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Theorem bezoutlem4 13043
Description: Lemma for bezout 13044. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bezout.1  |-  M  =  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) }
bezout.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
bezout.4  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
bezout.2  |-  G  =  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )
bezout.5  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
Assertion
Ref Expression
bezoutlem4  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  e.  M )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, G, y, z    ph, x, y, z   
x, M, y
Allowed substitution hint:    M( z)

Proof of Theorem bezoutlem4
Dummy variables  t 
s  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezout.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 bezout.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
3 gcddvds 13017 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
41, 2, 3syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
54simpld 447 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  ||  A )
61, 2gcdcld 13020 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  e.  NN0 )
76nn0zd 10375 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  e.  ZZ )
8 divides 12856 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  <->  E. s  e.  ZZ  ( s  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )
97, 1, 8syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  <->  E. s  e.  ZZ  ( s  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )
105, 9mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. s  e.  ZZ  ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A )
114simprd 451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  ||  B )
12 divides 12856 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  B  <->  E. t  e.  ZZ  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B ) )
137, 2, 12syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  B  <->  E. t  e.  ZZ  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B ) )
1411, 13mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. t  e.  ZZ  ( t  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B )
15 reeanv 2877 . . . . . 6  |-  ( E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  (
( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  (
t  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B )  <->  ( E. s  e.  ZZ  (
s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  E. t  e.  ZZ  (
t  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B ) )
16 bezout.1 . . . . . . . . . . 11  |-  M  =  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) }
17 bezout.2 . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )
18 bezout.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
1916, 1, 2, 17, 18bezoutlem2 13041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  M )
20 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  u ) )
2120oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  (
( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  y
) ) )
2221eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  u  ->  (
z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  <->  z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
23 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  v  ->  ( B  x.  y )  =  ( B  x.  v ) )
2423oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  v  ->  (
( A  x.  u
)  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) )
2524eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  v  ->  (
z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  y ) )  <->  z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) ) )
2622, 25cbvrex2v 2943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) )
27 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  G  ->  (
z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  <->  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) ) )
28272rexbidv 2750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  G  ->  ( E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  <->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
2926, 28syl5bb 250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  G  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
3029, 16elrab2 3096 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  M  <->  ( G  e.  NN  /\  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
3119, 30sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  e.  NN  /\ 
E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) ) )
3231simprd 451 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) )
33 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  s  e.  ZZ )
34 simprll 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  u  e.  ZZ )
3533, 34zmulcld 10383 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
s  x.  u )  e.  ZZ )
36 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  t  e.  ZZ )
37 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  v  e.  ZZ )
3836, 37zmulcld 10383 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
t  x.  v )  e.  ZZ )
3935, 38zaddcld 10381 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( s  x.  u
)  +  ( t  x.  v ) )  e.  ZZ )
407adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A  gcd  B )  e.  ZZ )
41 dvdsmul2 12874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( s  x.  u )  +  ( t  x.  v ) )  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  B )  e.  ZZ )  -> 
( A  gcd  B
)  ||  ( (
( s  x.  u
)  +  ( t  x.  v ) )  x.  ( A  gcd  B ) ) )
4239, 40, 41syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A  gcd  B )  ||  ( ( ( s  x.  u )  +  ( t  x.  v
) )  x.  ( A  gcd  B ) ) )
4335zcnd 10378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
s  x.  u )  e.  CC )
4438zcnd 10378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
t  x.  v )  e.  CC )
4540zcnd 10378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A  gcd  B )  e.  CC )
4643, 44, 45adddird 9115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( s  x.  u )  +  ( t  x.  v ) )  x.  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( ( s  x.  u )  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( t  x.  v
)  x.  ( A  gcd  B ) ) ) )
4733zcnd 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  s  e.  CC )
4834zcnd 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  u  e.  CC )
4947, 48, 45mul32d 9278 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( s  x.  u
)  x.  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  u
) )
5036zcnd 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  t  e.  CC )
5137zcnd 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  v  e.  CC )
5250, 51, 45mul32d 9278 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( t  x.  v
)  x.  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( t  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  v
) )
5349, 52oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( s  x.  u )  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( t  x.  v )  x.  ( A  gcd  B
) ) )  =  ( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  u
)  +  ( ( t  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  v ) ) )
5446, 53eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( s  x.  u )  +  ( t  x.  v ) )  x.  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  u )  +  ( ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  x.  v
) ) )
5542, 54breqtrd 4238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A  gcd  B )  ||  ( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  u
)  +  ( ( t  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  v ) ) )
56 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  (
( s  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  u )  =  ( A  x.  u
) )
57 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  ->  (
( t  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  v )  =  ( B  x.  v
) )
5856, 57oveqan12d 6102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  (
t  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B )  -> 
( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  u
)  +  ( ( t  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  v ) )  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) )
5958breq2d 4226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  (
t  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B )  -> 
