MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bddibl Unicode version

Theorem bddibl 19142
Description: A bounded function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
bddibl  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  F  e.  L ^1 )
Distinct variable group:    x, y, F

Proof of Theorem bddibl
StepHypRef Expression
1 mbfdm 18931 . . . 4  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
213ad2ant1 981 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  dom  F  e. 
dom  vol )
3 mbff 18930 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
433ad2ant1 981 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  F : dom  F --> CC )
5 ffn 5313 . . . 4  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  F  Fn  dom  F )
64, 5syl 17 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  F  Fn  dom  F )
7 ax-1cn 8749 . . . . 5  |-  1  e.  CC
87a1i 12 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  1  e.  CC )
9 fnconstg 5353 . . . 4  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( dom  F  X.  { 1 } )  Fn  dom  F )
108, 9syl 17 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  ( dom  F  X.  { 1 } )  Fn  dom  F
)
11 eqidd 2257 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
12 1ex 8787 . . . . 5  |-  1  e.  _V
1312fvconst2 5649 . . . 4  |-  ( z  e.  dom  F  -> 
( ( dom  F  X.  { 1 } ) `
 z )  =  1 )
1413adantl 454 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( dom  F  X.  { 1 } ) `
 z )  =  1 )
15 ffvelrn 5583 . . . . 5  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
164, 15sylan 459 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
1716mulid1d 8806 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( F `  z
)  x.  1 )  =  ( F `  z ) )
182, 6, 10, 6, 11, 14, 17offveq 6018 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  ( F  o F  x.  ( dom  F  X.  { 1 } ) )  =  F )
19 simp2 961 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )
20 iblconst 19120 . . . 4  |-  ( ( dom  F  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  1  e.  CC )  ->  ( dom  F  X.  { 1 } )  e.  L ^1 )
212, 19, 8, 20syl3anc 1187 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  ( dom  F  X.  { 1 } )  e.  L ^1 )
22 bddmulibl 19141 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( dom  F  X.  { 1 } )  e.  L ^1  /\  E. x  e.  RR  A. y  e. 
dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  ( F  o F  x.  ( dom  F  X.  { 1 } ) )  e.  L ^1 )
2321, 22syld3an2 1234 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  ( F  o F  x.  ( dom  F  X.  { 1 } ) )  e.  L ^1 )
2418, 23eqeltrrd 2331 1  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  F  e.  L ^1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517   {csn 3600   class class class wbr 3983    X. cxp 4645   dom cdm 4647    Fn wfn 4654   -->wf 4655   ` cfv 4659  (class class class)co 5778    o Fcof 5996   CCcc 8689   RRcr 8690   1c1 8692    x. cmul 8696    <_ cle 8822   abscabs 11670   volcvol 18771  MblFncmbf 18917   L ^1cibl 18920
This theorem is referenced by:  cniccibl  19143  iblulm  19731
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-cc 8015  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769  ax-addf 8770  ax-mulf 8771
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-iin 3868  df-disj 3954  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-of 5998  df-ofr 5999  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-2o 6434  df-oadd 6437  df-omul 6438  df-er 6614  df-map 6728  df-pm 6729  df-ixp 6772  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-fi 7119  df-sup 7148  df-oi 7179  df-card 7526  df-acn 7529  df-cda 7748  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-4 9760  df-5 9761  df-6 9762  df-7 9763  df-8 9764  df-9 9765  df-10 9766  df-n0 9919  df-z 9978  df-dec 10078  df-uz 10184  df-q 10270  df-rp 10308  df-xneg 10405  df-xadd 10406  df-xmul 10407  df-ioo 10612  df-ioc 10613  df-ico 10614  df-icc 10615  df-fz 10735  df-fzo 10823  df-fl 10877  df-mod 10926  df-seq 10999  df-exp 11057  df-hash 11290  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-limsup 11896  df-clim 11913  df-rlim 11914  df-sum 12110  df-struct 13098  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-ress 13103  df-plusg 13169  df-mulr 13170  df-starv 13171  df-sca 13172  df-vsca 13173  df-tset 13175  df-ple 13176  df-ds 13178  df-hom 13180  df-cco 13181  df-rest 13275  df-topn 13276  df-topgen 13292  df-pt 13293  df-prds 13296  df-xrs 13351  df-0g 13352  df-gsum 13353  df-qtop 13358  df-imas 13359  df-xps 13361  df-mre 13436  df-mrc 13437  df-acs 13439  df-mnd 14315  df-submnd 14364  df-mulg 14440  df-cntz 14741  df-cmn 15039  df-xmet 16321  df-met 16322  df-bl 16323  df-mopn 16324  df-cnfld 16326  df-top 16584  df-bases 16586  df-topon 16587  df-topsp 16588  df-cn 16905  df-cnp 16906  df-cmp 17062  df-tx 17205  df-hmeo 17394  df-xms 17833  df-ms 17834  df-tms 17835  df-cncf 18330  df-ovol 18772  df-vol 18773  df-mbf 18923  df-itg1 18924  df-itg2 18925  df-ibl 18926  df-0p 18973
  Copyright terms: Public domain W3C validator