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Theorem bitsinv1lem 12634
Description: Lemma for bitsinv1 12635. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsinv1lem  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  +  if ( M  e.  (bits `  N
) ,  ( 2 ^ M ) ,  0 ) ) )

Proof of Theorem bitsinv1lem
StepHypRef Expression
1 oveq2 5868 . . 3  |-  ( ( 2 ^ M )  =  if ( M  e.  (bits `  N
) ,  ( 2 ^ M ) ,  0 )  ->  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  +  ( 2 ^ M ) )  =  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  +  if ( M  e.  (bits `  N ) ,  ( 2 ^ M ) ,  0 ) ) )
21eqeq2d 2296 . 2  |-  ( ( 2 ^ M )  =  if ( M  e.  (bits `  N
) ,  ( 2 ^ M ) ,  0 )  ->  (
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  +  ( 2 ^ M ) )  <->  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( N  mod  (
2 ^ M ) )  +  if ( M  e.  (bits `  N ) ,  ( 2 ^ M ) ,  0 ) ) ) )
3 oveq2 5868 . . 3  |-  ( 0  =  if ( M  e.  (bits `  N
) ,  ( 2 ^ M ) ,  0 )  ->  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  +  0 )  =  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  +  if ( M  e.  (bits `  N ) ,  ( 2 ^ M ) ,  0 ) ) )
43eqeq2d 2296 . 2  |-  ( 0  =  if ( M  e.  (bits `  N
) ,  ( 2 ^ M ) ,  0 )  ->  (
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  +  0 )  <->  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( N  mod  (
2 ^ M ) )  +  if ( M  e.  (bits `  N ) ,  ( 2 ^ M ) ,  0 ) ) ) )
5 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
6 2nn 9879 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
76a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
2  e.  NN )
8 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
97, 8nnexpcld 11268 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ M
)  e.  NN )
105, 9zmodcld 10992 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  e.  NN0 )
1110nn0cnd 10022 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  e.  CC )
1211adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  e.  CC )
13 1nn0 9983 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN0
1413a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
1  e.  NN0 )
158, 14nn0addcld 10024 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  +  1 )  e.  NN0 )
167, 15nnexpcld 11268 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( M  +  1 ) )  e.  NN )
175, 16zmodcld 10992 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  e.  NN0 )
1817nn0cnd 10022 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  e.  CC )
1918adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  e.  CC )
2012, 19pncan3d 9162 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  +  ( ( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )  =  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )
2118, 11subcld 9159 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  e.  CC )
2221adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  e.  CC )
236a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
2  e.  NN )
24 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  ->  M  e.  NN0 )
2523, 24nnexpcld 11268 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( 2 ^ M
)  e.  NN )
2625nncnd 9764 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( 2 ^ M
)  e.  CC )
27 2cn 9818 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
2827a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
2  e.  CC )
29 2ne0 9831 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
3029a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
2  =/=  0 )
318nn0zd 10117 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
3228, 30, 31expne0d 11253 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ M
)  =/=  0 )
3332adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( 2 ^ M
)  =/=  0 )
34 2z 10056 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
35 dvds0 12546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
3634, 35ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  2  ||  0
37 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  0  ->  ( (
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  0 )
3836, 37syl5breqr 4061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  0  ->  2  ||  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) )
39 bitsval2 12618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ M ) ) ) ) )
405zred 10119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
419nnrpd 10391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ M
)  e.  RR+ )
42 moddiffl 10984 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 2 ^ M
)  e.  RR+ )  ->  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ M ) ) ) )
4340, 41, 42syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ M ) ) ) )
4443breq2d 4037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2  ||  (
( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  <->  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ M ) ) ) ) )
4534a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
2  e.  ZZ )
46 moddifz 10985 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 2 ^ M
)  e.  RR+ )  ->  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ )
4740, 41, 46syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ )
485zcnd 10120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
4948, 11, 18nnncan1d 9193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  -  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )
5049oveq1d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  -  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) ) )
5148, 11subcld 9159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  e.  CC )
5248, 18subcld 9159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
539nncnd 9764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ M
)  e.  CC )
5451, 52, 53, 32divsubdird 9577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  -  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  ( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  -  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
5550, 54eqtr3d 2319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  ( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  -  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
5628, 52mulcomd 8858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  x.  2 ) )
5728, 53mulcomd 8858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  (
2 ^ M ) )  =  ( ( 2 ^ M )  x.  2 ) )
5828, 8expp1d 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( M  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ M )  x.  2 ) )
5957, 58eqtr4d 2320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  (
2 ^ M ) )  =  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )
6056, 59oveq12d 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) ) )  /  ( 2  x.  ( 2 ^ M ) ) )  =  ( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  x.  2 )  / 
( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )
6152, 53, 28, 32, 30divcan5d 9564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) ) )  /  ( 2  x.  ( 2 ^ M ) ) )  =  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  / 
( 2 ^ M
) ) )
6216nncnd 9764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( M  +  1 ) )  e.  CC )
6331peano2zd 10122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  +  1 )  e.  ZZ )
6428, 30, 63expne0d 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( M  +  1 ) )  =/=  0 )
6552, 28, 62, 64div23d 9575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  x.  2 )  /  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  x.  2 ) )
