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Theorem bddmulibl 19730
Description: A bounded function times an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
bddmulibl  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  ( F  o F  x.  G
)  e.  L ^1 )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, G, y

Proof of Theorem bddmulibl
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbff 19519 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
21ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  F : dom  F --> CC )
3 ffn 5591 . . . . . 6  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  F  Fn  dom  F )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  F  Fn  dom  F )
5 iblmbf 19659 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  L ^1  ->  G  e. MblFn )
65ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  G  e. MblFn )
7 mbff 19519 . . . . . . 7  |-  ( G  e. MblFn  ->  G : dom  G --> CC )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  G : dom  G --> CC )
9 ffn 5591 . . . . . 6  |-  ( G : dom  G --> CC  ->  G  Fn  dom  G )
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  G  Fn  dom  G )
11 mbfdm 19520 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1211ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  dom  F  e. 
dom  vol )
13 mbfdm 19520 . . . . . 6  |-  ( G  e. MblFn  ->  dom  G  e.  dom  vol )
146, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  dom  G  e. 
dom  vol )
15 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G )  =  ( dom  F  i^i  dom  G )
16 eqidd 2437 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
17 eqidd 2437 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  dom  G )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
184, 10, 12, 14, 15, 16, 17offval 6312 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( F  o F  x.  G
)  =  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) )
19 ovex 6106 . . . . . 6  |-  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) )  e. 
_V
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) )  e.  _V )
21 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  F  e. MblFn )
2221, 6mbfmul 19618 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( F  o F  x.  G
)  e. MblFn )
2318, 22eqeltrrd 2511 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) )  e. MblFn )
2423, 20mbfmptcl 19529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) )  e.  CC )
25 eqidd 2437 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) ) )
26 absf 12141 . . . . . . . . . 10  |-  abs : CC
--> RR
2726a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  abs : CC --> RR )
2827feqmptd 5779 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  abs  =  ( y  e.  CC  |->  ( abs `  y ) ) )
29 fveq2 5728 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) )  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) )
3024, 25, 28, 29fmptco 5901 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( abs  o.  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) ) )  =  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ) )
31 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) )
3224, 31fmptd 5893 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> CC )
33 ax-resscn 9047 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
34 ssid 3367 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  C_  CC
35 cncfss 18929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC ) )
3633, 34, 35mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( CC
-cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC )
37 abscncf 18931 . . . . . . . . . 10  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
3836, 37sselii 3345 . . . . . . . . 9  |-  abs  e.  ( CC -cn-> CC )
3938a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  abs  e.  ( CC -cn-> CC ) )
40 cncombf 19550 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  e. MblFn  /\  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) ) : ( dom  F  i^i  dom 
G ) --> CC  /\  abs  e.  ( CC -cn-> CC ) )  ->  ( abs  o.  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) ) )  e. MblFn )
4123, 32, 39, 40syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( abs  o.  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) ) )  e. MblFn )
4230, 41eqeltrrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) )  e. MblFn
)
4324abscld 12238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  e.  RR )
4443rexrd 9134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  e. 
