MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  birthday Unicode version

Theorem birthday 20776
Description: The Birthday Problem. There is a more than even chance that out of 23 people in a room, at least two of them have the same birthday. Mathematically, this is asserting that for  K  =  2 3 and  N  =  3 6 5, fewer than half of the set of all functions from  1 ... K to  1 ... N are injective. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s  |-  S  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
birthday.t  |-  T  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }
birthday.k  |-  K  = ; 2
3
birthday.n  |-  N  = ;; 3 6 5
Assertion
Ref Expression
birthday  |-  ( (
# `  T )  /  ( # `  S
) )  <  (
1  /  2 )
Distinct variable groups:    f, K    f, N
Allowed substitution hints:    S( f)    T( f)

Proof of Theorem birthday
StepHypRef Expression
1 birthday.k . . . 4  |-  K  = ; 2
3
2 2nn0 10222 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
3 3nn0 10223 . . . . 5  |-  3  e.  NN0
42, 3deccl 10380 . . . 4  |- ; 2 3  e.  NN0
51, 4eqeltri 2500 . . 3  |-  K  e. 
NN0
6 birthday.n . . . 4  |-  N  = ;; 3 6 5
7 6nn0 10226 . . . . . 6  |-  6  e.  NN0
83, 7deccl 10380 . . . . 5  |- ; 3 6  e.  NN0
9 5nn 10120 . . . . 5  |-  5  e.  NN
108, 9decnncl 10379 . . . 4  |- ;; 3 6 5  e.  NN
116, 10eqeltri 2500 . . 3  |-  N  e.  NN
12 birthday.s . . . 4  |-  S  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
13 birthday.t . . . 4  |-  T  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }
1412, 13birthdaylem3 20775 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( # `  T
)  /  ( # `  S ) )  <_ 
( exp `  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N ) ) )
155, 11, 14mp2an 654 . 2  |-  ( (
# `  T )  /  ( # `  S
) )  <_  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) )
16 log2ub 20772 . . . . . 6  |-  ( log `  2 )  < 
(;; 2 5 3  / ;; 3 6 5 )
175nn0cni 10217 . . . . . . . . . . . 12  |-  K  e.  CC
1817sqvali 11444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K ^ 2 )  =  ( K  x.  K
)
1917mulid1i 9076 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  x.  1 )  =  K
2019eqcomi 2434 . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( K  x.  1 )
2118, 20oveq12i 6079 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K ^ 2 )  -  K )  =  ( ( K  x.  K )  -  ( K  x.  1 ) )
22 ax-1cn 9032 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
2317, 17, 22subdii 9466 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  x.  ( K  - 
1 ) )  =  ( ( K  x.  K )  -  ( K  x.  1 ) )
2421, 23eqtr4i 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K ^ 2 )  -  K )  =  ( K  x.  ( K  -  1 ) )
2524oveq1i 6077 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  =  ( ( K  x.  ( K  -  1
) )  /  2
)
2617, 22subcli 9360 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  -  1 )  e.  CC
27 2cn 10054 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
28 2ne0 10067 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
2917, 26, 27, 28divassi 9754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  x.  ( K  -  1 ) )  /  2 )  =  ( K  x.  (
( K  -  1 )  /  2 ) )
30 1nn0 10221 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN0
31 2p1e3 10087 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  +  1 )  =  3
32 eqid 2430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 2 2  = ; 2 2
332, 2, 31, 32decsuc 10389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (; 2 2  +  1 )  = ; 2 3
341, 33eqtr4i 2453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  (; 2 2  +  1 )
3534oveq1i 6077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  -  1 )  =  ( (; 2 2  +  1 )  -  1 )
362, 2deccl 10380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 2 2  e.  NN0
3736nn0cni 10217 . . . . . . . . . . . . . 14  |- ; 2 2  e.  CC
38 pncan 9295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (; 2
2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( (; 2 2  +  1 )  -  1 )  = ; 2 2 )
3937, 22, 38mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (; 2
2  +  1 )  -  1 )  = ; 2
2
4035, 39eqtri 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  -  1 )  = ; 2
2
4140oveq1i 6077 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  -  1 )  /  2 )  =  (; 2 2  /  2
)
42 eqid 2430 . . . . . . . . . . . . 13  |- ; 1 1  = ; 1 1
43 0nn0 10220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
4427mulid1i 9076 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
4544oveq1i 6077 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  0 )  =  ( 2  +  0 )
4627addid1i 9237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  +  0 )  =  2
