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Theorem bezoutlem4 12817
Description: Lemma for bezout 12818. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bezout.1  |-  M  =  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) }
bezout.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
bezout.4  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
bezout.2  |-  G  =  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )
bezout.5  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
Assertion
Ref Expression
bezoutlem4  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  e.  M )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, G, y, z    ph, x, y, z   
x, M, y
Allowed substitution hint:    M( z)

Proof of Theorem bezoutlem4
Dummy variables  t 
s  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezout.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 bezout.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
3 gcddvds 12791 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
41, 2, 3syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
54simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  ||  A )
61, 2gcdcld 12794 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  e.  NN0 )
76nn0zd 10207 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  e.  ZZ )
8 divides 12630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  <->  E. s  e.  ZZ  ( s  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )
97, 1, 8syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  <->  E. s  e.  ZZ  ( s  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A ) )
105, 9mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. s  e.  ZZ  ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A )
114simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  ||  B )
12 divides 12630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  B  <->  E. t  e.  ZZ  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B ) )
137, 2, 12syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  B  <->  E. t  e.  ZZ  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B ) )
1411, 13mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. t  e.  ZZ  ( t  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B )
15 reeanv 2783 . . . . . 6  |-  ( E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  (
( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  (
t  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B )  <->  ( E. s  e.  ZZ  (
s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  E. t  e.  ZZ  (
t  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B ) )
16 bezout.1 . . . . . . . . . . 11  |-  M  =  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) }
17 bezout.2 . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )
18 bezout.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
1916, 1, 2, 17, 18bezoutlem2 12815 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  M )
20 oveq2 5953 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  u ) )
2120oveq1d 5960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  (
( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  y
) ) )
2221eqeq2d 2369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  u  ->  (
z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  <->  z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
23 oveq2 5953 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  v  ->  ( B  x.  y )  =  ( B  x.  v ) )
2423oveq2d 5961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  v  ->  (
( A  x.  u
)  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) )
2524eqeq2d 2369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  v  ->  (
z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  y ) )  <->  z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) ) )
2622, 25cbvrex2v 2849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) )
27 eqeq1 2364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  G  ->  (
z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  <->  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) ) )
28272rexbidv 2662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  G  ->  ( E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  <->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
2926, 28syl5bb 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  G  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
3029, 16elrab2 3001 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  M  <->  ( G  e.  NN  /\  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
3119, 30sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  e.  NN  /\ 
E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) ) )
3231simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) )
33 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  s  e.  ZZ )
34 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  u  e.  ZZ )
3533, 34zmulcld 10215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
s  x.  u )  e.  ZZ )
36 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  t  e.  ZZ )
37 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  v  e.  ZZ )
3836, 37zmulcld 10215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
t  x.  v )  e.  ZZ )
3935, 38zaddcld 10213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( s  x.  u
)  +  ( t  x.  v ) )  e.  ZZ )
407adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A  gcd  B )  e.  ZZ )
41 dvdsmul2 12648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( s  x.  u )  +  ( t  x.  v ) )  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  B )  e.  ZZ )  -> 
( A  gcd  B
)  ||  ( (
( s  x.  u
)  +  ( t  x.  v ) )  x.  ( A  gcd  B ) ) )
4239, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A  gcd  B )  ||  ( ( ( s  x.  u )  +  ( t  x.  v
) )  x.  ( A  gcd  B ) ) )
4335zcnd 10210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
s  x.  u )  e.  CC )
4438zcnd 10210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
t  x.  v )  e.  CC )
4540zcnd 10210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A  gcd  B )  e.  CC )
4643, 44, 45adddird 8950 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( s  x.  u )  +  ( t  x.  v ) )  x.  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( ( s  x.  u )  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( t  x.  v
)  x.  ( A  gcd  B ) ) ) )
4733zcnd 10210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  s  e.  CC )
4834zcnd 10210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  u  e.  CC )
4947, 48, 45mul32d 9112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( s  x.  u
)  x.  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  u
) )
5036zcnd 10210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  t  e.  CC )
5137zcnd 10210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  v  e.  CC )
5250, 51, 45mul32d 9112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( t  x.  v
)  x.  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( t  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  v
) )
5349, 52oveq12d 5963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( s  x.  u )  x.  ( A  gcd  B ) )  +  ( ( t  x.  v )  x.  ( A  gcd  B
) ) )  =  ( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  u
)  +  ( ( t  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  v ) ) )
5446, 53eqtrd 2390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( s  x.  u )  +  ( t  x.  v ) )  x.  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  u )  +  ( ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  x.  v
) ) )
5542, 54breqtrd 4128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A  gcd  B )  ||  ( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  u
)  +  ( ( t  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  v ) ) )
56 oveq1 5952 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  ->  (
( s  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  u )  =  ( A  x.  u
) )
57 oveq1 5952 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B  ->  (
( t  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  v )  =  ( B  x.  v
) )
5856, 57oveqan12d 5964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  (
t  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B )  -> 
( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  u
)  +  ( ( t  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  v ) )  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) )
5958breq2d 4116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  (
t  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B )  -> 
( ( A  gcd  B )  ||  ( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  x.  u )  +  ( ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  x.  v
