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Theorem blocni 22294
Description: A linear operator is continuous iff it is bounded. Theorem 2.7-9(a) of [Kreyszig] p. 97. (Contributed by NM, 18-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blocni.8  |-  C  =  ( IndMet `  U )
blocni.d  |-  D  =  ( IndMet `  W )
blocni.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
blocni.k  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
blocni.4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
blocni.5  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
blocni.u  |-  U  e.  NrmCVec
blocni.w  |-  W  e.  NrmCVec
blocni.l  |-  T  e.  L
Assertion
Ref Expression
blocni  |-  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  T  e.  B )

Proof of Theorem blocni
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blocni.u . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
2 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
3 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
42, 3nvzcl 22103 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  U
)  e.  ( BaseSet `  U ) )
51, 4ax-mp 8 . . 3  |-  ( 0vec `  U )  e.  (
BaseSet `  U )
6 blocni.8 . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( IndMet `  U )
72, 6imsmet 22171 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U ) ) )
81, 7ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  C  e.  ( Met `  ( BaseSet
`  U ) )
9 metxmet 18352 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( Met `  ( BaseSet
`  U ) )  ->  C  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  U ) ) )
108, 9ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  C  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  U ) )
11 blocni.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
1211mopntopon 18457 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( * Met `  ( BaseSet `  U )
)  ->  J  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  U
) ) )
1310, 12ax-mp 8 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  U
) )
1413toponunii 16985 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  U )  =  U. J
1514cncnpi 17330 . . . 4  |-  ( ( T  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( 0vec `  U )  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  ( 0vec `  U ) ) )
165, 15mpan2 653 . . 3  |-  ( T  e.  ( J  Cn  K )  ->  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  ( 0vec `  U ) ) )
17 blocni.d . . . 4  |-  D  =  ( IndMet `  W )
18 blocni.k . . . 4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
19 blocni.4 . . . 4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
20 blocni.5 . . . 4  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
21 blocni.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
22 blocni.l . . . 4  |-  T  e.  L
236, 17, 11, 18, 19, 20, 1, 21, 22, 2blocnilem 22293 . . 3  |-  ( ( ( 0vec `  U
)  e.  ( BaseSet `  U )  /\  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  ( 0vec `  U ) ) )  ->  T  e.  B
)
245, 16, 23sylancr 645 . 2  |-  ( T  e.  ( J  Cn  K )  ->  T  e.  B )
25 eleq1 2495 . . 3  |-  ( T  =  ( U  0op  W )  ->  ( T  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( U  0op  W )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
26 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  RR+ )
27 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
28 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U
normOp OLD W )  =  ( U normOp OLD W
)
292, 27, 28, 20nmblore 22275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  (
( U normOp OLD W
) `  T )  e.  RR )
301, 21, 29mp3an12 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  B  ->  (
( U normOp OLD W
) `  T )  e.  RR )
31 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  0op  W )  =  ( U  0op  W
)
3228, 31, 19nmlnogt0 22286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  ( T  =/=  ( U  0op  W )  <->  0  <  (
( U normOp OLD W
) `  T )
) )
331, 21, 22, 32mp3an 1279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  =/=  ( U  0op  W )  <->  0  <  (
( U normOp OLD W
) `  T )
)
3433biimpi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  =/=  ( U  0op  W )  ->  0  <  ( ( U normOp OLD W
) `  T )
)
3530, 34anim12i 550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  ->  (
( ( U normOp OLD W ) `  T
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( U
normOp OLD W ) `  T ) ) )
36 elrp 10603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U normOp OLD W
) `  T )  e.  RR+  <->  ( ( ( U normOp OLD W ) `  T )  e.  RR  /\  0  <  ( ( U normOp OLD W ) `  T ) ) )
3735, 36sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  ->  (
( U normOp OLD W
) `  T )  e.  RR+ )
3837adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  T )  e.  RR+ )
3926, 38rpdivcld 10654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  ( y  /  ( ( U
normOp OLD W ) `  T ) )  e.  RR+ )
40 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  x  e.  ( BaseSet `  U )
)
41 metcl 18350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U )
)  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x C w )  e.  RR )
428, 41mp3an1 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( x C w )  e.  RR )
4340, 42sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( x C w )  e.  RR )
