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Theorem bisig0 25473
Description: Definition of a geometry that can build on the axioms of incidence. Definition of an Incidence-Betweenness Geometry in [AitkenIBG] p. 1-2. (For my private use only. Don't use.) (Contributed by FL, 1-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
bisig0.1  |-  P  =  (PPoints `  I )
bisig0.2  |-  L  =  (PLines `  I )
Assertion
Ref Expression
bisig0  |-  ( I  e. Ig 
<->  ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, l,
y, z, L    P, l, x, y, z
Allowed substitution hints:    I( x, y, z, l)

Proof of Theorem bisig0
Dummy variables  f 
g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ig2 25472 . . 3  |- Ig  =  {
f  |  [. (PPoints `  f )  /  g ]. [. (PLines `  f
)  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g 
( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) }
21eleq2i 2348 . 2  |-  ( I  e. Ig 
<->  I  e.  { f  |  [. (PPoints `  f
)  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) } )
3 fveq2 5486 . . . . 5  |-  ( f  =  I  ->  (PPoints `  f )  =  (PPoints `  I ) )
4 dfsbcq 2994 . . . . 5  |-  ( (PPoints `  f )  =  (PPoints `  I )  ->  ( [. (PPoints `  f )  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( f  =  I  ->  ( [. (PPoints `  f )  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
6 fveq2 5486 . . . . 5  |-  ( f  =  I  ->  (PLines `  f )  =  (PLines `  I ) )
7 dfsbcq 2994 . . . . . 6  |-  ( (PLines `  f )  =  (PLines `  I )  ->  ( [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
87sbcbidv 3046 . . . . 5  |-  ( (PLines `  f )  =  (PLines `  I )  ->  ( [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
96, 8syl 15 . . . 4  |-  ( f  =  I  ->  ( [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
105, 9bitrd 244 . . 3  |-  ( f  =  I  ->  ( [. (PPoints `  f )  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
11 eqid 2284 . . 3  |-  { f  |  [. (PPoints `  f
)  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) }  =  { f  |  [. (PPoints `  f
)  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) }
1210, 11elab4g 2919 . 2  |-  ( I  e.  { f  | 
[. (PPoints `  f )  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) }  <->  ( I  e. 
_V  /\  [. (PPoints `  I
)  /  g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
13 bisig0.1 . . . . . . 7  |-  P  =  (PPoints `  I )
1413eqcomi 2288 . . . . . 6  |-  (PPoints `  I
)  =  P
15 dfsbcq 2994 . . . . . . 7  |-  ( (PPoints `  I )  =  P  ->  ( [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  I
)  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g 
( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. P  /  g ]. [. (PLines `  I
)  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g 
( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
16 bisig0.2 . . . . . . . . . 10  |-  L  =  (PLines `  I )
1716eqcomi 2288 . . . . . . . . 9  |-  (PLines `  I )  =  L
18 dfsbcq 2994 . . . . . . . . 9  |-  ( (PLines `  I )  =  L  ->  ( [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. L  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. L  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )
2019sbcbii 3047 . . . . . . 7  |-  ( [. P  /  g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. P  /  g ]. [. L  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )
2115, 20syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( (PPoints `  I )  =  P  ->  ( [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  I
)  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g 
( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. P  /  g ]. [. L  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
2214, 21ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( [. (PPoints `  I )  / 
g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. P  /  g ]. [. L  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )
23 fvex 5500 . . . . . . 7  |-  (PPoints `  I
)  e.  _V
2413, 23eqeltri 2354 . . . . . 6  |-  P  e. 
_V
25 fvex 5500 . . . . . . 7  |-  (PLines `  I )  e.  _V
2616, 25eqeltri 2354 . . . . . 6  |-  L  e. 
_V
27 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  h  =  L )
28 sseq2 3201 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  P  ->  (
l  C_  g  <->  l  C_  P ) )
2928adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( l  C_  g  <->  l 
C_  P ) )
3027, 29raleqbidv 2749 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( A. l  e.  h  l  C_  g  <->  A. l  e.  L  l 
C_  P ) )
31 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  g  =  P )
32 biidd 228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( ( x  e.  l  /\  y  e.  l )  <->  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) )
3332, 27reubidvag 24345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l )  <->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) )
3433imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  <->  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) ) )
3531, 34raleqbidv 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  <->  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) ) )
3631, 35raleqbidv 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  <->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) ) )
3731rexeqdv 2744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( E. y  e.  g  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  <->  E. y  e.  P  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) )
3831, 37rexeqbidv 2750 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( E. x  e.  g  E. y  e.  g  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) )
3927, 38raleqbidv 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  <->  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) )
4027raleqdv 2743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l )  <->  A. l  e.  L  -.  (
x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l )
) )
4140anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) )  <->  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
4231, 41rexeqbidv 2750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) )  <->  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
4331, 42rexeqbidv 2750 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) )  <->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
4431, 43rexeqbidv 2750 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
4536, 39, 443anbi123d 1252 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )  <->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )
4630, 45anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <-> 
( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
4724, 26, 46sbc2ie 3059 . . . . 5  |-  ( [. P  /  g ]. [. L  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <-> 
( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )
4822, 47bitri 240 . . . 4  |-  ( [. (PPoints `  I )  / 
g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <-> 
( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )
4948anbi2i 675 . . 3  |-  ( ( I  e.  _V  /\  [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  <->  ( I  e. 
_V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
50 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  ->  I  e.  _V )
51 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  ->  A. l  e.  L  l  C_  P )
52 simprr1 1003 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) )
53 simprr2 1004 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  ->  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l ) )
5451, 52, 533jca 1132 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  ->  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
) )
55 simprr3 1005 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  ->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )
5650, 54, 553jca 1132 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  ->  ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
57 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )  ->  I  e.  _V )
58 simp21 988 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )  ->  A. l  e.  L  l  C_  P )
59 simp22 989 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) ) )
60 simp23 990 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )  ->  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l
) )
61 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )  ->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )
6259, 60, 613jca 1132 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )  -> 
( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
6357, 58, 62jca32 521 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )  -> 
( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
6456, 63impbii 180 . . 3  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  <->  ( I  e. 
_V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
6549, 64bitri 240 . 2  |-  ( ( I  e.  _V  /\  [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  <->  ( I  e. 
_V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
662, 12, 653bitri 262 1  |-  ( I  e. Ig 
<->  ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1685   {cab 2270    =/= wne 2447   A.wral 2544   E.wrex 2545   E!wreu 2546   _Vcvv 2789   [.wsbc 2992    C_ wss 3153   ` cfv 5221  PPointscpoints 25467  PLinescplines 25469  Igcig 25471
This theorem is referenced by:  isig1a2  25474  isig22  25476  elhaltdp  25478  tethpnc  25481
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-xp 4694  df-cnv 4696  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fv 5229  df-ig2 25472
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