MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bddibl Unicode version

Theorem bddibl 19188
Description: A bounded function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
bddibl  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  F  e.  L ^1 )
Distinct variable group:    x, y, F
Dummy variable  z is distinct from all other variables.

Proof of Theorem bddibl
StepHypRef Expression
1 mbfdm 18977 . . . 4  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
213ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  dom  F  e. 
dom  vol )
3 mbff 18976 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
433ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  F : dom  F --> CC )
5 ffn 5354 . . . 4  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  F  Fn  dom  F )
64, 5syl 17 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  F  Fn  dom  F )
7 ax-1cn 8790 . . . . 5  |-  1  e.  CC
87a1i 12 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  1  e.  CC )
9 fnconstg 5394 . . . 4  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( dom  F  X.  { 1 } )  Fn  dom  F )
108, 9syl 17 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  ( dom  F  X.  { 1 } )  Fn  dom  F
)
11 eqidd 2285 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
12 1ex 8828 . . . . 5  |-  1  e.  _V
1312fvconst2 5690 . . . 4  |-  ( z  e.  dom  F  -> 
( ( dom  F  X.  { 1 } ) `
 z )  =  1 )
1413adantl 454 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( dom  F  X.  { 1 } ) `
 z )  =  1 )
15 ffvelrn 5624 . . . . 5  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
164, 15sylan 459 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
1716mulid1d 8847 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( F `  z
)  x.  1 )  =  ( F `  z ) )
182, 6, 10, 6, 11, 14, 17offveq 6059 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  ( F  o F  x.  ( dom  F  X.  { 1 } ) )  =  F )
19 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )
20 iblconst 19166 . . . 4  |-  ( ( dom  F  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  1  e.  CC )  ->  ( dom  F  X.  { 1 } )  e.  L ^1 )
212, 19, 8, 20syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  ( dom  F  X.  { 1 } )  e.  L ^1 )
22 bddmulibl 19187 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( dom  F  X.  { 1 } )  e.  L ^1  /\  E. x  e.  RR  A. y  e. 
dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  ( F  o F  x.  ( dom  F  X.  { 1 } ) )  e.  L ^1 )
2321, 22syld3an2 1231 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  ( F  o F  x.  ( dom  F  X.  { 1 } ) )  e.  L ^1 )
2418, 23eqeltrrd 2359 1  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  F  e.  L ^1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2544   E.wrex 2545   {csn 3641   class class class wbr 4024    X. cxp 4686   dom cdm 4688    Fn wfn 5216   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5819    o Fcof 6037   CCcc 8730   RRcr 8731   1c1 8733    x. cmul 8737    <_ cle 8863   abscabs 11713   volcvol 18817  MblFncmbf 18963   L ^1cibl 18966
This theorem is referenced by:  cniccibl  19189  iblulm  19777
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cc 8056  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-disj 3995  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-ofr 6040  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-acn 7570  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ioc 10655  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-mod 10968  df-seq 11041  df-exp 11099  df-hash 11332  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-limsup 11939  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-sum 12153  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-hom 13226  df-cco 13227  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-pt 13339  df-prds 13342  df-xrs 13397  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-qtop 13404  df-imas 13405  df-xps 13407  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-mulg 14486  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cn 16951  df-cnp 16952  df-cmp 17108  df-tx 17251  df-hmeo 17440  df-xms 17879  df-ms 17880  df-tms 17881  df-cncf 18376  df-ovol 18818  df-vol 18819  df-mbf 18969  df-itg1 18970  df-itg2 18971  df-ibl 18972  df-0p 19019
  Copyright terms: Public domain W3C validator