Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blocni Unicode version

Theorem blocni 22255
 Description: A linear operator is continuous iff it is bounded. Theorem 2.7-9(a) of [Kreyszig] p. 97. (Contributed by NM, 18-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blocni.8
blocni.d
blocni.j
blocni.k
blocni.4
blocni.5
blocni.u
blocni.w
blocni.l
Assertion
Ref Expression
blocni

Proof of Theorem blocni
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blocni.u . . . 4
2 eqid 2402 . . . . 5
3 eqid 2402 . . . . 5
42, 3nvzcl 22064 . . . 4
51, 4ax-mp 8 . . 3
6 blocni.8 . . . . . . . . . 10
72, 6imsmet 22132 . . . . . . . . 9
81, 7ax-mp 8 . . . . . . . 8
9 metxmet 18313 . . . . . . . 8
108, 9ax-mp 8 . . . . . . 7
11 blocni.j . . . . . . . 8
1211mopntopon 18418 . . . . . . 7 TopOn
1310, 12ax-mp 8 . . . . . 6 TopOn
1413toponunii 16948 . . . . 5
1514cncnpi 17292 . . . 4
165, 15mpan2 653 . . 3
17 blocni.d . . . 4
18 blocni.k . . . 4
19 blocni.4 . . . 4
20 blocni.5 . . . 4
21 blocni.w . . . 4
22 blocni.l . . . 4
236, 17, 11, 18, 19, 20, 1, 21, 22, 2blocnilem 22254 . . 3
245, 16, 23sylancr 645 . 2
25 eleq1 2462 . . 3
26 simprr 734 . . . . . . . 8
27 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13
28 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13
292, 27, 28, 20nmblore 22236 . . . . . . . . . . . 12
301, 21, 29mp3an12 1269 . . . . . . . . . . 11
31 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . 14
3228, 31, 19nmlnogt0 22247 . . . . . . . . . . . . 13
331, 21, 22, 32mp3an 1279 . . . . . . . . . . . 12
3433biimpi 187 . . . . . . . . . . 11
3530, 34anim12i 550 . . . . . . . . . 10
36 elrp 10568 . . . . . . . . . 10
3735, 36sylibr 204 . . . . . . . . 9
3837adantr 452 . . . . . . . 8
3926, 38rpdivcld 10619 . . . . . . 7
40 simprl 733 . . . . . . . . . . 11
41 metcl 18311 . . . . . . . . . . . 12
428, 41mp3an1 1266 . . . . . . . . . . 11
4340, 42sylan 458 . . . . . . . . . 10
44 simplrr 738 . . . . . . . . . . 11
4544rpred 10602 . . . . . . . . . 10
4635ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
47 ltmuldiv2 9835 . . . . . . . . . 10
4843, 45, 46, 47syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
49 id 20 . . . . . . . . . . . 12
5049ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . 11
512, 27, 6, 17, 28, 20, 1, 21blometi 22253 . . . . . . . . . . . 12
52513expa 1153 . . . . . . . . . . 11
5350, 52sylan 458 . . . . . . . . . 10
542, 27, 19lnof 22205 . . . . . . . . . . . . . . 15
551, 21, 22, 54mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . 14
5655ffvelrni 5826 . . . . . . . . . . . . 13
5755ffvelrni 5826 . . . . . . . . . . . . 13
5827, 17imsmet 22132 . . . . . . . . . . . . . . 15
5921, 58ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
60 metcl 18311 . . . . . . . . . . . . . 14
6159, 60mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . 13
6256, 57, 61syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12
6340, 62sylan 458 . . . . . . . . . . 11
64 remulcl 9029 . . . . . . . . . . . . . . 15
6530, 42, 64syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14
6665anassrs 630 . . . . . . . . . . . . 13
6766adantllr 700 . . . . . . . . . . . 12
6867adantlrr 702 . . . . . . . . . . 11
69 lelttr 9119 . . . . . . . . . . 11
7063, 68, 45, 69syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
7153, 70mpand 657 . . . . . . . . 9
7248, 71sylbird 227 . . . . . . . 8
7372ralrimiva 2747 . . . . . . 7
74 breq2 4174 . . . . . . . . . 10
