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Theorem blocni 21329
Description: A linear operator is continuous iff it is bounded. Theorem 2.7-9(a) of [Kreyszig] p. 97. (Contributed by NM, 18-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blocni.8  |-  C  =  ( IndMet `  U )
blocni.d  |-  D  =  ( IndMet `  W )
blocni.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
blocni.k  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
blocni.4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
blocni.5  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
blocni.u  |-  U  e.  NrmCVec
blocni.w  |-  W  e.  NrmCVec
blocni.l  |-  T  e.  L
Assertion
Ref Expression
blocni  |-  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  T  e.  B )

Proof of Theorem blocni
StepHypRef Expression
1 blocni.u . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
2 eqid 2256 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
3 eqid 2256 . . . . 5  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
42, 3nvzcl 21138 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  U
)  e.  ( BaseSet `  U ) )
51, 4ax-mp 10 . . 3  |-  ( 0vec `  U )  e.  (
BaseSet `  U )
6 blocni.8 . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( IndMet `  U )
72, 6imsmet 21206 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U ) ) )
81, 7ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  C  e.  ( Met `  ( BaseSet
`  U ) )
9 metxmet 17847 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( Met `  ( BaseSet
`  U ) )  ->  C  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  U ) ) )
108, 9ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  C  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  U ) )
11 blocni.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
1211mopntopon 17933 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( * Met `  ( BaseSet `  U )
)  ->  J  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  U
) ) )
1310, 12ax-mp 10 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  U
) )
1413toponunii 16618 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  U )  =  U. J
1514cncnpi 16955 . . . 4  |-  ( ( T  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( 0vec `  U )  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  ( 0vec `  U ) ) )
165, 15mpan2 655 . . 3  |-  ( T  e.  ( J  Cn  K )  ->  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  ( 0vec `  U ) ) )
17 blocni.d . . . 4  |-  D  =  ( IndMet `  W )
18 blocni.k . . . 4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
19 blocni.4 . . . 4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
20 blocni.5 . . . 4  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
21 blocni.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
22 blocni.l . . . 4  |-  T  e.  L
236, 17, 11, 18, 19, 20, 1, 21, 22, 2blocnilem 21328 . . 3  |-  ( ( ( 0vec `  U
)  e.  ( BaseSet `  U )  /\  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  ( 0vec `  U ) ) )  ->  T  e.  B
)
245, 16, 23sylancr 647 . 2  |-  ( T  e.  ( J  Cn  K )  ->  T  e.  B )
25 eleq1 2316 . . 3  |-  ( T  =  ( U  0op  W )  ->  ( T  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( U  0op  W )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
26 simprr 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  RR+ )
27 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
28 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U
normOp OLD W )  =  ( U normOp OLD W
)
292, 27, 28, 20nmblore 21310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  (
( U normOp OLD W
) `  T )  e.  RR )
301, 21, 29mp3an12 1272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  B  ->  (
( U normOp OLD W
) `  T )  e.  RR )
31 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  0op  W )  =  ( U  0op  W
)
3228, 31, 19nmlnogt0 21321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  ( T  =/=  ( U  0op  W )  <->  0  <  (
( U normOp OLD W
) `  T )
) )
331, 21, 22, 32mp3an 1282 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  =/=  ( U  0op  W )  <->  0  <  (
( U normOp OLD W
) `  T )
)
3433biimpi 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  =/=  ( U  0op  W )  ->  0  <  ( ( U normOp OLD W
) `  T )
)
3530, 34anim12i 551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  ->  (
( ( U normOp OLD W ) `  T
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( U
normOp OLD W ) `  T ) ) )
36 elrp 10309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U normOp OLD W
) `  T )  e.  RR+  <->  ( ( ( U normOp OLD W ) `  T )  e.  RR  /\  0  <  ( ( U normOp OLD W ) `  T ) ) )
3735, 36sylibr 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  ->  (
( U normOp OLD W
) `  T )  e.  RR+ )
3837adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  T )  e.  RR+ )
3926, 38rpdivcld 10360 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  ( y  /  ( ( U
normOp OLD W ) `  T ) )  e.  RR+ )
40 simprl 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  x  e.  ( BaseSet `  U )
)
41 metcl 17845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U )
)  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x C w )  e.  RR )
428, 41mp3an1 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( x C w )  e.  RR )
4340, 42sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( x C w )  e.  RR )
44 simplrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
y  e.  RR+ )
4544rpred 10343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
