MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blocn Unicode version

Theorem blocn 21310
Description: A linear operator is continuous iff it is bounded. Theorem 2.7-9(a) of [Kreyszig] p. 97. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blocn.8  |-  C  =  ( IndMet `  U )
blocn.d  |-  D  =  ( IndMet `  W )
blocn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
blocn.k  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
blocn.5  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
blocn.u  |-  U  e.  NrmCVec
blocn.w  |-  W  e.  NrmCVec
blocn.4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
Assertion
Ref Expression
blocn  |-  ( T  e.  L  ->  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  T  e.  B ) )

Proof of Theorem blocn
StepHypRef Expression
1 eleq1 2316 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  ( J  Cn  K
) ) )
2 eleq1 2316 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  ( T  e.  B  <->  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  B ) )
31, 2bibi12d 314 . 2  |-  ( T  =  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  (
( T  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
T  e.  B )  <-> 
( if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
if ( T  e.  L ,  T , 
( U  0op  W
) )  e.  B
) ) )
4 blocn.8 . . 3  |-  C  =  ( IndMet `  U )
5 blocn.d . . 3  |-  D  =  ( IndMet `  W )
6 blocn.j . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
7 blocn.k . . 3  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
8 blocn.4 . . 3  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
9 blocn.5 . . 3  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
10 blocn.u . . 3  |-  U  e.  NrmCVec
11 blocn.w . . 3  |-  W  e.  NrmCVec
12 eqid 2256 . . . . . 6  |-  ( U  0op  W )  =  ( U  0op  W
)
1312, 80lno 21293 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( U  0op  W )  e.  L )
1410, 11, 13mp2an 656 . . . 4  |-  ( U  0op  W )  e.  L
1514elimel 3558 . . 3  |-  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  L
164, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15blocni 21308 . 2  |-  ( if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  ( J  Cn  K )  <->  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  B )
173, 16dedth 3547 1  |-  ( T  e.  L  ->  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  T  e.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621   ifcif 3506   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   MetOpencmopn 16299    Cn ccn 16881   NrmCVeccnv 21065   IndMetcims 21072    LnOp clno 21243    BLnOp cblo 21245    0op c0o 21246
This theorem is referenced by:  blocn2  21311
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-map 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-sup 7127  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-xneg 10384  df-xadd 10385  df-xmul 10386  df-seq 10978  df-exp 11036  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-topgen 13271  df-xmet 16300  df-met 16301  df-bl 16302  df-mopn 16303  df-top 16563  df-bases 16565  df-topon 16566  df-cn 16884  df-cnp 16885  df-grpo 20783  df-gid 20784  df-ginv 20785  df-gdiv 20786  df-ablo 20874  df-vc 21027  df-nv 21073  df-va 21076  df-ba 21077  df-sm 21078  df-0v 21079  df-vs 21080  df-nmcv 21081  df-ims 21082  df-lno 21247  df-nmoo 21248  df-blo 21249  df-0o 21250
  Copyright terms: Public domain W3C validator