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Theorem binomlem 12164
Description: Lemma for binom 12165 (binomial theorem). Inductive step. (Contributed by NM, 6-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
binomlem.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
binomlem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
binomlem.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
binomlem.4  |-  ( ps 
->  ( ( A  +  B ) ^ N
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
binomlem  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) ^ ( N  +  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, N    ph, k
Allowed substitution hint:    ps( k)

Proof of Theorem binomlem
StepHypRef Expression
1 binomlem.4 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( ( A  +  B ) ^ N
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
21adantl 454 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) ^ N
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
32oveq1d 5725 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  A
)  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  x.  A ) )
4 fzfid 10913 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
5 binomlem.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
6 fzelp1 10716 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
7 binomlem.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
8 elfzelz 10676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
9 bccl 11212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  k
)  e.  NN0 )
107, 8, 9syl2an 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
1110nn0cnd 9899 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
126, 11sylan2 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
13 fznn0sub 10702 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
14 expcl 10999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ ( N  -  k )
)  e.  CC )
155, 13, 14syl2an 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A ^ ( N  -  k ) )  e.  CC )
16 binomlem.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
17 elfznn0 10700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
18 expcl 10999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B ^ k
)  e.  CC )
1916, 17, 18syl2an 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( B ^ k )  e.  CC )
206, 19sylan2 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( B ^ k )  e.  CC )
2115, 20mulcld 8735 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) )  e.  CC )
2212, 21mulcld 8735 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  e.  CC )
234, 5, 22fsummulc1 12124 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  A )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  A ) )
245adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A  e.  CC )
2512, 21, 24mulassd 8738 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  A )  =  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) )  x.  A
) ) )
267nn0cnd 9899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
2726adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  CC )
28 ax-1cn 8675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
2928a1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  1  e.  CC )
30 elfzelz 10676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
3130adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ZZ )
3231zcnd 9997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  CC )
3327, 29, 32addsubd 9058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  =  ( ( N  -  k )  +  1 ) )
3433oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  =  ( A ^ (
( N  -  k
)  +  1 ) ) )
35 expp1 10988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( N  -  k
)  +  1 ) )  =  ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  A ) )
365, 13, 35syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A ^ ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  A
) )
3734, 36eqtrd 2285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  =  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  A
) )
3837oveq1d 5725 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) )  =  ( ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  A )  x.  ( B ^ k
) ) )
3915, 24, 20mul32d 8902 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  A
)  x.  ( B ^ k ) )  =  ( ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) )  x.  A ) )
4038, 39eqtrd 2285 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) )  =  ( ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) )  x.  A ) )
4140oveq2d 5726 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) )  x.  A
) ) )
4225, 41eqtr4d 2288 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  A )  =  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
4342sumeq2dv 12053 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  A )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
44 fzssp1 10712 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) )
4544a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  C_  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )
46 fznn0sub 10702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  e.  NN0 )
47 expcl 10999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( N  + 
1 )  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  e.  CC )
485, 46, 47syl2an 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  e.  CC )
4948, 19mulcld 8735 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) )  e.  CC )
5011, 49mulcld 8735 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  e.  CC )
516, 50sylan2 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  e.  CC )
527adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
53 eldifi 3215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
5453, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ZZ )
5554adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
56 eldifn 3216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... N ) )
5756adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... N
) )
58 bcval3 11197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ  /\  -.  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  k )  =  0 )
5952, 55, 57, 58syl3anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( N  _C  k )  =  0 )
6059oveq1d 5725 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  ( 0  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) ) ) )
6149mul02d 8890 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
0  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  0 )
6253, 61sylan2 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( 0  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) ) )  =  0 )
