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Theorem bddmulibl 19193
Description: A bounded function times an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
bddmulibl  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  ( F  o F  x.  G
)  e.  L ^1 )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, G, y

Proof of Theorem bddmulibl
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbff 18982 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
21ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  F : dom  F --> CC )
3 ffn 5389 . . . . . . 7  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  F  Fn  dom  F )
42, 3syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  F  Fn  dom  F )
5 iblmbf 19122 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  L ^1  ->  G  e. MblFn )
65ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  G  e. MblFn )
7 mbff 18982 . . . . . . . 8  |-  ( G  e. MblFn  ->  G : dom  G --> CC )
86, 7syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  G : dom  G --> CC )
9 ffn 5389 . . . . . . 7  |-  ( G : dom  G --> CC  ->  G  Fn  dom  G )
108, 9syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  G  Fn  dom  G )
11 mbfdm 18983 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1211ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  dom  F  e. 
dom  vol )
13 mbfdm 18983 . . . . . . 7  |-  ( G  e. MblFn  ->  dom  G  e.  dom  vol )
146, 13syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  dom  G  e. 
dom  vol )
15 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G )  =  ( dom  F  i^i  dom  G )
16 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
17 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  dom  G )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
184, 10, 12, 14, 15, 16, 17offval 6085 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( F  o F  x.  G
)  =  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) )
19 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) )  e. 
_V
2019a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) )  e.  _V )
21 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  F  e. MblFn )
2221, 6mbfmul 19081 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( F  o F  x.  G
)  e. MblFn )
2318, 22eqeltrrd 2358 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) )  e. MblFn )
2423, 20mbfmptcl 18992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) )  e.  CC )
25 eqidd 2284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) ) )
26 absf 11821 . . . . . . . . . . 11  |-  abs : CC
--> RR
2726a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  abs : CC --> RR )
2827feqmptd 5575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  abs  =  ( y  e.  CC  |->  ( abs `  y ) ) )
29 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) )  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) )
3024, 25, 28, 29fmptco 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( abs  o.  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) ) )  =  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ) )
31 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) )
3224, 31fmptd 5684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> CC )
33 ax-resscn 8794 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
34 ssid 3197 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
35 cncfss 18403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC ) )
3633, 34, 35mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC
-cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC )
37 abscncf 18405 . . . . . . . . . . 11  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
3836, 37sselii 3177 . . . . . . . . . 10  |-  abs  e.  ( CC -cn-> CC )
3938a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  abs  e.  ( CC -cn-> CC ) )
40 cncombf 19013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  e. MblFn  /\  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) ) : ( dom  F  i^i  dom 
G ) --> CC  /\  abs  e.  ( CC -cn-> CC ) )  ->  ( abs  o.  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) ) )  e. MblFn )
4123, 32, 39, 40syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( abs  o.  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) ) )  e. MblFn )
4230, 41eqeltrrd 2358 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) )  e. MblFn
)
4324abscld 11918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  e.  RR )
4443rexrd 8881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  e. 