y  e.  RR )
4635ad2antrr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( ( U
normOp OLD W ) `  T )  e.  RR  /\  0  <  ( ( U normOp OLD W ) `  T ) ) )
47 ltmuldiv2 9581 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x C w )  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  (
( ( U normOp OLD W ) `  T
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( U
normOp OLD W ) `  T ) ) )  ->  ( ( ( ( U normOp OLD W
) `  T )  x.  ( x C w ) )  <  y  <->  ( x C w )  <  ( y  / 
( ( U normOp OLD W ) `  T
) ) ) )
4843, 45, 46, 47syl3anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( ( ( U normOp OLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  <  y  <->  ( x C w )  < 
( y  /  (
( U normOp OLD W
) `  T )
) ) )
49 id 21 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  B  /\  x  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( T  e.  B  /\  x  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )
5049ad2ant2r 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  ( T  e.  B  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )
) )
512, 27, 6, 17, 28, 20, 1, 21blometi 21327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  B  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <_ 
( ( ( U
normOp OLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) ) )
52513expa 1156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  x  e.  ( BaseSet
`  U ) )  /\  w  e.  (
BaseSet `  U ) )  ->  ( ( T `
 x ) D ( T `  w
) )  <_  (
( ( U normOp OLD W ) `  T
)  x.  ( x C w ) ) )
5350, 52sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <_  ( (
( U normOp OLD W
) `  T )  x.  ( x C w ) ) )
542, 27, 19lnof 21279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  T : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
) )
551, 21, 22, 54mp3an 1282 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T :
( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )
5655ffvelrni 5584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( BaseSet `  U
)  ->  ( T `  x )  e.  (
BaseSet `  W ) )
5755ffvelrni 5584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( BaseSet `  U
)  ->  ( T `  w )  e.  (
BaseSet `  W ) )
5827, 17imsmet 21206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( Met `  ( BaseSet `  W ) ) )
5921, 58ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  e.  ( Met `  ( BaseSet
`  W ) )
60 metcl 17845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( Met `  ( BaseSet `  W )
)  /\  ( T `  x )  e.  (
BaseSet `  W )  /\  ( T `  w )  e.  ( BaseSet `  W
) )  ->  (
( T `  x
) D ( T `
 w ) )  e.  RR )
6159, 60mp3an1 1269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ( BaseSet `  W )  /\  ( T `  w )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  e.  RR )
6256, 57, 61syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  e.  RR )
6340, 62sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  e.  RR )
64 remulcl 8776 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( U normOp OLD W ) `  T
)  e.  RR  /\  ( x C w )  e.  RR )  ->  ( ( ( U normOp OLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  e.  RR )
6530, 42, 64syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  B  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  ->  ( ( ( U normOp OLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  e.  RR )
6665anassrs 632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  x  e.  ( BaseSet
`  U ) )  /\  w  e.  (
BaseSet `  U ) )  ->  ( ( ( U normOp OLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  e.  RR )
6766adantllr 702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )
)  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
( U normOp OLD W
) `  T )  x.  ( x C w ) )  e.  RR )
6867adantlrr 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( ( U
normOp OLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  e.  RR )
69 lelttr 8866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  e.  RR  /\  ( ( ( U
normOp OLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <_ 
( ( ( U
normOp OLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  /\  ( ( ( U normOp OLD W
) `  T )  x.  ( x C w ) )  <  y
)  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  < 
y ) )
7063, 68, 45, 69syl3anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <_ 
( ( ( U
normOp OLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  /\  ( ( ( U normOp OLD W
) `  T )  x.  ( x C w ) )  <  y
)  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  < 
y ) )
7153, 70mpand 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( ( ( U normOp OLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  <  y  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) )
7248, 71sylbird 228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( x C w )  <  (
y  /  ( ( U normOp OLD W ) `  T ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) )
7372ralrimiva 2599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C w )  <  (
y  /  ( ( U normOp OLD W ) `  T ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) )
74 breq2 3987 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( y  / 
( ( U normOp OLD W ) `  T
) )  ->  (
( x C w )  <  z  <->  ( x C w )  < 
( y  /  (
( U normOp OLD W
) `  T )
) ) )
7574imbi1d 310 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( y  / 
( ( U normOp OLD W ) `  T
) )  ->  (
( ( x C w )  <  z  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y )  <-> 
