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Theorem bddmulibl 19155
Description: A bounded function times an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
bddmulibl  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  ( F  o F  x.  G
)  e.  L ^1 )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, G, y

Proof of Theorem bddmulibl
StepHypRef Expression
1 mbff 18944 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
21ad2antrr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  F : dom  F --> CC )
3 ffn 5327 . . . . . . 7  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  F  Fn  dom  F )
42, 3syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  F  Fn  dom  F )
5 iblmbf 19084 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  L ^1  ->  G  e. MblFn )
65ad2antlr 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  G  e. MblFn )
7 mbff 18944 . . . . . . . 8  |-  ( G  e. MblFn  ->  G : dom  G --> CC )
86, 7syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  G : dom  G --> CC )
9 ffn 5327 . . . . . . 7  |-  ( G : dom  G --> CC  ->  G  Fn  dom  G )
108, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  G  Fn  dom  G )
11 mbfdm 18945 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1211ad2antrr 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  dom  F  e. 
dom  vol )
13 mbfdm 18945 . . . . . . 7  |-  ( G  e. MblFn  ->  dom  G  e.  dom  vol )
146, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  dom  G  e. 
dom  vol )
15 eqid 2258 . . . . . 6  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G )  =  ( dom  F  i^i  dom  G )
16 eqidd 2259 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
17 eqidd 2259 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  dom  G )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
184, 10, 12, 14, 15, 16, 17offval 6019 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( F  o F  x.  G
)  =  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) )
19 ovex 5817 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) )  e. 
_V
2019a1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) )  e.  _V )
21 simpll 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  F  e. MblFn )
2221, 6mbfmul 19043 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( F  o F  x.  G
)  e. MblFn )
2318, 22eqeltrrd 2333 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) )  e. MblFn )
2423, 20mbfmptcl 18954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) )  e.  CC )
25 eqidd 2259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) ) )
26 absf 11786 . . . . . . . . . . 11  |-  abs : CC
--> RR
2726a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  abs : CC --> RR )
2827feqmptd 5509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  abs  =  ( y  e.  CC  |->  ( abs `  y ) ) )
29 fveq2 5458 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) )  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) )
3024, 25, 28, 29fmptco 5625 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( abs  o.  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) ) )  =  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ) )
31 eqid 2258 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) )
3224, 31fmptd 5618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> CC )
33 ax-resscn 8762 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
34 ssid 3172 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
35 cncfss 18365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC ) )
3633, 34, 35mp2an 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC
-cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC )
37 abscncf 18367 . . . . . . . . . . 11  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
3836, 37sselii 3152 . . . . . . . . . 10  |-  abs  e.  ( CC -cn-> CC )
3938a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  abs  e.  ( CC -cn-> CC ) )
40 cncombf 18975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  e. MblFn  /\  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) ) : ( dom  F  i^i  dom 
G ) --> CC  /\  abs  e.  ( CC -cn-> CC ) )  ->  ( abs  o.  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) ) )  e. MblFn )
4123, 32, 39, 40syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( abs  o.  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) ) )  e. MblFn )
4230, 41eqeltrrd 2333 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) )  e. MblFn
)
4324abscld 11883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  e.  RR )
4443rexrd 8849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  e. 
RR* )
4524absge0d 11891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  <_  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) )
46 elxrge0 10713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) ) ) )
4744, 45, 46sylanbrc 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
48 0xr 8846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR*
49 0le0 9795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  0
50 elxrge0 10713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
5148, 49, 50mpbir2an 891 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
5251a1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
5347, 52ifclda 3566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
5453adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  ->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
55 eqid 2258 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) )
5654, 55fmptd 5618 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
57 reex 8796 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  e.  _V
5857a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  RR  e.  _V )
59 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  x  e.  RR )
6059ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  /\  z  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
61 elin 3333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  z  e.  dom  G ) )
6261simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  -> 
z  e.  dom  G
)
63 ffvelrn 5597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G : dom  G --> CC  /\  z  e.  dom  G )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
648, 62, 63syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
6564abscld 11883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  e.  RR )
6664absge0d 11891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( G `  z )
) )
67 elrege0 10712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( abs `  ( G `
 z ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( abs `  ( G `  z ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  ( G `  z )
) ) )
6865, 66, 67sylanbrc 648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
69 0re 8806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR
70 elrege0 10712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
7169, 49, 70mpbir2an 891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
7271a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
7368, 72ifclda 3566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
7473ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  /\  z  e.  RR )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ,  ( abs `  ( G `
 z ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
75 fconstmpt 4720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( RR 
X.  { x }
)  =  ( z  e.  RR  |->  x )
7675a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( RR  X.  {
x } )  =  ( z  e.  RR  |->  x ) )
77 eqidd 2259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )
