Theorem binomlem3 7068

Description: Lemma for binom 7072 (binomial theorem). Break out the last term of the summation used by the induction hypothesis.

Hypotheses

Ref	Expression
binomlem.1	|- A e. CC
binomlem.2	|- B e. CC

Assertion

Ref	Expression
binomlem3	|- (N e. NN -> sum_k e. (1...(N + 1))(((N + 1) C. k) x. ((A^((N + 1) - k)) x. (B^k))) = (sum_k e. (1...N)(((N + 1) C. k) x. ((A^((N + 1) - k)) x. (B^k))) + (B^(N + 1))))

Distinct variable groups:   A,k   B,k   k,N

Proof of Theorem binomlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnuz 6441	. . 3 |- (N e. NN <-> N e. (ZZ>` 1))
2		oprex 3989	. . . 4 |- (((N + 1) C. k) x. ((A^((N + 1) - k)) x. (B^k))) e. V
3		oprex 3989	. . . 4 |- (((N + 1) C. (N + 1)) x. ((A^((N + 1) - (N + 1))) x. (B^(N + 1)))) e. V
4		opreq2 3975	. . . . 5 |- (k = (N + 1) -> ((N + 1) C. k) = ((N + 1) C. (N + 1)))
5		opreq2 3975	. . . . . . 7 |- (k = (N + 1) -> ((N + 1) - k) = ((N + 1) - (N + 1)))
6	5	opreq2d 3982	. . . . . 6 |- (k = (N + 1) -> (A^((N + 1) - k)) = (A^((N + 1) - (N + 1))))
7		opreq2 3975	. . . . . 6 |- (k = (N + 1) -> (B^k) = (B^(N + 1)))
8	6, 7	opreq12d 3984	. . . . 5 |- (k = (N + 1) -> ((A^((N + 1) - k)) x. (B^k)) = ((A^((N + 1) - (N + 1))) x. (B^(N + 1))))
9	4, 8	opreq12d 3984	. . . 4 |- (k = (N + 1) -> (((N + 1) C. k) x. ((A^((N + 1) - k)) x. (B^k))) = (((N + 1) C. (N + 1)) x. ((A^((N + 1) - (N + 1))) x. (B^(N + 1)))))
10	2, 3, 9	fsump1 7006	. . 3 |- (N e. (ZZ>` 1) -> sum_k e. (1...(N + 1))(((N + 1) C. k) x. ((A^((N + 1) - k)) x. (B^k))) = (sum_k e. (1...N)(((N + 1) C. k) x. ((A^((N + 1) - k)) x. (B^k))) + (((N + 1) C. (N + 1)) x. ((A^((N + 1) - (N + 1))) x. (B^(N + 1))))))
11	1, 10	sylbi 199	. 2 |- (N e. NN -> sum_k e. (1...(N + 1))(((N + 1) C. k) x. ((A^((N + 1) - k)) x. (B^k))) = (sum_k e. (1...N)(((N + 1) C. k) x. ((A^((N + 1) - k)) x. (B^k))) + (((N + 1) C. (N + 1)) x. ((A^((N + 1) - (N + 1))) x. (B^(N + 1))))))
12		nnnn0t 6108	. . . 4 |- (N e. NN -> N e. NN0)
13		peano2nn0 6126	. . . 4 |- (N e. NN0 -> (N + 1) e. NN0)
14		bcnnt 6964	. . . . . 6 |- ((N + 1) e. NN0 -> ((N + 1) C. (N + 1)) = 1)
15		nn0cnt 6111	. . . . . . . . . . 11 |- ((N + 1) e. NN0 -> (N + 1) e. CC)
16		subidt 5407	. . . . . . . . . . 11 |- ((N + 1) e. CC -> ((N + 1) - (N + 1)) = 0)
17	15, 16	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- ((N + 1) e. NN0 -> ((N + 1) - (N + 1)) = 0)
18	17	opreq2d 3982	. . . . . . . . 9 |- ((N + 1) e. NN0 -> (A^((N + 1) - (N + 1))) = (A^0))
19		binomlem.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. CC
20		exp0t 6572	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (A^0) = 1)
21	19, 20	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (A^0) = 1
22	18, 21	syl6eq 1526	. . . . . . . 8 |- ((N + 1) e. NN0 -> (A^((N + 1) - (N + 1))) = 1)
23	22	opreq1d 3981	. . . . . . 7 |- ((N + 1) e. NN0 -> ((A^((N + 1) - (N + 1))) x. (B^(N + 1))) = (1 x. (B^(N + 1))))
24		binomlem.2	. . . . . . . . 9 |- B e. CC
25		expclt 6582	. . . . . . . . 9 |- ((B e. CC /\ (N + 1) e. NN0) -> (B^(N + 1)) e. CC)
26	24, 25	mpan 697	. . . . . . . 8 |- ((N + 1) e. NN0 -> (B^(N + 1)) e. CC)
27		mulid2t 5429	. . . . . . . 8 |- ((B^(N + 1)) e. CC -> (1 x. (B^(N + 1))) = (B^(N + 1)))
28	26, 27	syl 10	. . . . . . 7 |- ((N + 1) e. NN0 -> (1 x. (B^(N + 1))) = (B^(N + 1)))
29	23, 28	eqtrd 1510	. . . . . 6 |- ((N + 1) e. NN0 -> ((A^((N + 1) - (N + 1))) x. (B^(N + 1))) = (B^(N + 1)))
30	14, 29	opreq12d 3984	. . . . 5 |- ((N + 1) e. NN0 -> (((N + 1) C. (N + 1)) x. ((A^((N + 1) - (N + 1))) x. (B^(N + 1)))) = (1 x. (B^(N + 1))))
31	30, 28	eqtrd 1510	. . . 4 |- ((N + 1) e. NN0 -> (((N + 1) C. (N + 1)) x. ((A^((N + 1) - (N + 1))) x. (B^(N + 1)))) = (B^(N + 1)))
32	12, 13, 31	3syl 20	. . 3 |- (N e. NN -> (((N + 1) C. (N + 1)) x. ((A^((N + 1) - (N + 1))) x. (B^(N + 1)))) = (B^(N + 1)))
33	32	opreq2d 3982	. 2 |- (N e. NN -> (sum_k e. (1...N)(((N + 1) C. k) x. ((A^((N + 1) - k)) x. (B^k))) + (((N + 1) C. (N + 1)) x. ((A^((N + 1) - (N + 1))) x. (B^(N + 1))))) = (sum_k e. (1...N)(((N + 1) C. k) x. ((A^((N + 1) - k)) x. (B^k))) + (B^(N + 1))))
34	11, 33	eqtrd 1510	1 |- (N e. NN -> sum_k e. (1...(N + 1))(((N + 1) C. k) x. ((A^((N + 1) - k)) x. (B^k))) = (sum_k e. (1...N)(((N + 1) C. k) x. ((A^((N + 1) - k)) x. (B^k))) + (B^(N + 1))))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   x. cmul 5251   - cmin 5304  NNcn 5308  NN0cn0 5309  ZZ>cuz 6418  ...cfz 6468  ^cexp 6569   C. cbc 6956  sum_csu 6979

This theorem is referenced by:  binomlem5 7070

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-exp 6570  df-fac 6932  df-bc 6957  df-sum 6980

Copyright terms: Public domain