <  0  /\  -.  N  <  K ) )
168, 14, 15sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  -.  ( K  <  0  \/  N  < 
K ) )
1716ex 423 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  -.  ( K  <  0  \/  N  <  K ) ) )
1817adantr 451 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  -.  ( K  <  0  \/  N  < 
K ) ) )
1918con2d 107 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  <  0  \/  N  < 
K )  ->  -.  K  e.  ( 0 ... N ) ) )
20193impia 1148 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  ( K  <  0  \/  N  <  K ) )  ->  -.  K  e.  (
0 ... N ) )
21 bcval3 11412 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
2220, 21syld3an3 1227 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  ( K  <  0  \/  N  <  K ) )  -> 
( N  _C  K
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   class class class wbr 4104  (class class class)co 5945   RRcr 8826   0cc0 8827    < clt 8957    <_ cle 8958   NN0cn0 10057   ZZcz 10116   ...cfz 10874    _C cbc 11408
This theorem is referenced by:  bcn1  11418  bcpasc  11426  hashf1  11491  0hashbc  13151  ram0  13166  basellem2  20431  bcmono  20628  bc0k  27466  cusgrasizeindb1  27634
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-xr 8961  df-le 8963  df-neg 9130  df-nn 9837  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875  df-bc 11409
  Copyright terms: Public domain W3C validator