7858, 60, 74, 76, 77offval2 6029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( ( RR  X.  { x } )  o F  x.  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )  =  ( z  e.  RR  |->  ( x  x.  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) ) )
79 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 )  =  ( abs `  ( G `  z
) )  ->  (
x  x.  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) )  =  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) )
80 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 )  =  0  -> 
( x  x.  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) )  =  ( x  x.  0 ) )
8179, 80ifsb 3548 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  x.  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) )  =  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  ( x  x.  0 ) )
8259recnd 8829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  x  e.  CC )
8382adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  x  e.  CC )
8483mul01d 8979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( x  x.  0 )  =  0 )
8584ifeq2d 3554 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  ( x  x.  0 ) )  =  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )
8681, 85syl5eq 2302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( x  x.  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) )  =  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )
8786mpteq2dv 4081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( z  e.  RR  |->  ( x  x.  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )
8878, 87eqtrd 2290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( ( RR  X.  { x } )  o F  x.  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )
8988fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( S.2 `  ( ( RR  X.  { x } )  o F  x.  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) ) )  =  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) ) )
9073adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  ->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
91 eqid 2258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) )
9290, 91fmptd 5618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
9392adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
94 inss2 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  G
9594a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( dom  F  i^i  dom  G )  C_ 
dom  G )
9623, 20mbfdm2 18955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( dom  F  i^i  dom  G )  e.  dom  vol )
978, 63sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  dom  G )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
988feqmptd 5509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  G  =  ( z  e.  dom  G 
|->  ( G `  z
) ) )
99 simplr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  G  e.  L ^1 )
10098, 99eqeltrrd 2333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  dom  G  |->  ( G `
 z ) )  e.  L ^1 )
10195, 96, 97, 100iblss 19121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( G `
 z ) )  e.  L ^1 )
10264, 101iblabs 19145 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e.  L ^1 )
10365, 66iblpos 19109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( abs `  ( G `  z )
) )  e.  L ^1 
<->  ( ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
104102, 103mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( abs `  ( G `  z )
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
105104simprd 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
106105adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
107 simplrl 739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  x  e.  RR )
108 neq0 3440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  =  (/)  <->  E. z  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
) )
10969a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  e.  RR )
11061simplbi 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  -> 
z  e.  dom  F
)
111 ffvelrn 5597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
1122, 110, 111syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
113112abscld 11883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  e.  RR )
114 simplrl 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  x  e.  RR )
115112absge0d 11891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `  z )
) )
116 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)
117 fveq2 5458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
118117fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  z  ->  ( abs `  ( F `  y ) )  =  ( abs `  ( F `  z )
) )
119118breq1d 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  z  ->  (
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x  <->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  x
) )
120119rcla4cva 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  x )
121116, 110, 120syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  x )
122109, 113, 114, 115, 121letrd 8941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  <_  x )
123122ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  ->  0  <_  x ) )
124123exlimdv 1933 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( E. z  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  ->  0  <_  x ) )
125108, 124syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( -.  ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  0  <_  x ) )
126125imp 420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
0  <_  x )
127 elrege0 10712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
128107, 126, 127sylanbrc 648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  x  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
12993, 106, 128itg2mulc 19064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( S.2 `  ( ( RR  X.  { x } )  o F  x.  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) ) )  =  ( x  x.  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) ) ) )
13089, 129eqtr3d 2292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  x.  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) ) ) )
131107, 106remulcld 8831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( x  x.  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
132130, 131eqeltrd 2332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
133132ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( -.  ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
134 noel 3434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  z  e.  (/)
135 eleq2 2319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G )  <-> 
z  e.  (/) ) )
136134, 135mtbiri 296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  -.  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
)
137 iffalse 3546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 )  =  0 )
138136, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 )  =  0 )
139138mpteq2dv 4081 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  0 ) )
140 fconstmpt 4720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
X.  { 0 } )  =  ( z  e.  RR  |->  0 )
141139, 140syl6eqr 2308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )  =  ( RR  X.  { 0 } ) )
142141fveq2d 5462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) ) )
143 itg20 19054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  =  0
144143, 69eqeltri 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  e.  RR
145142, 144syl6eqel 2346 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
146133, 145pm2.61d2 154 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
147114, 65remulcld 8831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e.  RR )
148147rexrd 8849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e. 