6360, 62eqtrd 2285 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  0 )
64 fzssuz 10710 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( ZZ>= `  0 )
6564a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  C_  ( ZZ>= ` 
0 ) )
6645, 51, 63, 65sumss 12074 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
6723, 43, 663eqtrd 2289 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  A )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
6867adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  A )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
693, 68eqtrd 2285 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  A
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
701oveq1d 5725 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  B
)  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  x.  B ) )
714, 16, 22fsummulc1 12124 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  B )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  B ) )
72 1z 9932 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
7372a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
74 0z 9914 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
7574a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
767nn0zd 9994 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
7716adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  B  e.  CC )
7822, 77mulcld 8735 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  B )  e.  CC )
79 oveq2 5718 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  ( N  _C  k )  =  ( N  _C  (
j  -  1 ) ) )
80 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  ( N  -  k )  =  ( N  -  ( j  -  1 ) ) )
8180oveq2d 5726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  ( A ^ ( N  -  k ) )  =  ( A ^ ( N  -  ( j  -  1 ) ) ) )
82 oveq2 5718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ (
j  -  1 ) ) )
8381, 82oveq12d 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) )  =  ( ( A ^ ( N  -  ( j  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ (
j  -  1 ) ) ) )
8479, 83oveq12d 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  ( ( N  _C  ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( N  -  (
j  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( j  - 
1 ) ) ) ) )
8584oveq1d 5725 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  B )  =  ( ( ( N  _C  ( j  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( N  -  ( j  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ (
j  -  1 ) ) ) )  x.  B ) )
8673, 75, 76, 78, 85fsumshft 12119 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  B )  =  sum_ j  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( N  -  (
j  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( j  - 
1 ) ) ) )  x.  B ) )
87 oveq1 5717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  (
j  -  1 )  =  ( k  - 
1 ) )
8887oveq2d 5726 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  ( N  _C  ( j  - 
1 ) )  =  ( N  _C  (
k  -  1 ) ) )
8987oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  ( N  -  ( j  -  1 ) )  =  ( N  -  ( k  -  1 ) ) )
9089oveq2d 5726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  ( A ^ ( N  -  ( j  -  1 ) ) )  =  ( A ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) ) )
9187oveq2d 5726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  ( B ^ ( j  - 
1 ) )  =  ( B ^ (
k  -  1 ) ) )
9290, 91oveq12d 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  (
( A ^ ( N  -  ( j  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( j  - 
1 ) ) )  =  ( ( A ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ (
k  -  1 ) ) ) )
9388, 92oveq12d 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  (
( N  _C  (
j  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( N  -  ( j  - 
1 ) ) )  x.  ( B ^
( j  -  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( N  -  (
k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )
9493oveq1d 5725 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( N  _C  ( j  -  1 ) )  x.  (
( A ^ ( N  -  ( j  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( j  - 
1 ) ) ) )  x.  B )  =  ( ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ (
k  -  1 ) ) ) )  x.  B ) )
9594cbvsumv 12046 . . . . . . 7  |-  sum_ j  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  ( j  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( N  -  ( j  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ (
j  -  1 ) ) ) )  x.  B )  =  sum_ k  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) ( ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  x.  B )
9686, 95syl6eq 2301 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  B )  =  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( N  -  (
k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  x.  B ) )
9726adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
98 elfzelz 10676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
9998adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
10099zcnd 9997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
10128a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
10297, 100, 101subsub3d 9067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  -  ( k  -  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  -  k ) )
103102oveq2d 5726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( A ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  =  ( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) ) )
104103oveq1d 5725 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( A ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ (
k  -  1 ) ) ) )
105104oveq2d 5726 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( B ^
( k  -  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )
106105oveq1d 5725 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  x.  B )  =  ( ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ (
k  -  1 ) ) ) )  x.  B ) )
107 fzp1ss 10715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) 
C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
10874, 107ax-mp 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) )
109108sseli 3099 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
1107adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
1118adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
112 peano2zm 9941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
113111, 112syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
114 bccl 11212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 )
115110, 113, 114syl2anc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e. 
