MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blocn Unicode version

Theorem blocn 21345
Description: A linear operator is continuous iff it is bounded. Theorem 2.7-9(a) of [Kreyszig] p. 97. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blocn.8  |-  C  =  ( IndMet `  U )
blocn.d  |-  D  =  ( IndMet `  W )
blocn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
blocn.k  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
blocn.5  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
blocn.u  |-  U  e.  NrmCVec
blocn.w  |-  W  e.  NrmCVec
blocn.4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
Assertion
Ref Expression
blocn  |-  ( T  e.  L  ->  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  T  e.  B ) )

Proof of Theorem blocn
StepHypRef Expression
1 eleq1 2318 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  ( J  Cn  K
) ) )
2 eleq1 2318 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  ( T  e.  B  <->  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  B ) )
31, 2bibi12d 314 . 2  |-  ( T  =  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  (
( T  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
T  e.  B )  <-> 
( if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
if ( T  e.  L ,  T , 
( U  0op  W
) )  e.  B
) ) )
4 blocn.8 . . 3  |-  C  =  ( IndMet `  U )
5 blocn.d . . 3  |-  D  =  ( IndMet `  W )
6 blocn.j . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
7 blocn.k . . 3  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
8 blocn.4 . . 3  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
9 blocn.5 . . 3  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
10 blocn.u . . 3  |-  U  e.  NrmCVec
11 blocn.w . . 3  |-  W  e.  NrmCVec
12 eqid 2258 . . . . . 6  |-  ( U  0op  W )  =  ( U  0op  W
)
1312, 80lno 21328 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( U  0op  W )  e.  L )
1410, 11, 13mp2an 656 . . . 4  |-  ( U  0op  W )  e.  L
1514elimel 3591 . . 3  |-  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  L
164, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15blocni 21343 . 2  |-  ( if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  ( J  Cn  K )  <->  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  B )
173, 16dedth 3580 1  |-  ( T  e.  L  ->  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  T  e.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621   ifcif 3539   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   MetOpencmopn 16334    Cn ccn 16916   NrmCVeccnv 21100   IndMetcims 21107    LnOp clno 21278    BLnOp cblo 21280    0op c0o 21281
This theorem is referenced by:  blocn2  21346
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-sup 7162  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-n0 9933  df-z 9992  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-xneg 10419  df-xadd 10420  df-xmul 10421  df-seq 11013  df-exp 11071  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-topgen 13306  df-xmet 16335  df-met 16336  df-bl 16337  df-mopn 16338  df-top 16598  df-bases 16600  df-topon 16601  df-cn 16919  df-cnp 16920  df-grpo 20818  df-gid 20819  df-ginv 20820  df-gdiv 20821  df-ablo 20909  df-vc 21062  df-nv 21108  df-va 21111  df-ba 21112  df-sm 21113  df-0v 21114  df-vs 21115  df-nmcv 21116  df-ims 21117  df-lno 21282  df-nmoo 21283  df-blo 21284  df-0o 21285
  Copyright terms: Public domain W3C validator