7574imbi1d 309 . . . . . . . . 9
7675ralbidv 2684 . . . . . . . 8
7776rspcev 3010 . . . . . . 7
7839, 73, 77syl2anc 643 . . . . . 6
7978ralrimivva 2756 . . . . 5
8079, 55jctil 524 . . . 4
81 metxmet 18313 . . . . . 6
8259, 81ax-mp 8 . . . . 5
8311, 18metcn 18522 . . . . 5
8410, 82, 83mp2an 654 . . . 4
8580, 84sylibr 204 . . 3
86 eqid 2402 . . . . . . 7
872, 86, 310ofval 22237 . . . . . 6
881, 21, 87mp2an 654 . . . . 5
8918mopntopon 18418 . . . . . . 7 TopOn
9082, 89ax-mp 8 . . . . . 6 TopOn
9127, 86nvzcl 22064 . . . . . . 7
9221, 91ax-mp 8 . . . . . 6
93 cnconst2 17297 . . . . . 6 TopOn TopOn
9413, 90, 92, 93mp3an 1279 . . . . 5
9588, 94eqeltri 2472 . . . 4
9695a1i 11 . . 3
9725, 85, 96pm2.61ne 2640 . 2
9824, 97impbii 181 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1721   wne 2565  wral 2664  wrex 2665  csn 3772   class class class wbr 4170   cxp 4833  wf 5407  cfv 5411  (class class class)co 6038  cr 8943  cc0 8944   cmul 8949   clt 9074   cle 9075   cdiv 9631  crp 10566  cxmt 16637  cme 16638  cmopn 16642  TopOnctopon 16910   ccn 17238   ccnp 17239  cnv 22012  cba 22014  cn0v 22016  cims 22019   clno 22190  cnmoo 22191   cblo 22192   c0o 22193 This theorem is referenced by:  lnocni  22256  blocn  22257 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2383  ax-rep 4278  ax-sep 4288  ax-nul 4296  ax-pow 4335  ax-pr 4361  ax-un 4658  ax-cnex 9000  ax-resscn 9001  ax-1cn 9002  ax-icn 9003  ax-addcl 9004  ax-addrcl 9005  ax-mulcl 9006  ax-mulrcl 9007  ax-mulcom 9008  ax-addass 9009  ax-mulass 9010  ax-distr 9011  ax-i2m1 9012  ax-1ne0 9013  ax-1rid 9014  ax-rnegex 9015  ax-rrecex 9016  ax-cnre 9017  ax-pre-lttri 9018  ax-pre-lttrn 9019  ax-pre-ltadd 9020  ax-pre-mulgt0 9021  ax-pre-sup 9022  ax-addf 9023  ax-mulf 9024 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2389  df-cleq 2395  df-clel 2398  df-nfc 2527  df-ne 2567  df-nel 2568  df-ral 2669  df-rex 2670  df-reu 2671  df-rmo 2672  df-rab 2673  df-v 2916  df-sbc 3120  df-csb 3210  df-dif 3281  df-un 3283  df-in 3285  df-ss 3292  df-pss 3294  df-nul 3587  df-if 3698  df-pw 3759  df-sn 3778  df-pr 3779  df-tp 3780  df-op 3781  df-uni 3974  df-iun 4053  df-br 4171  df-opab 4225  df-mpt 4226  df-tr 4261  df-eprel 4452  df-id 4456  df-po 4461  df-so 4462  df-fr 4499  df-we 4501  df-ord 4542  df-on 4543  df-lim 4544  df-suc 4545  df-om 4803  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5375  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-ov 6041  df-oprab 6042  df-mpt2 6043  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-riota 6506  df-recs 6590  df-rdg 6625  df-er 6862  df-map 6977  df-en 7067  df-dom 7068  df-sdom 7069  df-sup 7402  df-pnf 9076  df-mnf 9077  df-xr 9078  df-ltxr 9079  df-le 9080  df-sub 9247  df-neg 9248  df-div 9632  df-nn 9955  df-2 10012  df-3 10013  df-n0 10176  df-z 10237  df-uz 10443  df-q 10529  df-rp 10567  df-xneg 10664  df-xadd 10665  df-xmul 10666  df-seq 11275  df-exp 11334  df-cj 11855  df-re 11856  df-im 11857  df-sqr 11991  df-abs 11992  df-topgen 13618  df-psmet 16645  df-xmet 16646  df-met 16647  df-bl 16648  df-mopn 16649  df-top 16914  df-bases 16916  df-topon 16917  df-cn 17241  df-cnp 17242  df-grpo 21728  df-gid 21729  df-ginv 21730  df-gdiv 21731  df-ablo 21819  df-vc 21974  df-nv 22020  df-va 22023  df-ba 22024  df-sm 22025  df-0v 22026  df-vs 22027  df-nmcv 22028  df-ims 22029  df-lno 22194  df-nmoo 22195  df-blo 22196  df-0o 22197
 Copyright terms: Public domain W3C validator