Theorem blf 7844

Description: Mapping of a ball.

Hypothesis

Ref	Expression
blf.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
blf	|- (D e. Met -> ( ball ` D):(X X. (0(,) +oo))-->P~X)

Proof of Theorem blf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf.1	. . . 4 |- X = dom dom D
2	1	blfval2 7836	. . 3 |- (D e. Met -> ( ball ` D) = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. {w e. RR | 0 < w}) /\ z = {v e. X | (xDv) < y})})
3		ioopos 6394	. . . . . . 7 |- (0(,) +oo) = {w e. RR | 0 < w}
4	3	eleq2i 1538	. . . . . 6 |- (y e. (0(,) +oo) <-> y e. {w e. RR | 0 < w})
5	4	anbi2i 480	. . . . 5 |- ((x e. X /\ y e. (0(,) +oo)) <-> (x e. X /\ y e. {w e. RR | 0 < w}))
6	5	anbi1i 481	. . . 4 |- (((x e. X /\ y e. (0(,) +oo)) /\ z = {v e. X | (xDv) < y}) <-> ((x e. X /\ y e. {w e. RR | 0 < w}) /\ z = {v e. X | (xDv) < y}))
7	6	oprabbii 3997	. . 3 |- {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. (0(,) +oo)) /\ z = {v e. X | (xDv) < y})} = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. {w e. RR | 0 < w}) /\ z = {v e. X | (xDv) < y})}
8	2, 7	syl6eqr 1525	. 2 |- (D e. Met -> ( ball ` D) = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. (0(,) +oo)) /\ z = {v e. X | (xDv) < y})})
9		feq1 3620	. . 3 |- (( ball ` D) = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. (0(,) +oo)) /\ z = {v e. X | (xDv) < y})} -> (( ball ` D):(X X. (0(,) +oo))-->P~X <-> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. (0(,) +oo)) /\ z = {v e. X | (xDv) < y})}:(X X. (0(,) +oo))-->P~X))
10		dmexg 3358	. . . . . . . . 9 |- (D e. Met -> dom D e. V)
11		dmexg 3358	. . . . . . . . 9 |- (dom D e. V -> dom dom D e. V)
12	10, 11	syl 10	. . . . . . . 8 |- (D e. Met -> dom dom D e. V)
13	12, 1	syl5eqel 1552	. . . . . . 7 |- (D e. Met -> X e. V)
14		ssrab2 2131	. . . . . . . 8 |- {v e. X | (xDv) < y} (_ X
15		elpw2g 2727	. . . . . . . 8 |- (X e. V -> ({v e. X | (xDv) < y} e. P~X <-> {v e. X | (xDv) < y} (_ X))
16	14, 15	mpbiri 194	. . . . . . 7 |- (X e. V -> {v e. X | (xDv) < y} e. P~X)
17	13, 16	syl 10	. . . . . 6 |- (D e. Met -> {v e. X | (xDv) < y} e. P~X)
18	17	a1d 12	. . . . 5 |- (D e. Met -> ((x e. X /\ y e. (0(,) +oo)) -> {v e. X | (xDv) < y} e. P~X))
19	18	r19.21aivv 1720	. . . 4 |- (D e. Met -> A.x e. X A.y e. (0(,) +oo){v e. X | (xDv) < y} e. P~X)
20		eqid 1475	. . . . 5 |- {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. (0(,) +oo)) /\ z = {v e. X | (xDv) < y})} = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. (0(,) +oo)) /\ z = {v e. X | (xDv) < y})}
21	20	foprab2 4119	. . . 4 |- (A.x e. X A.y e. (0(,) +oo){v e. X | (xDv) < y} e. P~X <-> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. (0(,) +oo)) /\ z = {v e. X | (xDv) < y})}:(X X. (0(,) +oo))-->P~X)
22	19, 21	sylib 198	. . 3 |- (D e. Met -> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. (0(,) +oo)) /\ z = {v e. X | (xDv) < y})}:(X X. (0(,) +oo))-->P~X)
23	9, 22	syl5bir 210	. 2 |- (( ball ` D) = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. (0(,) +oo)) /\ z = {v e. X | (xDv) < y})} -> (D e. Met -> ( ball ` D):(X X. (0(,) +oo))-->P~X))
24	8, 23	mpcom 49	1 |- (D e. Met -> ( ball ` D):(X X. (0(,) +oo))-->P~X)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  {crab 1648  Vcvv 1811   (_ wss 2047  P~cpw 2401   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  dom cdm 3170  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  {copab2 3964  RRcr 5233  0cc0 5234   +oocpnf 5483   < clt 5486  (,)cioo 6357  Metcme 7789   ball cbl 7791

This theorem is referenced by:  blssioo 7913

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-ioo 6361  df-bl 7795

Copyright terms: Public domain