44 simplrr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
y  e.  RR+ )
4544rpred 10637 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
y  e.  RR )
4635ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( ( U
normOp OLD W ) `  T )  e.  RR  /\  0  <  ( ( U normOp OLD W ) `  T ) ) )
47 ltmuldiv2 9870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x C w )  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  (
( ( U normOp OLD W ) `  T
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( U
normOp OLD W ) `  T ) ) )  ->  ( ( ( ( U normOp OLD W
) `  T )  x.  ( x C w ) )  <  y  <->  ( x C w )  <  ( y  / 
( ( U normOp OLD W ) `  T
) ) ) )
4843, 45, 46, 47syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( ( ( U normOp OLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  <  y  <->  ( x C w )  < 
( y  /  (
( U normOp OLD W
) `  T )
) ) )
49 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  B  /\  x  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( T  e.  B  /\  x  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )
5049ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  ( T  e.  B  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )
) )
512, 27, 6, 17, 28, 20, 1, 21blometi 22292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  B  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <_ 
( ( ( U
normOp OLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) ) )
52513expa 1153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  x  e.  ( BaseSet
`  U ) )  /\  w  e.  (
BaseSet `  U ) )  ->  ( ( T `
 x ) D ( T `  w
) )  <_  (
( ( U normOp OLD W ) `  T
)  x.  ( x C w ) ) )
5350, 52sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <_  ( (
( U normOp OLD W
) `  T )  x.  ( x C w ) ) )
542, 27, 19lnof 22244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  T : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
) )
551, 21, 22, 54mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T :
( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )
5655ffvelrni 5860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( BaseSet `  U
)  ->  ( T `  x )  e.  (
BaseSet `  W ) )
5755ffvelrni 5860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( BaseSet `  U
)  ->  ( T `  w )  e.  (
BaseSet `  W ) )
5827, 17imsmet 22171 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( Met `  ( BaseSet `  W ) ) )
5921, 58ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  e.  ( Met `  ( BaseSet
`  W ) )
60 metcl 18350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( Met `  ( BaseSet `  W )
)  /\  ( T `  x )  e.  (
BaseSet `  W )  /\  ( T `  w )  e.  ( BaseSet `  W
) )  ->  (
( T `  x
) D ( T `
 w ) )  e.  RR )
6159, 60mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ( BaseSet `  W )  /\  ( T `  w )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  e.  RR )
6256, 57, 61syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  e.  RR )
6340, 62sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  e.  RR )
64 remulcl 9064 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( U normOp OLD W ) `  T
)  e.  RR  /\  ( x C w )  e.  RR )  ->  ( ( ( U normOp OLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  e.  RR )
6530, 42, 64syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  B  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  ->  ( ( ( U normOp OLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  e.  RR )
6665anassrs 630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  x  e.  ( BaseSet
`  U ) )  /\  w  e.  (
BaseSet `  U ) )  ->  ( ( ( U normOp OLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  e.  RR )
6766adantllr 700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )
)  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
( U normOp OLD W
) `  T )  x.  ( x C w ) )  e.  RR )
6867adantlrr 702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( ( U
normOp OLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  e.  RR )
69 lelttr 9154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  e.  RR  /\  ( ( ( U
normOp OLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <_ 
( ( ( U
normOp OLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  /\  ( ( ( U normOp OLD W
) `  T )  x.  ( x C w ) )  <  y
)  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  < 
y ) )
7063, 68, 45, 69syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <_ 
( ( ( U
normOp OLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  /\  ( ( ( U normOp OLD W
) `  T )  x.  ( x C w ) )  <  y
)  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  < 
y ) )
7153, 70mpand 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( ( ( U normOp OLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  <  y  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) )
7248, 71sylbird 227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( x C w )  <  (
y  /  ( ( U normOp OLD W ) `  T ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) )
7372ralrimiva 2781 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C w )  <  (
y  /  ( ( U normOp OLD W ) `  T ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) )
74 breq2 4208 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( y  / 
( ( U normOp OLD W ) `  T
) )  ->  (
( x C w )  <  z  <->  ( x C w )  < 
