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Theorem bfplem1 26531
Description: Lemma for bfp 26533. The sequence  G, which simply starts from any point in the space and iterates  F, satisfies the property that the distance from  G ( n ) to  G ( n  + 
1 ) decreases by at least  K after each step. Thus, the total distance from any  G ( i ) to  G ( j ) is bounded by a geometric series, and the sequence is Cauchy. Therefore, it converges to a point  ( ( ~~> t `  J
) `  G ) since the space is complete. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
bfp.3  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
bfp.4  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
bfp.5  |-  ( ph  ->  K  <  1 )
bfp.6  |-  ( ph  ->  F : X --> X )
bfp.7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
bfp.8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
bfp.9  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
bfp.10  |-  G  =  seq  1 ( ( F  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { A } ) )
Assertion
Ref Expression
bfplem1  |-  ( ph  ->  G ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, G, y    x, J, y    ph, x, y   
x, F, y    x, K, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem bfplem1
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.2 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
2 cmetmet 19239 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4 nnuz 10521 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5 bfp.10 . . . . 5  |-  G  =  seq  1 ( ( F  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { A } ) )
6 1z 10311 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
8 bfp.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
9 bfp.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : X --> X )
104, 5, 7, 8, 9algrf 13064 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : NN --> X )
119, 8ffvelrnd 5871 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  e.  X )
12 metcl 18362 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  ( F `  A )  e.  X )  ->  ( A D ( F `  A ) )  e.  RR )
133, 8, 11, 12syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A D ( F `  A ) )  e.  RR )
14 bfp.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
1513, 14rerpdivcld 10675 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  e.  RR )
16 bfp.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  <  1 )
17 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  1  ->  ( G `  j )  =  ( G ` 
1 ) )
18 oveq1 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  1  ->  (
j  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
1918fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  1  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( G `  ( 1  +  1 ) ) )
2017, 19oveq12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  1  ->  (
( G `  j
) D ( G `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( G `
 1 ) D ( G `  (
1  +  1 ) ) ) )
21 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  1  ->  ( K ^ j )  =  ( K ^ 1 ) )
2221oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  1  ->  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ j ) )  =  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ 1 ) ) )
2320, 22breq12d 4225 . . . . . . 7  |-  ( j  =  1  ->  (
( ( G `  j ) D ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( (
( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
j ) )  <->  ( ( G `  1 ) D ( G `  ( 1  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ 1 ) ) ) )
2423imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( j  =  1  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  j ) D ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ j ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( G `  1
) D ( G `
 ( 1  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ 1 ) ) ) ) )
25 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  ( G `  j )  =  ( G `  k ) )
26 oveq1 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  (
j  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
2726fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( G `  ( k  +  1 ) ) )
2825, 27oveq12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
( G `  j
) D ( G `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( G `
 k ) D ( G `  (
k  +  1 ) ) ) )
29 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  ( K ^ j )  =  ( K ^ k
) )
3029oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ j ) )  =  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k
) ) )
3128, 30breq12d 4225 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( G `  j ) D ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( (
( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
j ) )  <->  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k ) ) ) )
3231imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  j ) D ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ j ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( G `  k
) D ( G `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k
) ) ) ) )
33 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( G `  j )  =  ( G `  ( k  +  1 ) ) )
34 oveq1 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  +  1 )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
3534fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( G `  ( ( k  +  1 )  +  1 ) ) )
3633, 35oveq12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( G `  j
) D ( G `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( G `
 ( k  +  1 ) ) D ( G `  (
( k  +  1 )  +  1 ) ) ) )
37 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( K ^ j )  =  ( K ^ (
k  +  1 ) ) )
3837oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ j ) )  =  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ (
k  +  1 ) ) ) )
3936, 38breq12d 4225 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( G `  j ) D ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( (
( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
j ) )  <->  ( ( G `  ( k  +  1 ) ) D ( G `  ( ( k  +  1 )  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
4039imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  j ) D ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ j ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( G `  (
k  +  1 ) ) D ( G `
 ( ( k  +  1 )  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
4113leidd 9593 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A D ( F `  A ) )  <_  ( A D ( F `  A ) ) )
424, 5, 7, 8algr0 13063 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  =  A )
43 1nn 10011 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