RR* )
149114, 65, 122, 66mulge0d 9317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  <_  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) )
150 elxrge0 10713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) 
<->  ( ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ) )
151148, 149, 150sylanbrc 648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
152151, 52ifclda 3566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
153152adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  ->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
154 eqid 2258 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )
155153, 154fmptd 5618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
156112, 64absmuld 11901 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  z )
)  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) ) )
157 abscl 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  z )  e.  CC  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  e.  RR )
158 absge0 11737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  z )  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  ( G `  z )
) )
159157, 158jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  z )  e.  CC  ->  (
( abs `  ( G `  z )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( G `  z )
) ) )
16064, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( abs `  ( G `  z )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( G `  z )
) ) )
161 lemul1a 9578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  z )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
( abs `  ( G `  z )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( G `  z )
) ) )  /\  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  x )  -> 
( ( abs `  ( F `  z )
)  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  <_ 
( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) )
162113, 114, 160, 121, 161syl31anc 1190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( abs `  ( F `  z )
)  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  <_ 
( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) )
163156, 162eqbrtrd 4017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  <_ 
( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) )
164 iftrue 3545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) )
165164adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) )
166 iftrue 3545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 )  =  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) )
167166adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 )  =  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) )
168163, 165, 1673brtr4d 4027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 )  <_  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )
16949a1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G )  ->  0  <_  0
)
170 iffalse 3546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  =  0 )
171169, 170, 1373brtr4d 4027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) )
172171adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 )  <_  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )
173168, 172pm2.61dan 769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) )
174173ralrimivw 2602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  A. z  e.  RR  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) )
17557a1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  RR  e.  _V )
176 eqidd 2259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) ) )
177 eqidd 2259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) )
178175, 54, 153, 176, 177ofrfval2 6030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )  o R  <_  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) )  <->  A. z  e.  RR  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 )  <_  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )
179174, 178mpbird 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) )  o R  <_ 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )
180 itg2le 19056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )  o R  <_  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) ) )
18156, 155, 179, 180syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) ) )
182 itg2lecl 19055 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
18356, 146, 181, 182syl3anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
18443, 45iblpos 19109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) )  e.  L ^1 
<->  ( ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
18542, 183, 184mpbir2and 893 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
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G )  |->  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) )  e.  L ^1 )
18620, 23, 185iblabsr 19146 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
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G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) )  e.  L ^1 )
18718, 186eqeltrd 2332 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( F  o F  x.  G
)  e.  L ^1 )
188187expr 601 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e. 
dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x  ->  ( F  o F  x.  G )  e.  L ^1 ) )
189188rexlimdva 2642 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  -> 
( E. x  e.  RR  A. y  e. 
dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x  ->  ( F  o F  x.  G )  e.  L ^1 ) )
1901893impia 1153 1  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  ( F  o F  x.  G
)  e.  L ^1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   E.wrex 2519   _Vcvv 2763    i^i cin 3126    C_ wss 3127   (/)c0 3430   ifcif 3539   {csn 3614   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051    X. cxp 4659   dom cdm 4661    o. ccom 4665    Fn wfn 4668   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792    o Fcof 6010    o Rcofr 6011   CCcc 8703   RRcr 8704   0cc0 8705    x. cmul 8710    +oocpnf 8832   RR*cxr 8834    <_ cle 8836   [,)cico 10624   [,]cicc 10625   abscabs 11684   -cn->ccncf 18342   volcvol 18785  MblFncmbf 18931   S.2citg2 18933   L ^1cibl 18934
This theorem is referenced by:  bddibl  19156  itgsubstlem  19357
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cc 8029  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-disj 3968  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-ofr 6013  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-ixp 6786  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-acn 7543  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9933  df-z 9992  df-dec 10092  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-xneg 10419  df-xadd 10420  df-xmul 10421  df-ioo 10626  df-ioc 10627  df-ico 10628  df-icc 10629  df-fz 10749  df-fzo 10837  df-fl 10891  df-mod 10940  df-seq 11013  df-exp 11071  df-hash 11304  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-limsup 11910  df-clim 11927  df-rlim 11928  df-sum 12124  df-struct 13112  df-ndx 13113  df-slot 13114  df-base 13115  df-sets 13116  df-ress 13117  df-plusg 13183  df-mulr 13184  df-starv 13185  df-sca 13186  df-vsca 13187  df-tset 13189  df-ple 13190  df-ds 13192  df-hom 13194  df-cco 13195  df-rest 13289  df-topn 13290  df-topgen 13306  df-pt 13307  df-prds 13310  df-xrs 13365  df-0g 13366  df-gsum 13367  df-qtop 13372  df-imas 13373  df-xps 13375  df-mre 13450  df-mrc 13451  df-acs 13453  df-mnd 14329  df-submnd 14378  df-mulg 14454  df-cntz 14755  df-cmn 15053  df-xmet 16335  df-met 16336  df-bl 16337  df-mopn 16338  df-cnfld 16340  df-top 16598  df-bases 16600  df-topon 16601  df-topsp 16602  df-cn 16919  df-cnp 16920  df-cmp 17076  df-tx 17219  df-hmeo 17408  df-xms 17847  df-ms 17848  df-tms 17849  df-cncf 18344  df-ovol 18786  df-vol 18787  df-mbf 18937  df-itg1 18938  df-itg2 18939  df-ibl 18940  df-0p 18987
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