RR* )
4524absge0d 11926 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  <_  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) )
46 elxrge0 10747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) ) ) )
4744, 45, 46sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
48 0xr 8878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR*
49 0le0 9827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  0
50 elxrge0 10747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
5148, 49, 50mpbir2an 886 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
5251a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
5347, 52ifclda 3592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
5453adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  ->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
55 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) )
5654, 55fmptd 5684 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
57 reex 8828 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  e.  _V
5857a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  RR  e.  _V )
59 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  x  e.  RR )
6059ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  /\  z  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
61 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  z  e.  dom  G ) )
6261simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  -> 
z  e.  dom  G
)
63 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G : dom  G --> CC  /\  z  e.  dom  G )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
648, 62, 63syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
6564abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  e.  RR )
6664absge0d 11926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( G `  z )
) )
67 elrege0 10746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( abs `  ( G `
 z ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( abs `  ( G `  z ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  ( G `  z )
) ) )
6865, 66, 67sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
69 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR
70 elrege0 10746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
7169, 49, 70mpbir2an 886 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
7271a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
7368, 72ifclda 3592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
7473ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  /\  z  e.  RR )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ,  ( abs `  ( G `
 z ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
75 fconstmpt 4732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( RR 
X.  { x }
)  =  ( z  e.  RR  |->  x )
7675a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( RR  X.  {
x } )  =  ( z  e.  RR  |->  x ) )
77 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )
7858, 60, 74, 76, 77offval2 6095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( ( RR  X.  { x } )  o F  x.  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )  =  ( z  e.  RR  |->  ( x  x.  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) ) )
79 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 )  =  ( abs `  ( G `  z
) )  ->  (
x  x.  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) )  =  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) )
80 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 )  =  0  -> 
( x  x.  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) )  =  ( x  x.  0 ) )
8179, 80ifsb 3574 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  x.  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) )  =  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  ( x  x.  0 ) )
8259recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  x  e.  CC )
8382adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  x  e.  CC )
8483mul01d 9011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( x  x.  0 )  =  0 )
8584ifeq2d 3580 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  ( x  x.  0 ) )  =  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )
8681, 85syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( x  x.  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) )  =  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )
8786mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( z  e.  RR  |->  ( x  x.  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )
8878, 87eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( ( RR  X.  { x } )  o F  x.  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )
8988fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( S.2 `  ( ( RR  X.  { x } )  o F  x.  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) ) )  =  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) ) )
9073adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  ->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
91 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) )
9290, 91fmptd 5684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
9392adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
94 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  G
9594a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( dom  F  i^i  dom  G )  C_ 
dom  G )
9623, 20mbfdm2 18993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( dom  F  i^i  dom  G )  e.  dom  vol )
978, 63sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  dom  G )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
988feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  G  =  ( z  e.  dom  G 
|->  ( G `  z
) ) )
99 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  G  e.  L ^1 )
10098, 99eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  dom  G  |->  ( G `
 z ) )  e.  L ^1 )
10195, 96, 97, 100iblss 19159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( G `
 z ) )  e.  L ^1 )
10264, 101iblabs 19183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e.  L ^1 )
10365, 66iblpos 19147 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( abs `  ( G `  z )
) )  e.  L ^1 
<->  ( ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
104102, 103mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( abs `  ( G `  z )
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
105104simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
106105adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
107 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  x  e.  RR )
108 neq0 3465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  =  (/)  <->  E. z  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
) )
10969a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  e.  RR )
11061simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  -> 
z  e.  dom  F
)
111 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
1122, 110, 111syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
113112abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  e.  RR )
114 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  x  e.  RR )
115112absge0d 11926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `  z )
) )
116 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)
117 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
118117fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  z  ->  ( abs `  ( F `  y ) )  =  ( abs `  ( F `  z )
) )
119118breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  z  ->  (
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x  <->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  x
) )
120119rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  x )
121116, 110, 120syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_  x )
122109, 113, 114, 115, 121letrd 8973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  <_  x )
123122ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  ->  0  <_  x ) )
124123exlimdv 1664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( E. z  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  ->  0  <_  x ) )
125108, 124syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( -.  ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  0  <_  x ) )
126125imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
0  <_  x )
127 elrege0 10746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
128107, 126, 127sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  x  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
12993, 106, 128itg2mulc 19102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( S.2 `  ( ( RR  X.  { x } )  o F  x.  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) ) )  =  ( x  x.  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) ) ) )
13089, 129eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  x.  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) ) ) )
131107, 106remulcld 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( x  x.  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( G `  z )
) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
132130, 131eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
133132ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( -.  ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
134 noel 3459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  z  e.  (/)
135 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G )  <-> 
z  e.  (/) ) )
136134, 135mtbiri 294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  -.  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
)
137 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 )  =  0 )
138136, 137syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 )  =  0 )
139138mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  0 ) )
140 fconstmpt 4732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
X.  { 0 } )  =  ( z  e.  RR  |->  0 )
141139, 140syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )  =  ( RR  X.  { 0 } ) )
142141fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) ) )
143 itg20 19092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  =  0
144143, 69eqeltri 2353 . . . . . . . . . 10  |-  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  e.  RR
145142, 144syl6eqel 2371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
146133, 145pm2.61d2 152 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
147114, 65remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e.  RR )
148147rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e. 