) )  <->  ( A  gcd  B )  ||  (
( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
6055, 59syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( s  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A  /\  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  (
( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
61 breq2 4108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  G  <->  ( A  gcd  B )  ||  (
( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
6261imbi2d 307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  ->  (
( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  G
)  <->  ( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  (
t  x.  ( A  gcd  B ) )  =  B )  -> 
( A  gcd  B
)  ||  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) ) ) )
6360, 62syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  /\  ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ ) ) )  ->  ( G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  -> 
( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  G
) ) )
6463expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  -> 
( ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  -> 
( ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  G
) ) ) )
6564com23 72 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) )  -> 
( G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  ->  ( ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  (
( ( s  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A  /\  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  G
) ) ) )
6665rexlimdvva 2750 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  ->  ( ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  (
( ( s  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A  /\  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  G
) ) ) )
6732, 66mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  (
( ( s  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A  /\  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  G
) ) )
6867rexlimdvv 2749 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  ( ( s  x.  ( A  gcd  B ) )  =  A  /\  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  G
) )
6915, 68syl5bir 209 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E. s  e.  ZZ  ( s  x.  ( A  gcd  B
) )  =  A  /\  E. t  e.  ZZ  ( t  x.  ( A  gcd  B
) )  =  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  G
) )
7010, 14, 69mp2and 660 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  ||  G )
7131simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  NN )
72 dvdsle 12671 . . . . 5  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  G  e.  NN )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  G  -> 
( A  gcd  B
)  <_  G )
)
737, 71, 72syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  G  -> 
( A  gcd  B
)  <_  G )
)
7470, 73mpd 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  <_  G )
75 breq2 4108 . . . . 5  |-  ( A  =  0  ->  ( G  ||  A  <->  G  ||  0
) )
7616, 1, 2bezoutlem1 12814 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  0  ->  ( abs `  A
)  e.  M ) )
7716, 1, 2, 17, 18bezoutlem3 12816 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  e.  M  ->  G  ||  ( abs `  A
) ) )
7876, 77syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  0  ->  G  ||  ( abs `  A ) ) )
7971nnzd 10208 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ZZ )
80 dvdsabsb 12645 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( G  ||  A  <->  G 
||  ( abs `  A
) ) )
8179, 1, 80syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  ||  A  <->  G 
||  ( abs `  A
) ) )
8278, 81sylibrd 225 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  0  ->  G  ||  A ) )
8382imp 418 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  G  ||  A )
84 dvds0 12641 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ZZ  ->  G  ||  0 )
8579, 84syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  ||  0 )
8675, 83, 85pm2.61ne 2596 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  ||  A )
87 breq2 4108 . . . . 5  |-  ( B  =  0  ->  ( G  ||  B  <->  G  ||  0
) )
88 eqid 2358 . . . . . . . . . 10  |-  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y
)  +  ( A  x.  x ) ) }  =  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y
)  +  ( A  x.  x ) ) }
8988, 2, 1bezoutlem1 12814 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  0  ->  ( abs `  B
)  e.  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y
)  +  ( A  x.  x ) ) } ) )
90 rexcom 2777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )
911zcnd 10210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
9291adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  CC )
93 zcn 10121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
9493ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  x  e.  CC )
9592, 94mulcld 8945 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
( A  x.  x
)  e.  CC )
962zcnd 10210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
9796adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  CC )
98 zcn 10121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
9998ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
y  e.  CC )
10097, 99mulcld 8945 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
( B  x.  y
)  e.  CC )
10195, 100addcomd 9104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x ) ) )
102101eqeq2d 2369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
( z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <-> 
z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x ) ) ) )
1031022rexbidva 2660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <->  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x
) ) ) )
10490, 103syl5bb 248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <->  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x
) ) ) )
105104rabbidv 2856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) }  =  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x
) ) } )
10616, 105syl5eq 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  =  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y
)  +  ( A  x.  x ) ) } )
107106eleq2d 2425 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  B
)  e.  M  <->  ( abs `  B )  e.  {
z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x
) ) } ) )
10889, 107sylibrd 225 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  0  ->  ( abs `  B
)  e.  M ) )
10916, 1, 2, 17, 18bezoutlem3 12816 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  B
)  e.  M  ->  G  ||  ( abs `  B
) ) )
110108, 109syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  0  ->  G  ||  ( abs `  B ) ) )
111 dvdsabsb 12645 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( G  ||  B  <->  G 
||  ( abs `  B
) ) )
11279, 2, 111syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  ||  B  <->  G 
||  ( abs `  B
) ) )
113110, 112sylibrd 225 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  0  ->  G  ||  B ) )
114113imp 418 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  0 )  ->  G  ||  B )
11587, 114, 85pm2.61ne 2596 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  ||  B )
116 dvdslegcd 12792 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )  -> 
( ( G  ||  A  /\  G  ||  B
)  ->  G  <_  ( A  gcd  B ) ) )
11779, 1, 2, 18, 116syl31anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G  ||  A  /\  G  ||  B
)  ->  G  <_  ( A  gcd  B ) ) )
11886, 115, 117mp2and 660 . . 3  |-  ( ph  ->  G  <_  ( A  gcd  B ) )
1196nn0red 10111 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  e.  RR )
12071nnred 9851 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  RR )
121119, 120letri3d 9051 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  gcd  B )  =  G  <->  ( ( A  gcd  B )  <_  G  /\  G  <_  ( A  gcd  B ) ) ) )
12274, 118, 121mpbir2and 888 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  =  G )
123122, 19eqeltrd 2432 1  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  e.  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   E.wrex 2620   {crab 2623   class class class wbr 4104   `'ccnv 4770   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   supcsup 7283   CCcc 8825   RRcr 8826   0cc0 8827    + caddc 8830    x. cmul 8832    < clt 8957    <_ cle 8958   NNcn 9836   ZZcz 10116   abscabs 11815    || cdivides 12628    gcd cgcd 12782
This theorem is referenced by:  bezout  12818
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-fl 11017  df-mod 11066  df-seq 11139  df-exp 11198  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-dvds 12629  df-gcd 12783
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