RR* )
4524absge0d 12246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  <_  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) )
46 elxrge0 11008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) ) ) )
4744, 45, 46sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
48 0xr 9131 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR*
49 0le0 10081 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  0
50 elxrge0 11008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
5148, 49, 50mpbir2an 887 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
5251a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
5347, 52ifclda 3766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
5453adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  ->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
55 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) )
5654, 55fmptd 5893 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
57 reex 9081 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  RR  e.  _V )
59 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  x  e.  RR )
6059ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  /\  z  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
61 elin 3530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  z  e.  dom  G ) )
6261simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  -> 
z  e.  dom  G
)
63 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G : dom  G --> CC  /\  z  e.  dom  G )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
648, 62, 63syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
6564abscld 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  e.  RR )
6664absge0d 12246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( G `  z )
) )
67 elrege0 11007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( abs `  ( G `
 z ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( abs `  ( G `  z ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  ( G `  z )
) ) )
6865, 66, 67sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
69 0re 9091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
70 elrege0 11007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
7169, 49, 70mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
7368, 72ifclda 3766 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
7473ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  /\  z  e.  RR )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ,  ( abs `  ( G `
 z ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
75 fconstmpt 4921 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR 
X.  { x }
)  =  ( z  e.  RR  |->  x )
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( RR  X.  {
x } )  =  ( z  e.  RR  |->  x ) )
77 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )
7858, 60, 74, 76, 77offval2 6322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( ( RR  X.  { x } )  o F  x.  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )  =  ( z  e.  RR  |->  ( x  x.  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) ) )
79 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 )  =  ( abs `  ( G `  z
) )  ->  (
x  x.  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) )  =  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) )
80 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 )  =  0  -> 
( x  x.  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) )  =  ( x  x.  0 ) )
8179, 80ifsb 3748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  x.  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) )  =  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  ( x  x.  0 ) )
8259recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  x  e.  CC )
8382adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  x  e.  CC )
8483mul01d 9265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( x  x.  0 )  =  0 )
8584ifeq2d 3754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  ( x  x.  0 ) )  =  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )
8681, 85syl5eq 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( x  x.  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) )  =  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )
8786mpteq2dv 4296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( z  e.  RR  |->  ( x  x.  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )
8878, 87eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( ( RR  X.  { x } )  o F  x.  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )
8988fveq2d 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( S.2 `  ( ( RR  X.  { x } )  o F  x.  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) ) )  =  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) ) )
9073adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  ->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
91 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) )
9290, 91fmptd 5893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
9392adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
94 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  G
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( dom  F  i^i  dom  G )  C_ 
dom  G )
9623, 20mbfdm2 19530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( dom  F  i^i  dom  G )  e.  dom  vol )
978ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  dom  G )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
988feqmptd 5779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  G  =  ( z  e.  dom  G 
|->  ( G `  z
) ) )
99 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  G  e.  L ^1 )
10098, 99eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  dom  G  |->  ( G `
 z ) )  e.  L ^1 )
10195, 96, 97, 100iblss 19696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( G `
 z ) )  e.  L ^1 )
10264, 101iblabs 19720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e.  L ^1 )
10365, 66iblpos 19684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( abs `  ( G `  z )
) )  e.  L ^1 
<->  ( ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
104102, 103mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( abs `  ( G `  z )
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
105104simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
106105adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
107 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  x  e.  RR )
108 neq0 3638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  =  (/)  <->  E. z  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
) )
10969a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  e.  RR )
11061simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  -> 
z  e.  dom  F
)
111 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
1122, 110, 111syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
113112abscld 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  e.  RR )
114 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  x  e.  RR )
115112absge0d 12246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `  z )
) )
116 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)
117 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
118117fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  z  ->  ( abs `  ( F `  y ) )  =  ( abs `  ( F `  z )
) )
119118breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  z  ->  (
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x  <->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  x
) )
120119rspccva 3051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  x )
121116, 110, 120syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  x )
122109, 113, 114, 115, 121letrd 9227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  <_  x )
123122ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  ->  0  <_  x ) )
124123exlimdv 1646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( E. z  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  ->  0  <_  x ) )
125108, 124syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( -.  ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  0  <_  x ) )
126125imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
0  <_  x )
127 elrege0 11007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
128107, 126, 127sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  x  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
12993, 106, 128itg2mulc 19639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( S.2 `  ( ( RR  X.  { x } )  o F  x.  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) ) )  =  ( x  x.  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) ) ) )
13089, 129eqtr3d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  x.  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) ) ) )
131107, 106remulcld 9116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( x  x.  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
132130, 131eqeltrd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
133132ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( -.  ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
134 noel 3632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  z  e.  (/)
135 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G )  <-> 
z  e.  (/) ) )
136134, 135mtbiri 295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  -.  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
)
137 iffalse 3746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 )  =  0 )
138136, 137syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 )  =  0 )
139138mpteq2dv 4296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  0 ) )
140 fconstmpt 4921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
X.  { 0 } )  =  ( z  e.  RR  |->  0 )
141139, 140syl6eqr 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )  =  ( RR  X.  { 0 } ) )
142141fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) ) )
143 itg20 19629 . . . . . . . . . 10  |-  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  =  0
144143, 69eqeltri 2506 . . . . . . . . 9  |-  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  e.  RR
145142, 144syl6eqel 2524 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
146133, 145pm2.61d2 154 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
147114, 65remulcld 9116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e.  RR )
148147rexrd 9134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e. 