6660, 61, 653eqtr3d 2325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  ( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  x.  2 ) )
6716nnrpd 10391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR+ )
68 moddifz 10985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 2 ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  ZZ )
6940, 67, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  ZZ )
7069, 45zmulcld 10125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  / 
( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  x.  2 )  e.  ZZ )
7166, 70eqeltrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ )
7247, 71zsubcld 10124 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  -  (
( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) )  e.  ZZ )
7355, 72eqeltrd 2359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ )
74 dvdsmul2 12553 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  / 
( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  x.  2 ) )
7569, 45, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
2  ||  ( (
( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  x.  2 ) )
7648, 18, 11nnncan2d 9194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  -  ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) ) )  =  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) ) ) )
7776oveq1d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  -  ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  / 
( 2 ^ M
) ) )
7851, 21, 53, 32divsubdird 9577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  -  ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  ( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  -  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
7977, 78, 663eqtr3d 2325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  -  (
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) )  =  ( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  x.  2 ) )
8075, 79breqtrrd 4051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
2  ||  ( (
( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  -  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
81 dvdssub2 12568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ  /\  (
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ )  /\  2  ||  ( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  -  (
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )  ->  ( 2 
||  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  <->  2  ||  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
8245, 47, 73, 80, 81syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2  ||  (
( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  <->  2  ||  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
8344, 82bitr3d 246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2  ||  ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ M
) ) )  <->  2  ||  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
8483notbid 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ M ) ) )  <->  -.  2  ||  ( ( ( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
8539, 84bitrd 244 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
8685con2bid 319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2  ||  (
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  <->  -.  M  e.  (bits `  N )
) )
8738, 86syl5ib 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  =  0  ->  -.  M  e.  (bits `  N ) ) )
8887con2d 107 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  (bits `  N )  ->  -.  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  0 ) )
89 df-neg 9042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
9053mulm1d 9233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( -u 1  x.  (
2 ^ M ) )  =  -u (
2 ^ M ) )
919nnred 9763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ M
)  e.  RR )
9291renegcld 9212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  -u ( 2 ^ M
)  e.  RR )
9340, 41modcld 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  e.  RR )
9493renegcld 9212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  -u ( N  mod  (
2 ^ M ) )  e.  RR )
9540, 67modcld 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  e.  RR )
9695, 93resubcld 9213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  e.  RR )
97 modlt 10983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 2 ^ M
)  e.  RR+ )  ->  ( N  mod  (
2 ^ M ) )  <  ( 2 ^ M ) )
9840, 41, 97syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  <  ( 2 ^ M ) )
9993, 91ltnegd 9352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  <  (
2 ^ M )  <->  -u ( 2 ^ M
)  <  -u ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )
10098, 99mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  -u ( 2 ^ M
)  <  -u ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )
101 df-neg 9042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  =  ( 0  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )
102 0re 8840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  RR
103102a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
0  e.  RR )
104 modge0 10982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 2 ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )
10540, 67, 104syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )
106103, 95, 93, 105lesub1dd 9390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 0  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  <_  ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )
107101, 106syl5eqbr 4058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  -u ( N  mod  (
2 ^ M ) )  <_  ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )
10892, 94, 96, 100, 107ltletrd 8978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  -u ( 2 ^ M
)  <  ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )
10990, 108eqbrtrd 4045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( -u 1  x.  (
2 ^ M ) )  <  ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) ) )
110 1re 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
111110a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
1  e.  RR )
112111renegcld 9212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  -u 1  e.  RR )
113112, 96, 41ltmuldivd 10435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( -u 1  x.  ( 2 ^ M
) )  <  (
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  <->  -u 1  <  ( ( ( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
114109, 113mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  -u 1  <  ( ( ( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) )
11589, 114syl5eqbrr 4059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 0  -  1 )  <  ( ( ( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) )
116 0z 10037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  ZZ
117116a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
0  e.  ZZ )
118 zlem1lt 10071 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ )  -> 
( 0  <_  (
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  <->  ( 0  -  1 )  < 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
119117, 73, 118syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  (
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  <->  ( 0  -  1 )  < 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
120115, 119mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( (
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) )
121 elnn0z 10038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e. 