( ( x C w )  <  (
y  /  ( ( U normOp OLD W ) `  T ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) ) )
7675ralbidv 2536 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( y  / 
( ( U normOp OLD W ) `  T
) )  ->  ( A. w  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( x C w )  <  z  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y )  <->  A. w  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( x C w )  <  ( y  /  ( ( U
normOp OLD W ) `  T ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) ) )
7776rcla4ev 2852 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  /  (
( U normOp OLD W
) `  T )
)  e.  RR+  /\  A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( x C w )  <  ( y  / 
( ( U normOp OLD W ) `  T
) )  ->  (
( T `  x
) D ( T `
 w ) )  <  y ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( x C w )  <  z  ->  (
( T `  x
) D ( T `
 w ) )  <  y ) )
7839, 73, 77syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C w )  <  z  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) )
7978ralrimivva 2608 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  ->  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C w )  <  z  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) )
8079, 55jctil 525 . . . 4  |-  ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  ->  ( T : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C w )  <  z  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) ) )
81 metxmet 17847 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( Met `  ( BaseSet
`  W ) )  ->  D  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) ) )
8259, 81ax-mp 10 . . . . 5  |-  D  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) )
8311, 18metcn 18037 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  ( BaseSet `  U ) )  /\  D  e.  ( * Met `  ( BaseSet `  W
) ) )  -> 
( T  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( T : (
BaseSet `  U ) --> (
BaseSet `  W )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  (
BaseSet `  U ) ( ( x C w )  <  z  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) ) ) )
8410, 82, 83mp2an 656 . . . 4  |-  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( T : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C w )  <  z  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) ) )
8580, 84sylibr 205 . . 3  |-  ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  ->  T  e.  ( J  Cn  K
) )
86 eqid 2256 . . . . . . 7  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
872, 86, 310ofval 21311 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( U  0op  W )  =  ( ( BaseSet `  U
)  X.  { (
0vec `  W ) } ) )
881, 21, 87mp2an 656 . . . . 5  |-  ( U  0op  W )  =  ( ( BaseSet `  U
)  X.  { (
0vec `  W ) } )
8918mopntopon 17933 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( * Met `  ( BaseSet `  W )
)  ->  K  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W
) ) )
9082, 89ax-mp 10 . . . . . 6  |-  K  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W
) )
9127, 86nvzcl 21138 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  W
)  e.  ( BaseSet `  W ) )
9221, 91ax-mp 10 . . . . . 6  |-  ( 0vec `  W )  e.  (
BaseSet `  W )
93 cnconst2 16959 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  U )
)  /\  K  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W
) )  /\  ( 0vec `  W )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( BaseSet
`  U )  X. 
{ ( 0vec `  W
) } )  e.  ( J  Cn  K
) )
9413, 90, 92, 93mp3an 1282 . . . . 5  |-  ( (
BaseSet `  U )  X. 
{ ( 0vec `  W
) } )  e.  ( J  Cn  K
)
9588, 94eqeltri 2326 . . . 4  |-  ( U  0op  W )  e.  ( J  Cn  K
)
9695a1i 12 . . 3  |-  ( T  e.  B  ->  ( U  0op  W )  e.  ( J  Cn  K
) )
9725, 85, 96pm2.61ne 2494 . 2  |-  ( T  e.  B  ->  T  e.  ( J  Cn  K
) )
9824, 97impbii 182 1  |-  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  T  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   A.wral 2516   E.wrex 2517   {csn 3600   class class class wbr 3983    X. cxp 4645   -->wf 4655   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   RRcr 8690   0cc0 8691    x. cmul 8696    < clt 8821    <_ cle 8822    / cdiv 9377   RR+crp 10307   * Metcxmt 16317   Metcme 16318   MetOpencmopn 16320  TopOnctopon 16580    Cn ccn 16902    CnP ccnp 16903   NrmCVeccnv 21086   BaseSetcba 21088   0veccn0v 21090   IndMetcims 21093    LnOp clno 21264   normOp OLDcnmoo 21265    BLnOp cblo 21266    0op c0o 21267
This theorem is referenced by:  lnocni  21330  blocn  21331
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769  ax-addf 8770  ax-mulf 8771
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-er 6614  df-map 6728  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-sup 7148  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-n0 9919  df-z 9978  df-uz 10184  df-q 10270  df-rp 10308  df-xneg 10405  df-xadd 10406  df-xmul 10407  df-seq 10999  df-exp 11057  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-topgen 13292  df-xmet 16321  df-met 16322  df-bl 16323  df-mopn 16324  df-top 16584  df-bases 16586  df-topon 16587  df-cn 16905  df-cnp 16906  df-grpo 20804  df-gid 20805  df-ginv 20806  df-gdiv 20807  df-ablo 20895  df-vc 21048  df-nv 21094  df-va 21097  df-ba 21098  df-sm 21099  df-0v 21100  df-vs 21101  df-nmcv 21102  df-ims 21103  df-lno 21268  df-nmoo 21269  df-blo 21270  df-0o 21271
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