Theorem bdoplnt 9783

Description: A bounded linear Hilbert space operator is a linear operator.

Assertion

Ref	Expression
bdoplnt	|- (T e. BndLinOp -> T e. LinOp)

Proof of Theorem bdoplnt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbdopt 9782	. 2 |- (T e. BndLinOp <-> (T e. LinOp /\ (normop` T) < +oo))
2	1	pm3.26bi 322	1 |- (T e. BndLinOp -> T e. LinOp)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 960   class class class wbr 2624  ` cfv 3188   +oocpnf 5495   < clt 5498  norm_opcnop 8809  LinOpclo 8811  BndLinOpcbo 8812

This theorem is referenced by:  bdopft 9784  nmbdoplb 9944  bdophm 9957  lncnopbd 9961  nmopco 10023  bdophs 10024  bdopco 10026  nmopcoadj0 10031  unierr 10032

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-hilex 8864

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-lnop 9762  df-bdop 9763

Copyright terms: Public domain