( y  /  (
( U normOp OLD W
) `  T )
) ) )
7574imbi1d 309 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( y  / 
( ( U normOp OLD W ) `  T
) )  ->  (
( ( x C w )  <  z  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y )  <-> 
( ( x C w )  <  (
y  /  ( ( U normOp OLD W ) `  T ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) ) )
7675ralbidv 2717 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( y  / 
( ( U normOp OLD W ) `  T
) )  ->  ( A. w  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( x C w )  <  z  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y )  <->  A. w  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( x C w )  <  ( y  /  ( ( U
normOp OLD W ) `  T ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) ) )
7776rspcev 3044 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  /  (
( U normOp OLD W
) `  T )
)  e.  RR+  /\  A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( x C w )  <  ( y  / 
( ( U normOp OLD W ) `  T
) )  ->  (
( T `  x
) D ( T `
 w ) )  <  y ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( x C w )  <  z  ->  (
( T `  x
) D ( T `
 w ) )  <  y ) )
7839, 73, 77syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C w )  <  z  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) )
7978ralrimivva 2790 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  ->  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C w )  <  z  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) )
8079, 55jctil 524 . . . 4  |-  ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  ->  ( T : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C w )  <  z  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) ) )
81 metxmet 18352 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( Met `  ( BaseSet
`  W ) )  ->  D  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) ) )
8259, 81ax-mp 8 . . . . 5  |-  D  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) )
8311, 18metcn 18561 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  ( BaseSet `  U ) )  /\  D  e.  ( * Met `  ( BaseSet `  W
) ) )  -> 
( T  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( T : (
BaseSet `  U ) --> (
BaseSet `  W )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  (
BaseSet `  U ) ( ( x C w )  <  z  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) ) ) )
8410, 82, 83mp2an 654 . . . 4  |-  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( T : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C w )  <  z  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) ) )
8580, 84sylibr 204 . . 3  |-  ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  ->  T  e.  ( J  Cn  K
) )
86 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
872, 86, 310ofval 22276 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( U  0op  W )  =  ( ( BaseSet `  U
)  X.  { (
0vec `  W ) } ) )
881, 21, 87mp2an 654 . . . . 5  |-  ( U  0op  W )  =  ( ( BaseSet `  U
)  X.  { (
0vec `  W ) } )
8918mopntopon 18457 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( * Met `  ( BaseSet `  W )
)  ->  K  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W
) ) )
9082, 89ax-mp 8 . . . . . 6  |-  K  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W
) )
9127, 86nvzcl 22103 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  W
)  e.  ( BaseSet `  W ) )
9221, 91ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( 0vec `  W )  e.  (
BaseSet `  W )
93 cnconst2 17335 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  U )
)  /\  K  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W
) )  /\  ( 0vec `  W )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( BaseSet
`  U )  X. 
{ ( 0vec `  W
) } )  e.  ( J  Cn  K
) )
9413, 90, 92, 93mp3an 1279 . . . . 5  |-  ( (
BaseSet `  U )  X. 
{ ( 0vec `  W
) } )  e.  ( J  Cn  K
)
9588, 94eqeltri 2505 . . . 4  |-  ( U  0op  W )  e.  ( J  Cn  K
)
9695a1i 11 . . 3  |-  ( T  e.  B  ->  ( U  0op  W )  e.  ( J  Cn  K
) )
9725, 85, 96pm2.61ne 2673 . 2  |-  ( T  e.  B  ->  T  e.  ( J  Cn  K
) )
9824, 97impbii 181 1  |-  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  T  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   {csn 3806   class class class wbr 4204    X. cxp 4867   -->wf 5441   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   RRcr 8978   0cc0 8979    x. cmul 8984    < clt 9109    <_ cle 9110    / cdiv 9666   RR+crp 10601   * Metcxmt 16674   Metcme 16675   MetOpencmopn 16679  TopOnctopon 16947    Cn ccn 17276    CnP ccnp 17277   NrmCVeccnv 22051   BaseSetcba 22053   0veccn0v 22055   IndMetcims 22058    LnOp clno 22229   normOp OLDcnmoo 22230    BLnOp cblo 22231    0op c0o 22232
This theorem is referenced by:  lnocni  22295  blocn  22296
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-map 7011  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-seq 11312  df-exp 11371  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-topgen 13655  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-grpo 21767  df-gid 21768  df-ginv 21769  df-gdiv 21770  df-ablo 21858  df-vc 22013  df-nv 22059  df-va 22062  df-ba 22063  df-sm 22064  df-0v 22065  df-vs 22066  df-nmcv 22067  df-ims 22068  df-lno 22233  df-nmoo 22234  df-blo 22235  df-0o 22236
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