NN0 )
116115nn0cnd 9899 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
117109, 116sylan2 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
118109, 48sylan2 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  e.  CC )
11916adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  B  e.  CC )
120 elfznn 10697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
121 0p1e1 9719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  +  1 )  =  1
122121oveq1i 5720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
123120, 122eleq2s 2345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
124123adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
125 nnm1nn0 9884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
126124, 125syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
127119, 126expcld 11123 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( B ^ ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
128118, 127mulcld 8735 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) )  e.  CC )
129117, 128, 119mulassd 8738 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  x.  B )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ (
k  -  1 ) ) )  x.  B
) ) )
130118, 127, 119mulassd 8738 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) )  x.  B )  =  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  (
( B ^ (
k  -  1 ) )  x.  B ) ) )
131 expm1t 11008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN )  ->  ( B ^ k
)  =  ( ( B ^ ( k  -  1 ) )  x.  B ) )
13216, 123, 131syl2an 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( B ^ k )  =  ( ( B ^
( k  -  1 ) )  x.  B
) )
133132oveq2d 5726 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) )  =  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( ( B ^
( k  -  1 ) )  x.  B
) ) )
134130, 133eqtr4d 2288 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) )  x.  B )  =  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )
135134oveq2d 5726 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( ( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) )  x.  B ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
136106, 129, 1353eqtrd 2289 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  x.  B )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
137136sumeq2dv 12053 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( N  -  (
k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  x.  B )  =  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
138108a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )
139116, 49mulcld 8735 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  e.  CC )
140109, 139sylan2 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  e.  CC )
1417adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
142 eldifi 3215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  \ 
( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
143142adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
144143, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
145144, 112syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
146 eldifn 3216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  \ 
( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  -.  k  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )
147146adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  -.  k  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )
14874a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  0  e.  ZZ )
149141nn0zd 9994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
15072a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
151 fzaddel 10704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( k  -  1 )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( ( k  - 
1 )  e.  ( 0 ... N )  <-> 
( ( k  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) ) )
152148, 149, 145, 150, 151syl22anc 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
( k  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( (
k  -  1 )  +  1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )
153144zcnd 9997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  k  e.  CC )
154 npcan 8940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  - 
1 )  +  1 )  =  k )
155153, 28, 154sylancl 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
( k  -  1 )  +  1 )  =  k )
156155eleq1d 2319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
( ( k  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  <->  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )
157152, 156bitrd 246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
( k  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  <->  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )
158147, 157mtbird 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  -.  ( k  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
159 bcval3 11197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ  /\  -.  ( k  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  ( k  -  1 ) )  =  0 )
160141, 145, 158, 159syl3anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  =  0 )
161160oveq1d 5725 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  ( 0  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
162142, 61sylan2 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
0  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  0 )
163161, 162eqtrd 2285 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  0 )
164138, 140, 163, 65sumss 12074 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
16596, 137, 1643eqtrd 2289 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  B )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
16671, 165eqtrd 2285 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  B )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
16770, 166sylan9eqr 2307 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  B
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
16869, 167oveq12d 5728 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  A )  +  ( ( ( A  +  B ) ^ N
)  x.  B ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) ) )
1695, 16addcld 8734 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
170169, 7expp1d 11124 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B ) ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ N )  x.  ( A  +  B ) ) )
171169, 7expcld 11123 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B ) ^ N
)  e.  CC )
172171, 5, 16adddid 8739 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( ( A  +  B ) ^ N
)  x.  A )  +  ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  B ) ) )
173170, 172eqtrd 2285 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B ) ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( ( A  +  B ) ^ N
)  x.  A )  +  ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  B ) ) )
174173adantr 453 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( ( A  +  B ) ^ N
)  x.  A )  +  ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  B ) ) )
175 bcpasc 11211 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  k ) )
1767, 8, 175syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  +  ( N  _C  ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  k ) )
177176oveq1d 5725 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
17811, 116, 49adddird 8740 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) ) )
179177, 178eqtr3d 2287 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  + 
1 )  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) ) )
180179sumeq2dv 12053 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) ) )
181 fzfid 10913 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  e.  Fin )
182181, 50, 139fsumadd 12088 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) ) )
183180, 182eqtrd 2285 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) ) )
184183adantr 453 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) ) )
185168, 174, 1843eqtr4d 2295 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) ^ ( N  +  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    \ cdif 3075    C_ wss 3078   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   CCcc 8615   0cc0 8617   1c1 8618    + caddc 8620    x. cmul 8622    - cmin 8917   NNcn 9626   NN0cn0 9844   ZZcz 9903   ZZ>=cuz 10109   ...cfz 10660   ^cexp 10982    _C cbc 11193   sum_csu 12035
This theorem is referenced by:  binom  12165
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-sum 12036
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