RR* )
149114, 65, 122, 66mulge0d 9349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  0  <_  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) )
150 elxrge0 10747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) 
<->  ( ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ) )
151148, 149, 150sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
152151, 52ifclda 3592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
153152adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  ->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
154 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )
155153, 154fmptd 5684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
156112, 64absmuld 11936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  z )
)  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) ) )
157 abscl 11763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  z )  e.  CC  ->  ( abs `  ( G `  z ) )  e.  RR )
158 absge0 11772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  z )  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  ( G `  z )
) )
159157, 158jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  z )  e.  CC  ->  (
( abs `  ( G `  z )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( G `  z )
) ) )
16064, 159syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( abs `  ( G `  z )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( G `  z )
) ) )
161 lemul1a 9610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  z )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
( abs `  ( G `  z )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( G `  z )
) ) )  /\  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  x )  -> 
( ( abs `  ( F `  z )
)  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  <_ 
( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) )
162113, 114, 160, 121, 161syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( abs `  ( F `  z )
)  x.  ( abs `  ( G `  z
) ) )  <_ 
( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) )
163156, 162eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )  <_ 
( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) )
164 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) )
165164adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) )
166 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 )  =  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) )
167166adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 )  =  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) )
168163, 165, 1673brtr4d 4053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 )  <_  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )
16949a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G )  ->  0  <_  0
)
170 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  =  0 )
171169, 170, 1373brtr4d 4053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) )
172171adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  -.  z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  ->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 )  <_  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )
173168, 172pm2.61dan 766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) )
174173ralrimivw 2627 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  A. z  e.  RR  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) )
17557a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  RR  e.  _V )
176 eqidd 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) ) )
177 eqidd 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) )
178175, 54, 153, 176, 177ofrfval2 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )  o R  <_  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) )  <->  A. z  e.  RR  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 )  <_  if (
z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )
179174, 178mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) ,  0 ) )  o R  <_ 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )
180 itg2le 19094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) )  o R  <_  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z ) ) ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) ) )
18156, 155, 179, 180syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) ) )
182 itg2lecl 19093 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ,  ( x  x.  ( abs `  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
18356, 146, 181, 182syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
18443, 45iblpos 19147 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
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z  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) )  e.  L ^1 
<->  ( ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ,  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
18542, 183, 184mpbir2and 888 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
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G )  |->  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
) ) )  e.  L ^1 )
18620, 23, 185iblabsr 19184 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
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G )  |->  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) )  e.  L ^1 )
18718, 186eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  ->  ( F  o F  x.  G
)  e.  L ^1 )
188187expr 598 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e. 
dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x  ->  ( F  o F  x.  G )  e.  L ^1 ) )
189188rexlimdva 2667 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1 )  -> 
( E. x  e.  RR  A. y  e. 
dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x  ->  ( F  o F  x.  G )  e.  L ^1 ) )
1901893impia 1148 1  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  G  e.  L ^1  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  ( F  o F  x.  G
)  e.  L ^1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    o Rcofr 6077   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    x. cmul 8742    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    <_ cle 8868   [,)cico 10658   [,]cicc 10659   abscabs 11719   -cn->ccncf 18380   volcvol 18823  MblFncmbf 18969   S.2citg2 18971   L ^1cibl 18972
This theorem is referenced by:  bddibl  19194  itgsubstlem  19395
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-itg2 18977  df-ibl 18978  df-0p 19025
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