MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blocn Unicode version

Theorem blocn 21378
Description: A linear operator is continuous iff it is bounded. Theorem 2.7-9(a) of [Kreyszig] p. 97. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blocn.8  |-  C  =  ( IndMet `  U )
blocn.d  |-  D  =  ( IndMet `  W )
blocn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
blocn.k  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
blocn.5  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
blocn.u  |-  U  e.  NrmCVec
blocn.w  |-  W  e.  NrmCVec
blocn.4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
Assertion
Ref Expression
blocn  |-  ( T  e.  L  ->  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  T  e.  B ) )

Proof of Theorem blocn
StepHypRef Expression
1 eleq1 2345 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  ( J  Cn  K
) ) )
2 eleq1 2345 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  ( T  e.  B  <->  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  B ) )
31, 2bibi12d 314 . 2  |-  ( T  =  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  (
( T  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
T  e.  B )  <-> 
( if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
if ( T  e.  L ,  T , 
( U  0op  W
) )  e.  B
) ) )
4 blocn.8 . . 3  |-  C  =  ( IndMet `  U )
5 blocn.d . . 3  |-  D  =  ( IndMet `  W )
6 blocn.j . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
7 blocn.k . . 3  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
8 blocn.4 . . 3  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
9 blocn.5 . . 3  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
10 blocn.u . . 3  |-  U  e.  NrmCVec
11 blocn.w . . 3  |-  W  e.  NrmCVec
12 eqid 2285 . . . . . 6  |-  ( U  0op  W )  =  ( U  0op  W
)
1312, 80lno 21361 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( U  0op  W )  e.  L )
1410, 11, 13mp2an 655 . . . 4  |-  ( U  0op  W )  e.  L
1514elimel 3619 . . 3  |-  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  L
164, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15blocni 21376 . 2  |-  ( if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  ( J  Cn  K )  <->  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  B )
173, 16dedth 3608 1  |-  ( T  e.  L  ->  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  T  e.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    = wceq 1624    e. wcel 1685   ifcif 3567   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   MetOpencmopn 16367    Cn ccn 16949   NrmCVeccnv 21133   IndMetcims 21140    LnOp clno 21311    BLnOp cblo 21313    0op c0o 21314
This theorem is referenced by:  blocn2  21379
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-sup 7190  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-xneg 10448  df-xadd 10449  df-xmul 10450  df-seq 11042  df-exp 11100  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716  df-topgen 13339  df-xmet 16368  df-met 16369  df-bl 16370  df-mopn 16371  df-top 16631  df-bases 16633  df-topon 16634  df-cn 16952  df-cnp 16953  df-grpo 20851  df-gid 20852  df-ginv 20853  df-gdiv 20854  df-ablo 20942  df-vc 21095  df-nv 21141  df-va 21144  df-ba 21145  df-sm 21146  df-0v 21147  df-vs 21148  df-nmcv 21149  df-ims 21150  df-lno 21315  df-nmoo 21316  df-blo 21317  df-0o 21318
  Copyright terms: Public domain W3C validator