Theorem blin 7849

Description: The intersection of two balls with the same center is the smaller of them.

Hypothesis

Ref	Expression
blf.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
blin	|- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S)) -> ((P( ball ` D)R) i^i (P( ball ` D)S)) = (P( ball ` D)if(R <_ S, R, S)))

Proof of Theorem blin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf.1	. . . . 5 |- X = dom dom D
2	1	blval 7834	. . . 4 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> (P( ball ` D)R) = {x e. X | (PDx) < R})
3	2	3adant3 801	. . 3 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S)) -> (P( ball ` D)R) = {x e. X | (PDx) < R})
4	1	blval 7834	. . . 4 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (S e. RR /\ 0 < S)) -> (P( ball ` D)S) = {x e. X | (PDx) < S})
5	4	3adant2 800	. . 3 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S)) -> (P( ball ` D)S) = {x e. X | (PDx) < S})
6	3, 5	ineq12d 2221	. 2 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S)) -> ((P( ball ` D)R) i^i (P( ball ` D)S)) = ({x e. X | (PDx) < R} i^i {x e. X | (PDx) < S}))
7	1	blval 7834	. . . . . 6 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (if(R <_ S, R, S) e. RR /\ 0 < if(R <_ S, R, S))) -> (P( ball ` D)if(R <_ S, R, S)) = {x e. X | (PDx) < if(R <_ S, R, S)})
8		eleq1 1537	. . . . . . . 8 |- (R = if(R <_ S, R, S) -> (R e. RR <-> if(R <_ S, R, S) e. RR))
9		breq2 2628	. . . . . . . 8 |- (R = if(R <_ S, R, S) -> (0 < R <-> 0 < if(R <_ S, R, S)))
10	8, 9	anbi12d 630	. . . . . . 7 |- (R = if(R <_ S, R, S) -> ((R e. RR /\ 0 < R) <-> (if(R <_ S, R, S) e. RR /\ 0 < if(R <_ S, R, S))))
11		eleq1 1537	. . . . . . . 8 |- (S = if(R <_ S, R, S) -> (S e. RR <-> if(R <_ S, R, S) e. RR))
12		breq2 2628	. . . . . . . 8 |- (S = if(R <_ S, R, S) -> (0 < S <-> 0 < if(R <_ S, R, S)))
13	11, 12	anbi12d 630	. . . . . . 7 |- (S = if(R <_ S, R, S) -> ((S e. RR /\ 0 < S) <-> (if(R <_ S, R, S) e. RR /\ 0 < if(R <_ S, R, S))))
14	10, 13	ifboth 2379	. . . . . 6 |- (((R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S)) -> (if(R <_ S, R, S) e. RR /\ 0 < if(R <_ S, R, S)))
15	7, 14	sylan2 453	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ ((R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S))) -> (P( ball ` D)if(R <_ S, R, S)) = {x e. X | (PDx) < if(R <_ S, R, S)})
16	15	3impb 831	. . . 4 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S)) -> (P( ball ` D)if(R <_ S, R, S)) = {x e. X | (PDx) < if(R <_ S, R, S)})
17		ltmint 5925	. . . . . . . . 9 |- (((PDx) e. RR /\ R e. RR /\ S e. RR) -> ((PDx) < if(R <_ S, R, S) <-> ((PDx) < R /\ (PDx) < S)))
18	1	metcl 7808	. . . . . . . . . 10 |- ((D e. Met /\ P e. X /\ x e. X) -> (PDx) e. RR)
19	18	3expa 835	. . . . . . . . 9 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ x e. X) -> (PDx) e. RR)
20		pm3.26 319	. . . . . . . . 9 |- ((R e. RR /\ 0 < R) -> R e. RR)
21		pm3.26 319	. . . . . . . . 9 |- ((S e. RR /\ 0 < S) -> S e. RR)
22	17, 19, 20, 21	syl3an 870	. . . . . . . 8 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ x e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S)) -> ((PDx) < if(R <_ S, R, S) <-> ((PDx) < R /\ (PDx) < S)))
23	22	3expb 836	. . . . . . 7 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ x e. X) /\ ((R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S))) -> ((PDx) < if(R <_ S, R, S) <-> ((PDx) < R /\ (PDx) < S)))
24	23	an1rs 491	. . . . . 6 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ ((R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S))) /\ x e. X) -> ((PDx) < if(R <_ S, R, S) <-> ((PDx) < R /\ (PDx) < S)))
25	24	rabbidv 1809	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ ((R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S))) -> {x e. X | (PDx) < if(R <_ S, R, S)} = {x e. X | ((PDx) < R /\ (PDx) < S)})
26	25	3impb 831	. . . 4 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S)) -> {x e. X | (PDx) < if(R <_ S, R, S)} = {x e. X | ((PDx) < R /\ (PDx) < S)})
27	16, 26	eqtr2d 1511	. . 3 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S)) -> {x e. X | ((PDx) < R /\ (PDx) < S)} = (P( ball ` D)if(R <_ S, R, S)))
28		inrab 2274	. . 3 |- ({x e. X | (PDx) < R} i^i {x e. X | (PDx) < S}) = {x e. X | ((PDx) < R /\ (PDx) < S)}
29	27, 28	syl5eq 1522	. 2 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S)) -> ({x e. X | (PDx) < R} i^i {x e. X | (PDx) < S}) = (P( ball ` D)if(R <_ S, R, S)))
30	6, 29	eqtrd 1510	1 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R) /\ (S e. RR /\ 0 < S)) -> ((P( ball ` D)R) i^i (P( ball ` D)S)) = (P( ball ` D)if(R <_ S, R, S)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  {crab 1651   i^i cin 2049  ifcif 2365   class class class wbr 2624  dom cdm 3176  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  RRcr 5245  0cc0 5246   <_ cle 5307   < clt 5498  Metcme 7786   ball cbl 7788

This theorem is referenced by:  opnin 7866

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-ltp 5102  df-enr 5178  df-nr 5179  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-c 5252  df-r 5256  df-lt 5259  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-met 7790  df-bl 7792

Copyright terms: Public domain