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Theorem bisig0 25394
Description: Definition of a geometry that can build on the axioms of incidence. Definition of an Incidence-Betweenness Geometry in [AitkenIBG] p. 1-2. (For my private use only. Don't use.) (Contributed by FL, 1-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
bisig0.1  |-  P  =  (PPoints `  I )
bisig0.2  |-  L  =  (PLines `  I )
Assertion
Ref Expression
bisig0  |-  ( I  e. Ig 
<->  ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, l,
y, z, L    P, l, x, y, z
Allowed substitution hints:    I( x, y, z, l)

Proof of Theorem bisig0
StepHypRef Expression
1 df-ig2 25393 . . 3  |- Ig  =  {
f  |  [. (PPoints `  f )  /  g ]. [. (PLines `  f
)  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g 
( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) }
21eleq2i 2320 . 2  |-  ( I  e. Ig 
<->  I  e.  { f  |  [. (PPoints `  f
)  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) } )
3 fveq2 5423 . . . . 5  |-  ( f  =  I  ->  (PPoints `  f )  =  (PPoints `  I ) )
4 dfsbcq 2937 . . . . 5  |-  ( (PPoints `  f )  =  (PPoints `  I )  ->  ( [. (PPoints `  f )  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
53, 4syl 17 . . . 4  |-  ( f  =  I  ->  ( [. (PPoints `  f )  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
6 fveq2 5423 . . . . 5  |-  ( f  =  I  ->  (PLines `  f )  =  (PLines `  I ) )
7 dfsbcq 2937 . . . . . 6  |-  ( (PLines `  f )  =  (PLines `  I )  ->  ( [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
87sbcbidv 2989 . . . . 5  |-  ( (PLines `  f )  =  (PLines `  I )  ->  ( [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
96, 8syl 17 . . . 4  |-  ( f  =  I  ->  ( [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
105, 9bitrd 246 . . 3  |-  ( f  =  I  ->  ( [. (PPoints `  f )  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
11 eqid 2256 . . 3  |-  { f  |  [. (PPoints `  f
)  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) }  =  { f  |  [. (PPoints `  f
)  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) }
1210, 11elab4g 2869 . 2  |-  ( I  e.  { f  | 
[. (PPoints `  f )  /  g ]. [. (PLines `  f )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) }  <->  ( I  e. 
_V  /\  [. (PPoints `  I
)  /  g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
13 bisig0.1 . . . . . . 7  |-  P  =  (PPoints `  I )
1413eqcomi 2260 . . . . . 6  |-  (PPoints `  I
)  =  P
15 dfsbcq 2937 . . . . . . 7  |-  ( (PPoints `  I )  =  P  ->  ( [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  I
)  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g 
( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. P  /  g ]. [. (PLines `  I
)  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g 
( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
16 bisig0.2 . . . . . . . . . 10  |-  L  =  (PLines `  I )
1716eqcomi 2260 . . . . . . . . 9  |-  (PLines `  I )  =  L
18 dfsbcq 2937 . . . . . . . . 9  |-  ( (PLines `  I )  =  L  ->  ( [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. L  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
1917, 18ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. L  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )
2019sbcbii 2990 . . . . . . 7  |-  ( [. P  /  g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. P  /  g ]. [. L  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )
2115, 20syl6bb 254 . . . . . 6  |-  ( (PPoints `  I )  =  P  ->  ( [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  I
)  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g 
( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. P  /  g ]. [. L  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
2214, 21ax-mp 10 . . . . 5  |-  ( [. (PPoints `  I )  / 
g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <->  [. P  /  g ]. [. L  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )
23 fvex 5437 . . . . . . 7  |-  (PPoints `  I
)  e.  _V
2413, 23eqeltri 2326 . . . . . 6  |-  P  e. 
_V
25 fvex 5437 . . . . . . 7  |-  (PLines `  I )  e.  _V
2616, 25eqeltri 2326 . . . . . 6  |-  L  e. 
