MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blfval Unicode version

Theorem blfval 17910
Description: The value of the ball function. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blfval  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( ball `  D )  =  ( x  e.  X ,  r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } ) )
Distinct variable groups:    x, r,
y, D    X, r, x, y

Proof of Theorem blfval
StepHypRef Expression
1 df-bl 16338 . . 3  |-  ball  =  ( d  e.  U. ran  * Met  |->  ( x  e.  dom  dom  d ,  r  e.  RR*  |->  { y  e.  dom  dom  d  |  ( x d y )  <  r } ) )
21a1i 12 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ball  =  ( d  e.  U. ran  * Met  |->  ( x  e.  dom  dom  d ,  r  e.  RR*  |->  { y  e.  dom  dom  d  |  ( x d y )  <  r } ) ) )
3 dmeq 4867 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  dom  d  =  dom  D )
43dmeqd 4869 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  dom  dom  d  =  dom  dom  D )
5 xmetdmdm 17863 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  dom  dom  D )
65eqcomd 2263 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  dom  dom 
D  =  X )
74, 6sylan9eqr 2312 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  d  =  D )  ->  dom  dom  d  =  X )
8 eqidd 2259 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  d  =  D )  ->  RR*  =  RR* )
9 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  d  =  D )  ->  d  =  D )
109oveqd 5809 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  d  =  D )  ->  ( x
d y )  =  ( x D y ) )
1110breq1d 4007 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  d  =  D )  ->  ( (
x d y )  <  r  <->  ( x D y )  < 
r ) )
127, 11rabeqbidv 2758 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  d  =  D )  ->  { y  e.  dom  dom  d  | 
( x d y )  <  r }  =  { y  e.  X  |  ( x D y )  < 
r } )
137, 8, 12mpt2eq123dv 5844 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  d  =  D )  ->  ( x  e.  dom  dom  d , 
r  e.  RR*  |->  { y  e.  dom  dom  d  |  ( x d y )  <  r } )  =  ( x  e.  X , 
r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } ) )
14 fvssunirn 5485 . . 3  |-  ( * Met `  X ) 
C_  U. ran  * Met
1514sseli 3151 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D  e.  U. ran  * Met )
16 ssrab2 3233 . . . . . 6  |-  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r }  C_  X
17 elfvdm 5488 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
1817adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  r  e. 
RR* ) )  ->  X  e.  dom  * Met )
19 elpw2g 4141 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  dom  * Met  ->  ( { y  e.  X  |  ( x D y )  < 
r }  e.  ~P X 
<->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r }  C_  X ) )
2018, 19syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  r  e. 
RR* ) )  -> 
( { y  e.  X  |  ( x D y )  < 
r }  e.  ~P X 
<->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r }  C_  X ) )
2116, 20mpbiri 226 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  r  e. 
RR* ) )  ->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r }  e.  ~P X
)
2221ralrimivva 2610 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  A. x  e.  X  A. r  e.  RR*  { y  e.  X  |  ( x D y )  < 
r }  e.  ~P X )
23 eqid 2258 . . . . 5  |-  ( x  e.  X ,  r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } )  =  ( x  e.  X ,  r  e. 
RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  < 
r } )
2423fmpt2 6125 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. r  e.  RR*  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r }  e.  ~P X  <->  ( x  e.  X ,  r  e. 
RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  < 
r } ) : ( X  X.  RR* )
--> ~P X )
2522, 24sylib 190 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
x  e.  X , 
r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } ) : ( X  X.  RR* ) --> ~P X )
26 xrex 10319 . . . 4  |-  RR*  e.  _V
27 xpexg 4788 . . . 4  |-  ( ( X  e.  dom  * Met  /\  RR*  e.  _V )  ->  ( X  X.  RR* )  e.  _V )
2817, 26, 27sylancl 646 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  X.  RR* )  e.  _V )
29 pwexg 4166 . . . 4  |-  ( X  e.  dom  * Met  ->  ~P X  e.  _V )
3017, 29syl 17 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ~P X  e.  _V )
31 fex2 5339 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X ,  r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } ) : ( X  X.  RR* ) --> ~P X  /\  ( X  X.  RR* )  e.  _V  /\  ~P X  e.  _V )  ->  (
x  e.  X , 
r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } )  e.  _V )
3225, 28, 30, 31syl3anc 1187 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
x  e.  X , 
r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } )  e.  _V )
332, 13, 15, 32fvmptd 5540 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( ball `  D )  =  ( x  e.  X ,  r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   {crab 2522   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   ~Pcpw 3599   U.cuni 3801   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051    X. cxp 4659   dom cdm 4661   ran crn 4662   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792    e. cmpt2 5794   RR*cxr 8834    < clt 8835   * Metcxmt 16332   ballcbl 16334
This theorem is referenced by:  blval  17911  blf  17924
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-map 6742  df-xr 8839  df-xmet 16336  df-bl 16338
  Copyright terms: Public domain W3C validator