( ( A  gcd  B )  ||  ( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  u )  +  ( ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  x.  v
) )  <->  ( A  gcd  B )  ||  (
( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
6055, 59syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( s  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A  /\  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  (
( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
61 breq2 4218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  G  <->  ( A  gcd  B )  ||  (
( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
6261imbi2d 309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  ->  (
( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  G
)  <->  ( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  (
t  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B )  -> 
( A  gcd  B
)  ||  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) ) ) )
6360, 62syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  ( G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  -> 
( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  G
) ) )
6463expr 600 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  -> 
( ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  -> 
( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  G
) ) ) )
6564com23 75 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  -> 
( G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  ->  ( ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  (
( ( s  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A  /\  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  G
) ) ) )
6665rexlimdvva 2839 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  ->  ( ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  (
( ( s  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A  /\  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  G
) ) ) )
6732, 66mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  (
( ( s  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A  /\  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  G
) ) )
6867rexlimdvv 2838 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  G
) )
6915, 68syl5bir 211 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E. s  e.  ZZ  ( s  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A  /\  E. t  e.  ZZ  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  G
) )
7010, 14, 69mp2and 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  ||  G )
7131simpld 447 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  NN )
72 dvdsle 12897 . . . . 5  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  G  e.  NN )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  G  -> 
( A  gcd  B
)  <_  G )
)
737, 71, 72syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  G  -> 
( A  gcd  B
)  <_  G )
)
7470, 73mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  <_  G )
75 breq2 4218 . . . . 5  |-  ( A  =  0  ->  ( G  ||  A  <->  G  ||  0
) )
7616, 1, 2bezoutlem1 13040 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  0  ->  ( abs `  A
)  e.  M ) )
7716, 1, 2, 17, 18bezoutlem3 13042 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  e.  M  ->  G  ||  ( abs `  A
) ) )
7876, 77syld 43 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  0  ->  G  ||  ( abs `  A ) ) )
7971nnzd 10376 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ZZ )
80 dvdsabsb 12871 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( G  ||  A  <->  G 
||  ( abs `  A
) ) )
8179, 1, 80syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  ||  A  <->  G 
||  ( abs `  A
) ) )
8278, 81sylibrd 227 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  0  ->  G  ||  A ) )
8382imp 420 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  G  ||  A )
84 dvds0 12867 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ZZ  ->  G  ||  0 )
8579, 84syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  ||  0 )
8675, 83, 85pm2.61ne 2681 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  ||  A )
87 breq2 4218 . . . . 5  |-  ( B  =  0  ->  ( G  ||  B  <->  G  ||  0
) )
88 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y
)  +  ( A  x.  x ) ) }  =  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y
)  +  ( A  x.  x ) ) }
8988, 2, 1bezoutlem1 13040 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  0  ->  ( abs `  B
)  e.  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y
)  +  ( A  x.  x ) ) } ) )
90 rexcom 2871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )
911zcnd 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
9291adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  CC )
93 zcn 10289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
9493ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  x  e.  CC )
9592, 94mulcld 9110 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
( A  x.  x
)  e.  CC )
962zcnd 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
9796adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  CC )
98 zcn 10289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
9998ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
y  e.  CC )
10097, 99mulcld 9110 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
( B  x.  y
)  e.  CC )
10195, 100addcomd 9270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x ) ) )
102101eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
( z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <-> 
z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x ) ) ) )
1031022rexbidva 2748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <->  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x
) ) ) )
10490, 103syl5bb 250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <->  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x
) ) ) )
105104rabbidv 2950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) }  =  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x
) ) } )
10616, 105syl5eq 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  =  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y
)  +  ( A  x.  x ) ) } )
107106eleq2d 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  B
)  e.  M  <->  ( abs `  B )  e.  {
z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x
) ) } ) )
10889, 107sylibrd 227 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  0  ->  ( abs `  B
)  e.  M ) )
10916, 1, 2, 17, 18bezoutlem3 13042 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  B
)  e.  M  ->  G  ||  ( abs `  B
) ) )
110108, 109syld 43 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  0  ->  G  ||  ( abs `  B ) ) )
111 dvdsabsb 12871 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( G  ||  B  <->  G 
||  ( abs `  B
) ) )
11279, 2, 111syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  ||  B  <->  G 
||  ( abs `  B
) ) )
113110, 112sylibrd 227 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  0  ->  G  ||  B ) )
114113imp 420 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  0 )  ->  G  ||  B )
11587, 114, 85pm2.61ne 2681 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  ||  B )
116 dvdslegcd 13018 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )  -> 
( ( G  ||  A  /\  G  ||  B
)  ->  G  <_  ( A  gcd  B ) ) )
11779, 1, 2, 18, 116syl31anc 1188 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G  ||  A  /\  G  ||  B
)  ->  G  <_  ( A  gcd  B ) ) )
11886, 115, 117mp2and 662 . . 3  |-  ( ph  ->  G  <_  ( A  gcd  B ) )
1196nn0red 10277 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  e.  RR )
12071nnred 10017 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  RR )
121119, 120letri3d 9217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  gcd  B )  =  G  <->  ( ( A  gcd  B )  <_  G  /\  G  <_  ( A  gcd  B ) ) ) )
12274, 118, 121mpbir2and 890 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  =  G )
123122, 19eqeltrd 2512 1  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  e.  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   E.wrex 2708   {crab 2711   class class class wbr 4214   `'ccnv 4879   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   supcsup 7447   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123   NNcn 10002   ZZcz 10284   abscabs 12041    || cdivides 12854    gcd cgcd 13008
This theorem is referenced by:  bezout  13044
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-dvds 12855  df-gcd 13009
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