MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  birthday Unicode version

Theorem birthday 20176
Description: The Birthday Problem. There is a more than even chance that out of 23 people in a room, at least two of them have the same birthday. Mathematically, this is asserting that for  K  =  2 3 and  N  =  3 6 5, fewer than half of the set of all functions from  1 ... K to  1 ... N are injective. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s  |-  S  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
birthday.t  |-  T  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }
birthday.k  |-  K  = ; 2
3
birthday.n  |-  N  = ;; 3 6 5
Assertion
Ref Expression
birthday  |-  ( (
# `  T )  /  ( # `  S
) )  <  (
1  /  2 )
Distinct variable groups:    f, K    f, N
Allowed substitution hints:    S( f)    T( f)

Proof of Theorem birthday
StepHypRef Expression
1 birthday.k . . . 4  |-  K  = ; 2
3
2 2nn0 9914 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
3 3nn0 9915 . . . . 5  |-  3  e.  NN0
42, 3deccl 10070 . . . 4  |- ; 2 3  e.  NN0
51, 4eqeltri 2326 . . 3  |-  K  e. 
NN0
6 birthday.n . . . 4  |-  N  = ;; 3 6 5
7 6nn0 9918 . . . . . 6  |-  6  e.  NN0
83, 7deccl 10070 . . . . 5  |- ; 3 6  e.  NN0
9 5nn 9812 . . . . 5  |-  5  e.  NN
108, 9decnncl 10069 . . . 4  |- ;; 3 6 5  e.  NN
116, 10eqeltri 2326 . . 3  |-  N  e.  NN
12 birthday.s . . . 4  |-  S  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
13 birthday.t . . . 4  |-  T  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }
1412, 13birthdaylem3 20175 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( # `  T
)  /  ( # `  S ) )  <_ 
( exp `  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N ) ) )
155, 11, 14mp2an 656 . 2  |-  ( (
# `  T )  /  ( # `  S
) )  <_  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) )
16 log2ub 20172 . . . . . 6  |-  ( log `  2 )  < 
(;; 2 5 3  / ;; 3 6 5 )
175nn0cni 9909 . . . . . . . . . . . 12  |-  K  e.  CC
1817sqvali 11114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K ^ 2 )  =  ( K  x.  K
)
1917mulid1i 8772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  x.  1 )  =  K
2019eqcomi 2260 . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( K  x.  1 )
2118, 20oveq12i 5769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K ^ 2 )  -  K )  =  ( ( K  x.  K )  -  ( K  x.  1 ) )
22 ax-1cn 8728 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
2317, 17, 22subdii 9161 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  x.  ( K  - 
1 ) )  =  ( ( K  x.  K )  -  ( K  x.  1 ) )
2421, 23eqtr4i 2279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K ^ 2 )  -  K )  =  ( K  x.  ( K  -  1 ) )
2524oveq1i 5767 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  =  ( ( K  x.  ( K  -  1
) )  /  2
)
2617, 22subcli 9055 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  -  1 )  e.  CC
27 2cn 9749 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
28 2ne0 9762 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
2917, 26, 27, 28divassi 9449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  x.  ( K  -  1 ) )  /  2 )  =  ( K  x.  (
( K  -  1 )  /  2 ) )
30 1nn0 9913 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN0
31 2p1e3 9779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  +  1 )  =  3
32 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 2 2  = ; 2 2
332, 2, 31, 32decsuc 10079 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (; 2 2  +  1 )  = ; 2 3
341, 33eqtr4i 2279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  (; 2 2  +  1 )
3534oveq1i 5767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  -  1 )  =  ( (; 2 2  +  1 )  -  1 )
362, 2deccl 10070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 2 2  e.  NN0
3736nn0cni 9909 . . . . . . . . . . . . . 14  |- ; 2 2  e.  CC
38 pncan 8990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (; 2
2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( (; 2 2  +  1 )  -  1 )  = ; 2 2 )
3937, 22, 38mp2an 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (; 2
2  +  1 )  -  1 )  = ; 2
2
4035, 39eqtri 2276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  -  1 )  = ; 2
2
4140oveq1i 5767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  -  1 )  /  2 )  =  (; 2 2  /  2
)
42 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . 13  |- ; 1 1  = ; 1 1
43 0nn0 9912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
4427mulid1i 8772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
4544oveq1i 5767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  0 )  =  ( 2  +  0 )
4627addid1i 8932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  +  0 )  =  2