_V
27 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  h  =  L )
28 sseq2 3142 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  P  ->  (
l  C_  g  <->  l  C_  P ) )
2928adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( l  C_  g  <->  l 
C_  P ) )
3027, 29raleqbidv 2708 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( A. l  e.  h  l  C_  g  <->  A. l  e.  L  l 
C_  P ) )
31 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  g  =  P )
32 biidd 230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( ( x  e.  l  /\  y  e.  l )  <->  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) )
3332, 27reubidvag 24266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l )  <->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) )
3433imbi2d 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  <->  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) ) )
3531, 34raleqbidv 2708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  <->  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) ) )
3631, 35raleqbidv 2708 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  <->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) ) )
3731rexeqdv 2704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( E. y  e.  g  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  <->  E. y  e.  P  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) )
3831, 37rexeqbidv 2709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( E. x  e.  g  E. y  e.  g  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) )
3927, 38raleqbidv 2708 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  <->  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) )
4027raleqdv 2703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l )  <->  A. l  e.  L  -.  (
x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l )
) )
4140anbi2d 687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) )  <->  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
4231, 41rexeqbidv 2709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) )  <->  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
4331, 42rexeqbidv 2709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) )  <->  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
4431, 43rexeqbidv 2709 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
4536, 39, 443anbi123d 1257 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )  <->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )
4630, 45anbi12d 694 . . . . . 6  |-  ( ( g  =  P  /\  h  =  L )  ->  ( ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <-> 
( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
4724, 26, 46sbc2ie 3002 . . . . 5  |-  ( [. P  /  g ]. [. L  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <-> 
( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )
4822, 47bitri 242 . . . 4  |-  ( [. (PPoints `  I )  / 
g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )  <-> 
( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )
4948anbi2i 678 . . 3  |-  ( ( I  e.  _V  /\  [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  <->  ( I  e. 
_V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
50 simpl 445 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  ->  I  e.  _V )
51 simprl 735 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  ->  A. l  e.  L  l  C_  P )
52 simprr1 1008 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) ) )
53 simprr2 1009 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  ->  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l ) )
5451, 52, 533jca 1137 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  ->  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
) )
55 simprr3 1010 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  ->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )
5650, 54, 553jca 1137 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  ->  ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
57 simp1 960 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )  ->  I  e.  _V )
58 simp21 993 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )  ->  A. l  e.  L  l  C_  P )
59 simp22 994 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) ) )
60 simp23 995 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )  ->  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l
) )
61 simp3 962 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )  ->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )
6259, 60, 613jca 1137 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )  -> 
( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
6357, 58, 62jca32 523 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) )  -> 
( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) ) )
6456, 63impbii 182 . . 3  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  <->  ( I  e. 
_V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
6549, 64bitri 242 . 2  |-  ( ( I  e.  _V  /\  [. (PPoints `  I )  /  g ]. [. (PLines `  I )  /  h ]. ( A. l  e.  h  l  C_  g  /\  ( A. x  e.  g  A. y  e.  g  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  h  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  h  E. x  e.  g  E. y  e.  g  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )  /\  E. x  e.  g  E. y  e.  g  E. z  e.  g  ( ( x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  h  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) ) )  <->  ( I  e. 
_V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l ) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
662, 12, 653bitri 264 1  |-  ( I  e. Ig 
<->  ( I  e.  _V  /\  ( A. l  e.  L  l  C_  P  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  =/=  y  ->  E! l  e.  L  ( x  e.  l  /\  y  e.  l
) )  /\  A. l  e.  L  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  x  e.  l  /\  y  e.  l )
)  /\  E. x  e.  P  E. y  e.  P  E. z  e.  P  ( (
x  =/=  y  /\  y  =/=  z  /\  x  =/=  z )  /\  A. l  e.  L  -.  ( x  e.  l  /\  y  e.  l  /\  z  e.  l
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2242    =/= wne 2419   A.wral 2516   E.wrex 2517   E!wreu 2518   _Vcvv 2740   [.wsbc 2935    C_ wss 3094   ` cfv 4638  PPointscpoints 25388  PLinescplines 25390  Igcig 25392
This theorem is referenced by:  isig1a2  25395  isig22  25397  elhaltdp  25399  tethpnc  25402
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-xp 4640  df-cnv 4642  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fv 4654  df-ig2 25393
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