RR* )
149114, 65, 122, 66mulge0d 9603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  <_  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) )
150 elxrge0 11008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) 
<->  ( ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ) )
151148, 149, 150sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
152151, 52ifclda 3766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
153152adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  ->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
154 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )
155153, 154fmptd 5893 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
156112, 64absmuld 12256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  z )
)  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) ) )
157 abscl 12083 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  z )  e.  CC  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  e.  RR )
158 absge0 12092 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  z )  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  ( G `  z )
) )
159157, 158jca 519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  z )  e.  CC  ->  (
( abs `  ( G `  z )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( G `  z )
) ) )
16064, 159syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( abs `  ( G `  z )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( G `  z )
) ) )
161 lemul1a 9864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  z )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
( abs `  ( G `  z )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( G `  z )
) ) )  /\  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  x )  -> 
( ( abs `  ( F `  z )
)  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  <_ 
( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) )
162113, 114, 160, 121, 161syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( abs `  ( F `  z )
)  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  <_ 
( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) )
163156, 162eqbrtrd 4232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  <_ 
( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) )
164 iftrue 3745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) )
165164adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) )
166 iftrue 3745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 )  =  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) )
167166adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 )  =  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) )
168163, 165, 1673brtr4d 4242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 )  <_  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )
16949a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G )  ->  0  <_  0
)
170 iffalse 3746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  =  0 )
171169, 170, 1373brtr4d 4242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) )
172171adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 )  <_  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )
173168, 172pm2.61dan 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) )
174173ralrimivw 2790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  A. z  e.  RR  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) )
17557a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  RR  e.  _V )
176 eqidd 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) ) )
177 eqidd 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) )
178175, 54, 153, 176, 177ofrfval2 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )  o R  <_  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) )  <->  A. z  e.  RR  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 )  <_  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )
179174, 178mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) )  o R  <_ 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )
180 itg2le 19631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )  o R  <_  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) ) )
18156, 155, 179, 180syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) ) )
182 itg2lecl 19630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
18356, 146, 181, 182syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
18443, 45iblpos 19684 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) )  e.  L ^1 
<->  ( ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
18542, 183, 184mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
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G )  |->  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) )  e.  L ^1 )
18620, 23, 185iblabsr 19721 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
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G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) )  e.  L ^1 )
18718, 186eqeltrd 2510 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
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188187rexlimdvaa 2831 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  -> 
( E. x  e.  RR  A. y  e. 
dom  F ( abs `  ( F `  y
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1891883impia 1150 1  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  ( F  o F  x.  G
)  e.  L ^1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ifcif 3739   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    X. cxp 4876   dom cdm 4878    o. ccom 4882    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303    o Rcofr 6304   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990    x. cmul 8995    +oocpnf 9117   RR*cxr 9119    <_ cle 9121   [,)cico 10918   [,]cicc 10919   abscabs 12039   -cn->ccncf 18906   volcvol 19360  MblFncmbf 19506   S.2citg2 19508   L ^1cibl 19509
This theorem is referenced by:  bddibl  19731  itgsubstlem  19932
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-cmp 17450  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-ovol 19361  df-vol 19362  df-mbf 19512  df-itg1 19513  df-itg2 19514  df-ibl 19515  df-0p 19562
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