4745, 46eqtri 2276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  0 )  =  2
482dec0h 10072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  = ; 0 2
4944, 48eqtri 2276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  1 )  = ; 0
2
502, 30, 30, 42, 2, 43, 47, 49decmul2c 10104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x. ; 1 1 )  = ; 2
2
5130, 30deccl 10070 . . . . . . . . . . . . . 14  |- ; 1 1  e.  NN0
5251nn0cni 9909 . . . . . . . . . . . . 13  |- ; 1 1  e.  CC
5337, 27, 52, 28divmuli 9447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (; 2
2  /  2 )  = ; 1 1  <->  ( 2  x. ; 1 1 )  = ; 2
2 )
5450, 53mpbir 202 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 2 2  /  2
)  = ; 1 1
5541, 54eqtri 2276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  -  1 )  /  2 )  = ; 1
1
5619, 1eqtri 2276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  x.  1 )  = ; 2
3
57 3p2e5 9787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  +  2 )  =  5
582, 3, 2, 56, 57decaddi 10100 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  x.  1 )  +  2 )  = ; 2
5
595, 30, 30, 55, 3, 2, 58, 56decmul2c 10104 . . . . . . . . 9  |-  ( K  x.  ( ( K  -  1 )  / 
2 ) )  = ;; 2 5 3
6029, 59eqtri 2276 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  x.  ( K  -  1 ) )  /  2 )  = ;; 2 5 3
6125, 60eqtri 2276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  = ;; 2 5 3
6261, 6oveq12i 5769 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K ^
2 )  -  K
)  /  2 )  /  N )  =  (;; 2 5 3  / ;; 3 6 5 )
6316, 62breqtrri 3988 . . . . 5  |-  ( log `  2 )  < 
( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
)
64 2rp 10291 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
65 relogcl 19859 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
6664, 65ax-mp 10 . . . . . 6  |-  ( log `  2 )  e.  RR
67 5nn0 9917 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  NN0
682, 67deccl 10070 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 5  e.  NN0
6968, 3deccl 10070 . . . . . . . . 9  |- ;; 2 5 3  e.  NN0
7061, 69eqeltri 2326 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  e. 
NN0
7170nn0rei 9908 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  e.  RR
72 nndivre 9714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
)  e.  RR )
7371, 11, 72mp2an 656 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K ^
2 )  -  K
)  /  2 )  /  N )  e.  RR
7466, 73ltnegi 9250 . . . . 5  |-  ( ( log `  2 )  <  ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N )  <->  -u ( ( ( ( K ^
2 )  -  K
)  /  2 )  /  N )  <  -u ( log `  2
) )
7563, 74mpbi 201 . . . 4  |-  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N )  <  -u ( log `  2
)
7673renegcli 9041 . . . . 5  |-  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N )  e.  RR
7766renegcli 9041 . . . . 5  |-  -u ( log `  2 )  e.  RR
78 eflt 12324 . . . . 5  |-  ( (
-u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N )  e.  RR  /\  -u ( log `  2
)  e.  RR )  ->  ( -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N )  <  -u ( log `  2
)  <->  ( exp `  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N ) )  <  ( exp `  -u ( log `  2
) ) ) )
7976, 77, 78mp2an 656 . . . 4  |-  ( -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
)  <  -u ( log `  2 )  <->  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
) )  <  ( exp `  -u ( log `  2
) ) )
8075, 79mpbi 201 . . 3  |-  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) )  < 
( exp `  -u ( log `  2 ) )
8166recni 8782 . . . . 5  |-  ( log `  2 )  e.  CC
82 efneg 12305 . . . . 5  |-  ( ( log `  2 )  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( log `  2
) )  =  ( 1  /  ( exp `  ( log `  2
) ) ) )
8381, 82ax-mp 10 . . . 4  |-  ( exp `  -u ( log `  2
) )  =  ( 1  /  ( exp `  ( log `  2
) ) )
84 reeflog 19861 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( exp `  ( log `  2
) )  =  2 )
8564, 84ax-mp 10 . . . . 5  |-  ( exp `  ( log `  2
) )  =  2
8685oveq2i 5768 . . . 4  |-  ( 1  /  ( exp `  ( log `  2 ) ) )  =  ( 1  /  2 )
8783, 86eqtri 2276 . . 3  |-  ( exp `  -u ( log `  2
) )  =  ( 1  /  2 )
8880, 87breqtri 3986 . 2  |-  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) )  < 
( 1  /  2
)
8912, 13birthdaylem1 20173 . . . . . . . 8  |-  ( T 
C_  S  /\  S  e.  Fin  /\  ( N  e.  NN  ->  S  =/=  (/) ) )
9089simp2i 970 . . . . . . 7  |-  S  e. 
Fin
9189simp1i 969 . . . . . . 7  |-  T  C_  S
92 ssfi 7016 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  T  C_  S )  ->  T  e.  Fin )
9390, 91, 92mp2an 656 . . . . . 6  |-  T  e. 
