Theorem blbas 7855

Description: The balls of a metric space form a basis for a topology.

Hypothesis

Ref	Expression
opni.1	|- J = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
blbas	|- (D e. Met -> ran ( ball ` D) e. Bases)

Proof of Theorem blbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basgen2t 7618	. . 3 |- ((J e. Top /\ ran ( ball ` D) (_ J /\ A.u e. J A.w e. u E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v (_ u)) -> (ran ( ball ` D) e. Bases /\ (topGen` ran ( ball ` D)) = J))
2	1	pm3.26d 321	. 2 |- ((J e. Top /\ ran ( ball ` D) (_ J /\ A.u e. J A.w e. u E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v (_ u)) -> ran ( ball ` D) e. Bases)
3		opni.1	. . 3 |- J = (Open` D)
4	3	opntop 7853	. 2 |- (D e. Met -> J e. Top)
5	3	blssopn 7850	. 2 |- (D e. Met -> ran ( ball ` D) (_ J)
6	3	opni 7847	. . . 4 |- ((D e. Met /\ u e. J /\ w e. u) -> E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v (_ u))
7	6	3expib 835	. . 3 |- (D e. Met -> ((u e. J /\ w e. u) -> E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v (_ u)))
8	7	r19.21aivv 1719	. 2 |- (D e. Met -> A.u e. J A.w e. u E.v e. ran ( ball ` D)(w e. v /\ v (_ u))
9	2, 4, 5, 8	syl3anc 857	1 |- (D e. Met -> ran ( ball ` D) e. Bases)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1644  E.wrex 1645   (_ wss 2045  ran crn 3168  ` cfv 3179  Topctop 7567  Basesctb 7569  topGenctg 7570  Metcme 7768   ball cbl 7770  Opencopn 7771

This theorem is referenced by:  tgioo 7898

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-top 7571  df-bases 7573  df-topgen 7574  df-met 7772  df-bl 7774  df-opn 7775

Copyright terms: Public domain