444, 5, 7, 8, 9algrp1 13065 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  1  e.  NN )  ->  ( G `
 ( 1  +  1 ) )  =  ( F `  ( G `  1 )
) )
4543, 44mpan2 653 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  (
1  +  1 ) )  =  ( F `
 ( G ` 
1 ) ) )
4642fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  ( G `  1 )
)  =  ( F `
 A ) )
4745, 46eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  (
1  +  1 ) )  =  ( F `
 A ) )
4842, 47oveq12d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G ` 
1 ) D ( G `  ( 1  +  1 ) ) )  =  ( A D ( F `  A ) ) )
4914rpred 10648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
5049recnd 9114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
5150exp1d 11518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K ^ 1 )  =  K )
5251oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ 1 ) )  =  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  K ) )
5313recnd 9114 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D ( F `  A ) )  e.  CC )
5414rpne0d 10653 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  =/=  0 )
5553, 50, 54divcan1d 9791 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  K
)  =  ( A D ( F `  A ) ) )
5652, 55eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ 1 ) )  =  ( A D ( F `  A
) ) )
5741, 48, 563brtr4d 4242 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( G ` 
1 ) D ( G `  ( 1  +  1 ) ) )  <_  ( (
( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
1 ) ) )
5810ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  e.  X )
59 peano2nn 10012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
60 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G : NN --> X  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  X
)
6110, 59, 60syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 ( k  +  1 ) )  e.  X )
6258, 61jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( G `  k )  e.  X  /\  ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  X ) )
63 bfp.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
6463ralrimivva 2798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
6564adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_ 
( K  x.  (
x D y ) ) )
66 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( G `  k )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
6766oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( G `  k )  ->  (
( F `  x
) D ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( G `  k ) ) D ( F `  y
) ) )
68 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( G `  k )  ->  (
x D y )  =  ( ( G `
 k ) D y ) )
6968oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( G `  k )  ->  ( K  x.  ( x D y ) )  =  ( K  x.  ( ( G `  k ) D y ) ) )
7067, 69breq12d 4225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( G `  k )  ->  (
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) )  <->  ( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `  y
) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  k ) D y ) ) ) )
71 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( G `  ( k  +  1 ) )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )
7271oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( G `  ( k  +  1 ) )  ->  (
( F `  ( G `  k )
) D ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( G `  k ) ) D ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
73 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( G `  ( k  +  1 ) )  ->  (
( G `  k
) D y )  =  ( ( G `
 k ) D ( G `  (
k  +  1 ) ) ) )
7473oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( G `  ( k  +  1 ) )  ->  ( K  x.  ( ( G `  k ) D y ) )  =  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
7572, 74breq12d 4225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( G `  ( k  +  1 ) )  ->  (
( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `
 y ) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  k ) D y ) )  <->  ( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7670, 75rspc2v 3058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  X  /\  ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  X )  -> 
( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `
 x ) D ( F `  y
) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) )  ->  ( ( F `
 ( G `  k ) ) D ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7762, 65, 76sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( G `
 k ) ) D ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
783adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
799adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F : X
--> X )
8079, 58ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( G `  k ) )  e.  X )
8179, 61ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( G `  ( k  +  1 ) ) )  e.  X )
82 metcl 18362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( G `  k ) )  e.  X  /\  ( F `
 ( G `  ( k  +  1 ) ) )  e.  X )  ->  (
( F `  ( G `  k )
) D ( F `
 ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
8378, 80, 81, 82syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( G `
 k ) ) D ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
8449adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  K  e.  RR )
85 metcl 18362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  X )  -> 
( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
8678, 58, 61, 85syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
8784, 86remulcld 9116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( K  x.  ( ( G `
 k ) D ( G `  (
k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
8815adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  e.  RR )
8959adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
9089nnnn0d 10274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
9184, 90reexpcld 11540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( K ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR )
9288, 91remulcld 9116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
93 letr 9167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `
 ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( ( F `  ( G `
 k ) ) D ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  /\  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
9483, 87, 92, 93syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `
 ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  /\  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ (
k  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `
 ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ (
k  +  1 ) ) ) ) )
9577, 94mpand 657 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( F `  ( G `  k )