Fin
94 hashcl 11281 . . . . . 6  |-  ( T  e.  Fin  ->  ( # `
 T )  e. 
NN0 )
9593, 94ax-mp 10 . . . . 5  |-  ( # `  T )  e.  NN0
9695nn0rei 9908 . . . 4  |-  ( # `  T )  e.  RR
9789simp3i 971 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  S  =/=  (/) )
9811, 97ax-mp 10 . . . . 5  |-  S  =/=  (/)
99 hashnncl 11285 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Fin  ->  (
( # `  S )  e.  NN  <->  S  =/=  (/) ) )
10090, 99ax-mp 10 . . . . 5  |-  ( (
# `  S )  e.  NN  <->  S  =/=  (/) )
10198, 100mpbir 202 . . . 4  |-  ( # `  S )  e.  NN
102 nndivre 9714 . . . 4  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  RR  /\  ( # `  S )  e.  NN )  -> 
( ( # `  T
)  /  ( # `  S ) )  e.  RR )
10396, 101, 102mp2an 656 . . 3  |-  ( (
# `  T )  /  ( # `  S
) )  e.  RR
104 reefcl 12295 . . . 4  |-  ( -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
)  e.  RR  ->  ( exp `  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N ) )  e.  RR )
10576, 104ax-mp 10 . . 3  |-  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) )  e.  RR
106 1re 8770 . . . 4  |-  1  e.  RR
107 rehalfcl 9870 . . . 4  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
108106, 107ax-mp 10 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
109103, 105, 108lelttri 8879 . 2  |-  ( ( ( ( # `  T
)  /  ( # `  S ) )  <_ 
( exp `  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N ) )  /\  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) )  < 
( 1  /  2
) )  ->  (
( # `  T )  /  ( # `  S
) )  <  (
1  /  2 ) )
11015, 88, 109mp2an 656 1  |-  ( (
# `  T )  /  ( # `  S
) )  <  (
1  /  2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2242    =/= wne 2419    C_ wss 3094   (/)c0 3397   class class class wbr 3963   -->wf 4634   -1-1->wf1 4635   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   Fincfn 6796   CCcc 8668   RRcr 8669   0cc0 8670   1c1 8671    + caddc 8673    x. cmul 8675    < clt 8800    <_ cle 8801    - cmin 8970   -ucneg 8971    / cdiv 9356   NNcn 9679   2c2 9728   3c3 9729   5c5 9731   6c6 9732   NN0cn0 9897  ;cdc 10056   RR+crp 10286   ...cfz 10713   ^cexp 11035   #chash 11268   expce 12270   logclog 19839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-of 5977  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-er 6593  df-map 6707  df-pm 6708  df-ixp 6751  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-fi 7098  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-cda 7727  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-7 9742  df-8 9743  df-9 9744  df-10 9745  df-n0 9898  df-z 9957  df-dec 10057  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-xneg 10384  df-xadd 10385  df-xmul 10386  df-ioo 10591  df-ioc 10592  df-ico 10593  df-icc 10594  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-mod 10905  df-seq 10978  df-exp 11036  df-fac 11220  df-bc 11247  df-hash 11269  df-shft 11492  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-limsup 11875  df-clim 11892  df-rlim 11893  df-sum 12089  df-ef 12276  df-sin 12278  df-cos 12279  df-tan 12280  df-pi 12281  df-divides 12459  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-starv 13150  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-tset 13154  df-ple 13155  df-ds 13157  df-hom 13159  df-cco 13160  df-rest 13254  df-topn 13255  df-topgen 13271  df-pt 13272  df-prds 13275  df-xrs 13330  df-0g 13331  df-gsum 13332  df-qtop 13337  df-imas 13338  df-xps 13340  df-mre 13415  df-mrc 13416  df-acs 13418  df-mnd 14294  df-submnd 14343  df-mulg 14419  df-cntz 14720  df-cmn 15018  df-xmet 16300  df-met 16301  df-bl 16302  df-mopn 16303  df-cnfld 16305  df-top 16563  df-bases 16565  df-topon 16566  df-topsp 16567  df-cld 16683  df-ntr 16684  df-cls 16685  df-nei 16762  df-lp 16795  df-perf 16796  df-cn 16884  df-cnp 16885  df-haus 16970  df-cmp 17041  df-tx 17184  df-hmeo 17373  df-fbas 17447  df-fg 17448  df-fil 17468  df-fm 17560  df-flim 17561  df-flf 17562  df-xms 17812  df-ms 17813  df-tms 17814  df-cncf 18309  df-limc 19143  df-dv 19144  df-ulm 19683  df-log 19841  df-atan 20090
  Copyright terms: Public domain W3C validator