Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bfplem1 Unicode version

Theorem bfplem1 25958
 Description: Lemma for bfp 25960. The sequence , which simply starts from any point in the space and iterates , satisfies the property that the distance from to decreases by at least after each step. Thus the total distance from any to is bounded by a geometric series, and the sequence is Cauchy. Therefore, it converges to a point since the space is complete. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2
bfp.3
bfp.4
bfp.5
bfp.6
bfp.7
bfp.8
bfp.9
bfp.10
Assertion
Ref Expression
bfplem1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem bfplem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.2 . . 3
2 cmetmet 18712 . . . . 5
31, 2syl 15 . . . 4
4 nnuz 10263 . . . . 5
5 bfp.10 . . . . 5
6 1z 10053 . . . . . 6
76a1i 10 . . . . 5
8 bfp.9 . . . . 5
9 bfp.6 . . . . 5
104, 5, 7, 8, 9algrf 12743 . . . 4
11 ffvelrn 5663 . . . . . . 7
129, 8, 11syl2anc 642 . . . . . 6
13 metcl 17897 . . . . . 6
143, 8, 12, 13syl3anc 1182 . . . . 5
15 bfp.4 . . . . 5
1614, 15rerpdivcld 10417 . . . 4
17 bfp.5 . . . 4
18 fveq2 5525 . . . . . . . . 9
19 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10
2019fveq2d 5529 . . . . . . . . 9
2118, 20oveq12d 5876 . . . . . . . 8
22 oveq2 5866 . . . . . . . . 9
2322oveq2d 5874 . . . . . . . 8
2421, 23breq12d 4036 . . . . . . 7
2524imbi2d 307 . . . . . 6
26 fveq2 5525 . . . . . . . . 9
27 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10
2827fveq2d 5529 . . . . . . . . 9
2926, 28oveq12d 5876 . . . . . . . 8
30 oveq2 5866 . . . . . . . . 9
3130oveq2d 5874 . . . . . . . 8
3229, 31breq12d 4036 . . . . . . 7
3332imbi2d 307 . . . . . 6
34 fveq2 5525 . . . . . . . . 9
35 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10
3635fveq2d 5529 . . . . . . . . 9
3734, 36oveq12d 5876 . . . . . . . 8
38 oveq2 5866 . . . . . . . . 9
3938oveq2d 5874 . . . . . . . 8
4037, 39breq12d 4036 . . . . . . 7
4140imbi2d 307 . . . . . 6
4214leidd 9339 . . . . . . 7
434, 5, 7, 8algr0 12742 . . . . . . . 8
44 1nn 9757 . . . . . . . . . 10
454, 5, 7, 8, 9algrp1 12744 . . . . . . . . . 10
4644, 45mpan2 652 . . . . . . . . 9
4743fveq2d 5529 . . . . . . . . 9
4846, 47eqtrd 2315 . . . . . . . 8
4943, 48oveq12d 5876 . . . . . . 7
5015rpred 10390 . . . . . . . . . . 11
5150recnd 8861 . . . . . . . . . 10
5251exp1d 11240 . . . . . . . . 9
5352oveq2d 5874 . . . . . . . 8
5414recnd 8861 . . . . . . . . 9
5515rpne0d 10395 . . . . . . . . 9
5654, 51, 55divcan1d 9537 . . . . . . . 8
5753, 56eqtrd 2315 . . . . . . 7
5842, 49, 573brtr4d 4053 . . . . . 6
59 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13
6010, 59sylan 457 . . . . . . . . . . . 12
61 peano2nn 9758 . . . . . . . . . . . . 13
62 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13
6310, 61, 62syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12
6460, 63jca 518 . . . . . . . . . . 11
65 bfp.7 . . . . . . . . . . . . 13
6665ralrimivva 2635 . . . . . . . . . . . 12
6766adantr 451 . . . . . . . . . . 11
68 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14
6968oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13
70 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . 14
7170oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13
7269, 71breq12d 4036 . . . . . . . . . . . 12
73 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14
7473oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13
75 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14
7675oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13
7774, 76breq12d 4036 . . . . . . . . . . . 12
7872, 77rspc2v 2890 . . . . . . . . . . 11
7964, 67, 78sylc 56 . . . . . . . . . 10
803adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
819adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
82 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13
8381, 60, 82syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
84 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13
8581, 63, 84syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
86 metcl 17897 . . . . . . . . . . . 12
8780, 83, 85, 86syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
8850adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
89 metcl 17897 . . . . . . . . . . . . 13
9080, 60, 63, 89syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12
9188, 90remulcld 8863 . . . . . . . . . . 11
9216adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
9361adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14
9493nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . 13
9588, 94reexpcld 11262 . . . . . . . . . . . 12
9692, 95remulcld 8863 . . . . . . . . . . 11
97 letr 8914 . . . . . . . . . . 11
9887, 91, 96, 97syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10
9979, 98mpand 656 . . . . . . . . 9
100 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . . 13
101 reexpcl 11120 . . . . . . . . . . . . 13
10250, 100, 101syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12
10392, 102remulcld 8863 . . . . . . . . . . 11
10415rpgt0d 10393 . . . . . . . . . . . 12
105104adantr 451 . . . . . . . . . . 11
106 lemul1 9608 . . . . . . . . . . 11
10790, 103, 88, 105, 106syl112anc 1186 . . . . . . . . . 10
10890recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12
10951adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
110108, 109mulcomd 8856 . . . . . . . . . . 11
11192recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13
112102recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13
113111, 112, 109mulassd 8858 . . . . . . . . . . . 12
114 expp1 11110 . . . . . . . . . . . . . 14
11551, 100, 114syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13
116115oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12
117113, 116eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . 11
118110, 117breq12d 4036 . . . . . . . . . 10
119107, 118bitrd 244 . . . . . . . . 9
1204, 5, 7, 8, 9algrp1 12744 . . . . . . . . . . 11
1214, 5, 7, 8, 9algrp1 12744 . . . . . . . . . . . 12
12261, 121sylan2 460 . . . . . . . . . . 11
123120, 122oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10
124123breq1d 4033 . . . . . . . . 9
12599, 119, 1243imtr4d 259 . . . . . . . 8
126125expcom 424 . . . . . . 7
127126a2d 23 . . . . . 6
12825, 33, 41, 33, 58, 127nnind 9764 . . . . 5
129128impcom 419 . . . 4
1303, 10, 16, 15, 17, 129geomcau 25887 . . 3
131 bfp.8 . . . 4
132131cmetcau 18715 . . 3
1331, 130, 132syl2anc 642 . 2
134 metxmet 17899 . . . 4
135131methaus 18066 . . . 4
1363, 134, 1353syl 18 . . 3
137 lmfun 17109 . . 3
138 funfvbrb 5638 . . 3
139136, 137, 1383syl 18 . 2
140133, 139mpbid 201 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  c0 3455  csn 3640   class class class wbr 4023   cxp 4687   cdm 4689   ccom 4693   wfun 5249  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  c1st 6120  cc 8735  cr 8736  cc0 8737  c1 8738   caddc 8740   cmul 8742   clt 8867   cle 8868   cdiv 9423  cn 9746  cn0 9965  cz 10024  crp 10354   cseq 11046  cexp 11104  cxmt 16369  cme 16370  cmopn 16372  clm 16956  cha 17036  cca 18679  cms 18680 This theorem is referenced by:  bfplem2  25959 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-ntr 16757  df-nei 16835  df-lm 16959  df-haus 17043  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-cfil 18681  df-cau 18682  df-cmet 18683
 Copyright terms: Public domain W3C validator