4745, 46eqtri 2450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  0 )  =  2
482dec0h 10382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  = ; 0 2
4944, 48eqtri 2450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  1 )  = ; 0
2
502, 30, 30, 42, 2, 43, 47, 49decmul2c 10414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x. ; 1 1 )  = ; 2
2
5130, 30deccl 10380 . . . . . . . . . . . . . 14  |- ; 1 1  e.  NN0
5251nn0cni 10217 . . . . . . . . . . . . 13  |- ; 1 1  e.  CC
5337, 27, 52, 28divmuli 9752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (; 2
2  /  2 )  = ; 1 1  <->  ( 2  x. ; 1 1 )  = ; 2
2 )
5450, 53mpbir 201 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 2 2  /  2
)  = ; 1 1
5541, 54eqtri 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  -  1 )  /  2 )  = ; 1
1
5619, 1eqtri 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  x.  1 )  = ; 2
3
57 3p2e5 10095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  +  2 )  =  5
582, 3, 2, 56, 57decaddi 10410 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  x.  1 )  +  2 )  = ; 2
5
595, 30, 30, 55, 3, 2, 58, 56decmul2c 10414 . . . . . . . . 9  |-  ( K  x.  ( ( K  -  1 )  / 
2 ) )  = ;; 2 5 3
6029, 59eqtri 2450 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  x.  ( K  -  1 ) )  /  2 )  = ;; 2 5 3
6125, 60eqtri 2450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  = ;; 2 5 3
6261, 6oveq12i 6079 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K ^
2 )  -  K
)  /  2 )  /  N )  =  (;; 2 5 3  / ;; 3 6 5 )
6316, 62breqtrri 4224 . . . . 5  |-  ( log `  2 )  < 
( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
)
64 2rp 10601 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
65 relogcl 20456 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
6664, 65ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( log `  2 )  e.  RR
67 5nn0 10225 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  NN0
682, 67deccl 10380 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 5  e.  NN0
6968, 3deccl 10380 . . . . . . . . 9  |- ;; 2 5 3  e.  NN0
7061, 69eqeltri 2500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  e. 
NN0
7170nn0rei 10216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  e.  RR
72 nndivre 10019 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
)  e.  RR )
7371, 11, 72mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K ^
2 )  -  K
)  /  2 )  /  N )  e.  RR
7466, 73ltnegi 9555 . . . . 5  |-  ( ( log `  2 )  <  ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N )  <->  -u ( ( ( ( K ^
2 )  -  K
)  /  2 )  /  N )  <  -u ( log `  2
) )
7563, 74mpbi 200 . . . 4  |-  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N )  <  -u ( log `  2
)
7673renegcli 9346 . . . . 5  |-  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N )  e.  RR
7766renegcli 9346 . . . . 5  |-  -u ( log `  2 )  e.  RR
78 eflt 12701 . . . . 5  |-  ( (
-u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N )  e.  RR  /\  -u ( log `  2
)  e.  RR )  ->  ( -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N )  <  -u ( log `  2
)  <->  ( exp `  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N ) )  <  ( exp `  -u ( log `  2
) ) ) )
7976, 77, 78mp2an 654 . . . 4  |-  ( -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
)  <  -u ( log `  2 )  <->  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
) )  <  ( exp `  -u ( log `  2
) ) )
8075, 79mpbi 200 . . 3  |-  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) )  < 
( exp `  -u ( log `  2 ) )
8166recni 9086 . . . . 5  |-  ( log `  2 )  e.  CC
82 efneg 12682 . . . . 5  |-  ( ( log `  2 )  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( log `  2
) )  =  ( 1  /  ( exp `  ( log `  2
) ) ) )
8381, 82ax-mp 8 . . . 4  |-  ( exp `  -u ( log `  2
) )  =  ( 1  /  ( exp `  ( log `  2
) ) )
84 reeflog 20458 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( exp `  ( log `  2
) )  =  2 )
8564, 84ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( exp `  ( log `  2
) )  =  2
8685oveq2i 6078 . . . 4  |-  ( 1  /  ( exp `  ( log `  2 ) ) )  =  ( 1  /  2 )
8783, 86eqtri 2450 . . 3  |-  ( exp `  -u ( log `  2
) )  =  ( 1  /  2 )
8880, 87breqtri 4222 . 2  |-  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) )  < 
( 1  /  2
)
8912, 13birthdaylem1 20773 . . . . . . . 8  |-  ( T 
C_  S  /\  S  e.  Fin  /\  ( N  e.  NN  ->  S  =/=  (/) ) )
9089simp2i 967 . . . . . . 7  |-  S  e. 
Fin
9189simp1i 966 . . . . . . 7  |-  T  C_  S
92 ssfi 7315 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  T  C_  S )  ->  T  e.  Fin )
9390, 91, 92mp2an 654 . . . . . 6  |-  T  e. 
Fin
94 hashcl 11622 . . . . . 6  |-  ( T  e.  Fin  ->  ( # `
 T )  e. 