NN0 
<->  ( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  e.  ZZ  /\  0  <_  ( (
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
12273, 120, 121sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  NN0 )
123 nn0uz 10264 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
124122, 123syl6eleq 2375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
12516nnred 9763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR )
126 modge0 10982 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 2 ^ M
)  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )
12740, 41, 126syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )
12895, 93subge02d 9366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  <->  ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  <_  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) ) )
129127, 128mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  <_  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )
130 modlt 10983 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 2 ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR+ )  ->  ( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  <  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )
13140, 67, 130syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  <  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )
13296, 95, 125, 129, 131lelttrd 8976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  <  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )
133132, 58breqtrd 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  <  ( ( 2 ^ M )  x.  2 ) )
1347nnred 9763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
2  e.  RR )
13596, 134, 41ltdivmuld 10439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  <  2  <->  ( ( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  <  ( ( 2 ^ M )  x.  2 ) ) )
136133, 135mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  <  2 )
137 elfzo2 10880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  ( 0..^ 2 )  <-> 
( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  e.  (
ZZ>= `  0 )  /\  2  e.  ZZ  /\  (
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  <  2 ) )
138124, 45, 136, 137syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  ( 0..^ 2 ) )
139 df-2 9806 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
140139oveq2i 5871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0..^ 2 )  =  ( 0..^ ( 1  +  1 ) )
141 1z 10055 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
142 fzval3 10913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
0 ... 1 )  =  ( 0..^ ( 1  +  1 ) ) )
143141, 142ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... 1 )  =  ( 0..^ ( 1  +  1 ) )
144 fzpr 10842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) } )
145116, 144ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
146 1e0p1 10154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =  ( 0  +  1 )
147146oveq2i 5871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... 1 )  =  ( 0 ... (
0  +  1 ) )
148146preq2i 3712 . . . . . . . . . . . 12  |-  { 0 ,  1 }  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
149145, 147, 1483eqtr4i 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... 1 )  =  { 0 ,  1 }
150140, 143, 1493eqtr2i 2311 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
151138, 150syl6eleq 2375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  { 0 ,  1 } )
152 elpri 3662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e. 
{ 0 ,  1 }  ->  ( (
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  0  \/  ( ( ( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  1 ) )
153151, 152syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  =  0  \/  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  =  1 ) )
154153ord 366 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( -.  ( ( ( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  0  ->  ( (
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  1 ) )
15588, 154syld 40 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  (bits `  N )  ->  (
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  1 ) )
156155imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  1 )
15722, 26, 33, 156diveq1d 9546 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  =  ( 2 ^ M ) )
158157oveq2d 5876 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  +  ( ( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )  =  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  +  ( 2 ^ M ) ) )
15920, 158eqtr3d 2319 . 2  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  +  ( 2 ^ M ) ) )
16018adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  -.  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  e.  CC )
16111adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  -.  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  e.  CC )
16221adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  -.  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  e.  CC )
16353adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  -.  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( 2 ^ M
)  e.  CC )
16432adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  -.  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( 2 ^ M
)  =/=  0 )
165 1lt2 9888 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <  2
166 2re 9817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
167110, 166ltnlei 8941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  <  2  <->  -.  2  <_  1 )
168165, 167mpbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  2  <_  1
169 1nn 9759 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN
170 dvdsle 12576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  1  e.  NN )  ->  ( 2  ||  1  ->  2  <_  1 ) )
17134, 169, 170mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2 
||  1  ->  2  <_  1 )
172168, 171mto 167 . . . . . . . . . 10  |-  -.  2  ||  1
173 breq2 4029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  1  ->  ( 2 
||  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  <->  2  ||  1 ) )
174172, 173mtbiri 294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  1  ->  -.  2  ||  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) )
175154, 174syl6 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( -.  ( ( ( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  0  ->  -.  2  ||  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
176175, 85sylibrd 225 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( -.  ( ( ( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  0  ->  M  e.  (bits `  N ) ) )
177176con1d 116 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( -.  M  e.  (bits `  N )  ->  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  0 ) )
178177imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  -.  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  0 )
179162, 163, 164, 178diveq0d 9545 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  -.  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  =  0 )
180160, 161, 179subeq0d 9167 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  -.  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )
181161addid1d 9014 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  -.  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  +  0 )  =  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )
182180, 181eqtr4d 2320 . 2  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  -.  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  +  0 ) )
1832, 4, 159, 182ifbothda 3597 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  +  if ( M  e.  (bits `  N
) ,  ( 2 ^ M ) ,  0 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   ifcif 3567   {cpr 3643   class class class wbr 4025   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CCcc 8737   RRcr 8738   0cc0 8739   1c1 8740    + caddc 8742    x. cmul 8744    < clt 8869    <_ cle 8870    - cmin 9039   -ucneg 9040    / cdiv 9425   NNcn 9748   2c2 9797   NN0cn0 9967   ZZcz 10026   ZZ>=cuz 10232   RR+crp 10356   ...cfz 10784  ..^cfzo 10872   |_cfl 10926    mod cmo 10975   ^cexp 11106    || cdivides 12533  bitscbits 12612
This theorem is referenced by:  bitsinv1  12635  smumullem  12685
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-mod 10976  df-seq 11049  df-exp 11107  df-dvds 12534  df-bits 12615
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