MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blocn Unicode version

Theorem blocn 22291
Description: A linear operator is continuous iff it is bounded. Theorem 2.7-9(a) of [Kreyszig] p. 97. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blocn.8  |-  C  =  ( IndMet `  U )
blocn.d  |-  D  =  ( IndMet `  W )
blocn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
blocn.k  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
blocn.5  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
blocn.u  |-  U  e.  NrmCVec
blocn.w  |-  W  e.  NrmCVec
blocn.4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
Assertion
Ref Expression
blocn  |-  ( T  e.  L  ->  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  T  e.  B ) )

Proof of Theorem blocn
StepHypRef Expression
1 eleq1 2490 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  ( J  Cn  K
) ) )
2 eleq1 2490 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  ( T  e.  B  <->  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  B ) )
31, 2bibi12d 313 . 2  |-  ( T  =  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  (
( T  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
T  e.  B )  <-> 
( if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
if ( T  e.  L ,  T , 
( U  0op  W
) )  e.  B
) ) )
4 blocn.8 . . 3  |-  C  =  ( IndMet `  U )
5 blocn.d . . 3  |-  D  =  ( IndMet `  W )
6 blocn.j . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
7 blocn.k . . 3  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
8 blocn.4 . . 3  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
9 blocn.5 . . 3  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
10 blocn.u . . 3  |-  U  e.  NrmCVec
11 blocn.w . . 3  |-  W  e.  NrmCVec
12 eqid 2430 . . . . . 6  |-  ( U  0op  W )  =  ( U  0op  W
)
1312, 80lno 22274 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( U  0op  W )  e.  L )
1410, 11, 13mp2an 654 . . . 4  |-  ( U  0op  W )  e.  L
1514elimel 3778 . . 3  |-  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  L
164, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15blocni 22289 . 2  |-  ( if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  ( J  Cn  K )  <->  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  B )
173, 16dedth 3767 1  |-  ( T  e.  L  ->  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  T  e.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   ifcif 3726   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   MetOpencmopn 16674    Cn ccn 17271   NrmCVeccnv 22046   IndMetcims 22053    LnOp clno 22224    BLnOp cblo 22226    0op c0o 22227
This theorem is referenced by:  blocn2  22292
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051  ax-pre-sup 9052  ax-addf 9053  ax-mulf 9054
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-er 6891  df-map 7006  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-sup 7432  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-div 9662  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-n0 10206  df-z 10267  df-uz 10473  df-q 10559  df-rp 10597  df-xneg 10694  df-xadd 10695  df-xmul 10696  df-seq 11307  df-exp 11366  df-cj 11887  df-re 11888  df-im 11889  df-sqr 12023  df-abs 12024  df-topgen 13650  df-psmet 16677  df-xmet 16678  df-met 16679  df-bl 16680  df-mopn 16681  df-top 16946  df-bases 16948  df-topon 16949  df-cn 17274  df-cnp 17275  df-grpo 21762  df-gid 21763  df-ginv 21764  df-gdiv 21765  df-ablo 21853  df-vc 22008  df-nv 22054  df-va 22057  df-ba 22058  df-sm 22059  df-0v 22060  df-vs 22061  df-nmcv 22062  df-ims 22063  df-lno 22228  df-nmoo 22229  df-blo 22230  df-0o 22231
  Copyright terms: Public domain W3C validator