NN0 )
9593, 94ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( # `  T )  e.  NN0
9695nn0rei 10216 . . . 4  |-  ( # `  T )  e.  RR
9789simp3i 968 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  S  =/=  (/) )
9811, 97ax-mp 8 . . . . 5  |-  S  =/=  (/)
99 hashnncl 11628 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Fin  ->  (
( # `  S )  e.  NN  <->  S  =/=  (/) ) )
10090, 99ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( (
# `  S )  e.  NN  <->  S  =/=  (/) )
10198, 100mpbir 201 . . . 4  |-  ( # `  S )  e.  NN
102 nndivre 10019 . . . 4  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  RR  /\  ( # `  S )  e.  NN )  -> 
( ( # `  T
)  /  ( # `  S ) )  e.  RR )
10396, 101, 102mp2an 654 . . 3  |-  ( (
# `  T )  /  ( # `  S
) )  e.  RR
104 reefcl 12672 . . . 4  |-  ( -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
)  e.  RR  ->  ( exp `  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N ) )  e.  RR )
10576, 104ax-mp 8 . . 3  |-  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) )  e.  RR
106 1re 9074 . . . 4  |-  1  e.  RR
107106rehalfcli 10200 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
108103, 105, 107lelttri 9184 . 2  |-  ( ( ( ( # `  T
)  /  ( # `  S ) )  <_ 
( exp `  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N ) )  /\  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) )  < 
( 1  /  2
) )  ->  (
( # `  T )  /  ( # `  S
) )  <  (
1  /  2 ) )
10915, 88, 108mp2an 654 1  |-  ( (
# `  T )  /  ( # `  S
) )  <  (
1  /  2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2416    =/= wne 2593    C_ wss 3307   (/)c0 3615   class class class wbr 4199   -->wf 5436   -1-1->wf1 5437   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   Fincfn 7095   CCcc 8972   RRcr 8973   0cc0 8974   1c1 8975    + caddc 8977    x. cmul 8979    < clt 9104    <_ cle 9105    - cmin 9275   -ucneg 9276    / cdiv 9661   NNcn 9984   2c2 10033   3c3 10034   5c5 10036   6c6 10037   NN0cn0 10205  ;cdc 10366   RR+crp 10596   ...cfz 11027   ^cexp 11365   #chash 11601   expce 12647   logclog 20435
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-inf2 7580  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051  ax-pre-sup 9052  ax-addf 9053  ax-mulf 9054
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-iin 4083  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-se 4529  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-isom 5449  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-of 6291  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-1o 6710  df-2o 6711  df-oadd 6714  df-er 6891  df-map 7006  df-pm 7007  df-ixp 7050  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-fin 7099  df-fi 7402  df-sup 7432  df-oi 7463  df-card 7810  df-cda 8032  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-div 9662  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-4 10044  df-5 10045  df-6 10046  df-7 10047  df-8 10048  df-9 10049  df-10 10050  df-n0 10206  df-z 10267  df-dec 10367  df-uz 10473  df-q 10559  df-rp 10597  df-xneg 10694  df-xadd 10695  df-xmul 10696  df-ioo 10904  df-ioc 10905  df-ico 10906  df-icc 10907  df-fz 11028  df-fzo 11119  df-fl 11185  df-mod 11234  df-seq 11307  df-exp 11366  df-fac 11550  df-bc 11577  df-hash 11602  df-shft 11865  df-cj 11887  df-re 11888  df-im 11889  df-sqr 12023  df-abs 12024  df-limsup 12248  df-clim 12265  df-rlim 12266  df-sum 12463  df-ef 12653  df-sin 12655  df-cos 12656  df-tan 12657  df-pi 12658  df-dvds 12836  df-struct 13454  df-ndx 13455  df-slot 13456  df-base 13457  df-sets 13458  df-ress 13459  df-plusg 13525  df-mulr 13526  df-starv 13527  df-sca 13528  df-vsca 13529  df-tset 13531  df-ple 13532  df-ds 13534  df-unif 13535  df-hom 13536  df-cco 13537  df-rest 13633  df-topn 13634  df-topgen 13650  df-pt 13651  df-prds 13654  df-xrs 13709  df-0g 13710  df-gsum 13711  df-qtop 13716  df-imas 13717  df-xps 13719  df-mre 13794  df-mrc 13795  df-acs 13797  df-mnd 14673  df-submnd 14722  df-mulg 14798  df-cntz 15099  df-cmn 15397  df-psmet 16677  df-xmet 16678  df-met 16679  df-bl 16680  df-mopn 16681  df-fbas 16682  df-fg 16683  df-cnfld 16687  df-top 16946  df-bases 16948  df-topon 16949  df-topsp 16950  df-cld 17066  df-ntr 17067  df-cls 17068  df-nei 17145  df-lp 17183  df-perf 17184  df-cn 17274  df-cnp 17275  df-haus 17362  df-cmp 17433  df-tx 17577  df-hmeo 17770  df-fil 17861  df-fm 17953  df-flim 17954  df-flf 17955  df-xms 18333  df-ms 18334  df-tms 18335  df-cncf 18891  df-limc 19736  df-dv 19737  df-ulm 20276  df-log 20437  df-atan 20690
  Copyright terms: Public domain W3C validator