Theorem bernneq2 6584

Description: Variation of Bernoulli's inequality bernneq 6583.

Assertion

Ref	Expression
bernneq2	|- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A) -> (((A - 1) x. N) + 1) <_ (A^N))

Proof of Theorem bernneq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bernneq 6583	. . 3 |- (((A - 1) e. RR /\ N e. NN0 /\ -u1 <_ (A - 1)) -> (1 + ((A - 1) x. N)) <_ ((1 + (A - 1))^N))
2		peano2rem 5414	. . . 4 |- (A e. RR -> (A - 1) e. RR)
3	2	3ad2ant1 798	. . 3 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A) -> (A - 1) e. RR)
4		3simp2 787	. . 3 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A) -> N e. NN0)
5		0re 5412	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
6		1re 5407	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
7		lesub1t 5633	. . . . . . 7 |- ((0 e. RR /\ A e. RR /\ 1 e. RR) -> (0 <_ A <-> (0 - 1) <_ (A - 1)))
8	5, 6, 7	mp3an13 904	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (0 <_ A <-> (0 - 1) <_ (A - 1)))
9	8	biimpa 416	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (0 - 1) <_ (A - 1))
10		df-neg 5330	. . . . 5 |- -u1 = (0 - 1)
11	9, 10	syl5eqbr 2638	. . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> -u1 <_ (A - 1))
12	11	3adant2 796	. . 3 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A) -> -u1 <_ (A - 1))
13	1, 3, 4, 12	syl3anc 856	. 2 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A) -> (1 + ((A - 1) x. N)) <_ ((1 + (A - 1))^N))
14		axmulcl 5245	. . . . 5 |- (((A - 1) e. CC /\ N e. CC) -> ((A - 1) x. N) e. CC)
15	2	recnd 5287	. . . . 5 |- (A e. RR -> (A - 1) e. CC)
16		nn0cnt 6056	. . . . 5 |- (N e. NN0 -> N e. CC)
17	14, 15, 16	syl2an 454	. . . 4 |- ((A e. RR /\ N e. NN0) -> ((A - 1) x. N) e. CC)
18		ax1cn 5241	. . . . 5 |- 1 e. CC
19		axaddcom 5247	. . . . 5 |- ((1 e. CC /\ ((A - 1) x. N) e. CC) -> (1 + ((A - 1) x. N)) = (((A - 1) x. N) + 1))
20	18, 19	mpan 693	. . . 4 |- (((A - 1) x. N) e. CC -> (1 + ((A - 1) x. N)) = (((A - 1) x. N) + 1))
21	17, 20	syl 10	. . 3 |- ((A e. RR /\ N e. NN0) -> (1 + ((A - 1) x. N)) = (((A - 1) x. N) + 1))
22	21	3adant3 797	. 2 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A) -> (1 + ((A - 1) x. N)) = (((A - 1) x. N) + 1))
23		recnt 5285	. . . . 5 |- (A e. RR -> A e. CC)
24		pncan3t 5349	. . . . . 6 |- ((1 e. CC /\ A e. CC) -> (1 + (A - 1)) = A)
25	18, 24	mpan 693	. . . . 5 |- (A e. CC -> (1 + (A - 1)) = A)
26	23, 25	syl 10	. . . 4 |- (A e. RR -> (1 + (A - 1)) = A)
27	26	opreq1d 3960	. . 3 |- (A e. RR -> ((1 + (A - 1))^N) = (A^N))
28	27	3ad2ant1 798	. 2 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A) -> ((1 + (A - 1))^N) = (A^N))
29	13, 22, 28	3brtr3d 2634	1 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A) -> (((A - 1) x. N) + 1) <_ (A^N))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   - cmin 5264  -ucneg 5265   <_ cle 5267  NN0cn0 5269  ^cexp 6500

This theorem is referenced by:  expnbndt 6585  expcnvlem2 7163

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501

Copyright terms: Public domain