MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blfval Unicode version

Theorem blfval 17874
Description: The value of the ball function. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blfval  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( ball `  D )  =  ( x  e.  X ,  r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } ) )
Distinct variable groups:    x, r,
y, D    X, r, x, y

Proof of Theorem blfval
StepHypRef Expression
1 df-bl 16302 . . 3  |-  ball  =  ( d  e.  U. ran  * Met  |->  ( x  e.  dom  dom  d ,  r  e.  RR*  |->  { y  e.  dom  dom  d  |  ( x d y )  <  r } ) )
21a1i 12 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ball  =  ( d  e.  U. ran  * Met  |->  ( x  e.  dom  dom  d ,  r  e.  RR*  |->  { y  e.  dom  dom  d  |  ( x d y )  <  r } ) ) )
3 dmeq 4832 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  dom  d  =  dom  D )
43dmeqd 4834 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  dom  dom  d  =  dom  dom  D )
5 xmetdmdm 17827 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  dom  dom  D )
65eqcomd 2261 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  dom  dom 
D  =  X )
74, 6sylan9eqr 2310 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  d  =  D )  ->  dom  dom  d  =  X )
8 eqidd 2257 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  d  =  D )  ->  RR*  =  RR* )
9 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  d  =  D )  ->  d  =  D )
109oveqd 5774 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  d  =  D )  ->  ( x
d y )  =  ( x D y ) )
1110breq1d 3973 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  d  =  D )  ->  ( (
x d y )  <  r  <->  ( x D y )  < 
r ) )
127, 11rabeqbidv 2735 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  d  =  D )  ->  { y  e.  dom  dom  d  | 
( x d y )  <  r }  =  { y  e.  X  |  ( x D y )  < 
r } )
137, 8, 12mpt2eq123dv 5809 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  d  =  D )  ->  ( x  e.  dom  dom  d , 
r  e.  RR*  |->  { y  e.  dom  dom  d  |  ( x d y )  <  r } )  =  ( x  e.  X , 
r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } ) )
14 fvssunirn 5450 . . 3  |-  ( * Met `  X ) 
C_  U. ran  * Met
1514sseli 3118 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D  e.  U. ran  * Met )
16 ssrab2 3200 . . . . . 6  |-  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r }  C_  X
17 elfvdm 5453 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
1817adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  r  e. 
RR* ) )  ->  X  e.  dom  * Met )
19 elpw2g 4107 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  dom  * Met  ->  ( { y  e.  X  |  ( x D y )  < 
r }  e.  ~P X 
<->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r }  C_  X ) )
2018, 19syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  r  e. 
RR* ) )  -> 
( { y  e.  X  |  ( x D y )  < 
r }  e.  ~P X 
<->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r }  C_  X ) )
2116, 20mpbiri 226 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  r  e. 
RR* ) )  ->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r }  e.  ~P X
)
2221ralrimivva 2606 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  A. x  e.  X  A. r  e.  RR*  { y  e.  X  |  ( x D y )  < 
r }  e.  ~P X )
23 eqid 2256 . . . . 5  |-  ( x  e.  X ,  r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } )  =  ( x  e.  X ,  r  e. 
RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  < 
r } )
2423fmpt2 6090 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. r  e.  RR*  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r }  e.  ~P X  <->  ( x  e.  X ,  r  e. 
RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  < 
r } ) : ( X  X.  RR* )
--> ~P X )
2522, 24sylib 190 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
x  e.  X , 
r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } ) : ( X  X.  RR* ) --> ~P X )
26 xrex 10283 . . . 4  |-  RR*  e.  _V
27 xpexg 4753 . . . 4  |-  ( ( X  e.  dom  * Met  /\  RR*  e.  _V )  ->  ( X  X.  RR* )  e.  _V )
2817, 26, 27sylancl 646 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  X.  RR* )  e.  _V )
29 pwexg 4132 . . . 4  |-  ( X  e.  dom  * Met  ->  ~P X  e.  _V )
3017, 29syl 17 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ~P X  e.  _V )
31 fex2 5304 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X ,  r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } ) : ( X  X.  RR* ) --> ~P X  /\  ( X  X.  RR* )  e.  _V  /\  ~P X  e.  _V )  ->  (
x  e.  X , 
r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } )  e.  _V )
3225, 28, 30, 31syl3anc 1187 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
x  e.  X , 
r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } )  e.  _V )
332, 13, 15, 32fvmptd 5505 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( ball `  D )  =  ( x  e.  X ,  r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   {crab 2519   _Vcvv 2740    C_ wss 3094   ~Pcpw 3566   U.cuni 3768   class class class wbr 3963    e. cmpt 4017    X. cxp 4624   dom cdm 4626   ran crn 4627   -->wf 4634   ` cfv 4638  (class class class)co 5757    e. cmpt2 5759   RR*cxr 8799    < clt 8800   * Metcxmt 16296   ballcbl 16298
This theorem is referenced by:  blval  17875  blf  17888
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-map 6707  df-xr 8804  df-xmet 16300  df-bl 16302
  Copyright terms: Public domain W3C validator