) D ( F `
 ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ (
k  +  1 ) ) ) ) )
96 nnnn0 10228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
97 reexpcl 11398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( K ^ k
)  e.  RR )
9849, 96, 97syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( K ^ k )  e.  RR )
9988, 98remulcld 9116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
k ) )  e.  RR )
10014rpgt0d 10651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  K )
101100adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
K )
102 lemul1 9862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k ) )  e.  RR  /\  ( K  e.  RR  /\  0  <  K ) )  -> 
( ( ( G `
 k ) D ( G `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ k ) )  <-> 
( ( ( G `
 k ) D ( G `  (
k  +  1 ) ) )  x.  K
)  <_  ( (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ k ) )  x.  K ) ) )
10386, 99, 84, 101, 102syl112anc 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( G `  k
) D ( G `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k
) )  <->  ( (
( G `  k
) D ( G `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  K )  <_ 
( ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k
) )  x.  K
) ) )
10486recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
10550adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  K  e.  CC )
106104, 105mulcomd 9109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( G `  k
) D ( G `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  K )  =  ( K  x.  (
( G `  k
) D ( G `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
10788recnd 9114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  e.  CC )
10898recnd 9114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( K ^ k )  e.  CC )
109107, 108, 105mulassd 9111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ k ) )  x.  K )  =  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  (
( K ^ k
)  x.  K ) ) )
110 expp1 11388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( K ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( K ^ k )  x.  K ) )
11150, 96, 110syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( K ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( K ^
k )  x.  K
) )
112111oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  (
( K ^ k
)  x.  K ) ) )
113109, 112eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ k ) )  x.  K )  =  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) ) )
114106, 113breq12d 4225 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  x.  K )  <_  ( ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
k ) )  x.  K )  <->  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
115103, 114bitrd 245 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( G `  k
) D ( G `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k
) )  <->  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
1164, 5, 7, 8, 9algrp1 13065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 ( k  +  1 ) )  =  ( F `  ( G `  k )
) )
1174, 5, 7, 8, 9algrp1 13065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( G `  ( (
k  +  1 )  +  1 ) )  =  ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )
11859, 117sylan2 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  =  ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )
119116, 118oveq12d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( G `  ( k  +  1 ) ) D ( G `  ( ( k  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `
 ( G `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
120119breq1d 4222 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( G `  (
k  +  1 ) ) D ( G `
 ( ( k  +  1 )  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ (
k  +  1 ) ) )  <->  ( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
12195, 115, 1203imtr4d 260 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( G `  k
) D ( G `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k
) )  ->  (
( G `  (
k  +  1 ) ) D ( G `
 ( ( k  +  1 )  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ (
k  +  1 ) ) ) ) )
122121expcom 425 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k ) )  ->  ( ( G `
 ( k  +  1 ) ) D ( G `  (
( k  +  1 )  +  1 ) ) )  <_  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
123122a2d 24 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( G `  ( k  +  1 ) ) D ( G `  ( ( k  +  1 )  +  1 ) ) )  <_  ( (
( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
( k  +  1 ) ) ) ) ) )
12424, 32, 40, 32, 57, 123nnind 10018 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( ( G `
 k ) D ( G `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ k ) ) ) )
125124impcom 420 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k ) ) )
1263, 10, 15, 14, 16, 125geomcau 26465 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Cau `  D ) )
127 bfp.8 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
128127cmetcau 19242 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  G  e.  ( Cau `  D
) )  ->  G  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
1291, 126, 128syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)
130 metxmet 18364 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
131127methaus 18550 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Haus )
1323, 130, 1313syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
133 lmfun 17445 . . 3  |-  ( J  e.  Haus  ->  Fun  ( ~~> t `  J )
)
134 funfvbrb 5843 . . 3  |-  ( Fun  ( ~~> t `  J
)  ->  ( G  e.  dom  ( ~~> t `  J )  <->  G ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
135132, 133, 1343syl 19 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  dom  (
~~> t `  J )  <-> 
G ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )
136129, 135mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  G ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   (/)c0 3628   {csn 3814   class class class wbr 4212    X. cxp 4876   dom cdm 4878    o. ccom 4882   Fun wfun 5448   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1stc1st 6347   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    / cdiv 9677   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   RR+crp 10612    seq cseq 11323   ^cexp 11382   * Metcxmt 16686   Metcme 16687   MetOpencmopn 16691   ~~> tclm 17290   Hauscha 17372   Caucca 19206   CMetcms 19207
This theorem is referenced by:  bfplem2  26532
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-ntr 17084  df-nei 17162  df-lm 17293  df-haus 17379  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-cfil 19208  df-cau 19209  df-cmet 19210
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