Theorem bloln 8440

Description: A bounded operator is a linear operator.

Hypotheses

Ref	Expression
bloln.4	|- L = (U LnOp W)
bloln.5	|- B = (U BLnOp W)

Assertion

Ref	Expression
bloln	|- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. B) -> T e. L)

Proof of Theorem bloln

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1478	. . . 4 |- (UnormOpW) = (UnormOpW)
2		bloln.4	. . . 4 |- L = (U LnOp W)
3		bloln.5	. . . 4 |- B = (U BLnOp W)
4	1, 2, 3	isblo 8438	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (T e. B <-> (T e. L /\ ((UnormOpW)` T) < +oo)))
5	4	pm3.26bda 422	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ T e. B) -> T e. L)
6	5	3impa 830	1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. B) -> T e. L)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969   +oocpnf 5495   < clt 5498  NrmCVeccnv 8199   LnOp clno 8397  normOpcnmo 8398   BLnOp cblo 8399

This theorem is referenced by:  blof 8441  nmblolbii 8455  isblo3i 8457  blometi 8459  blocn2 8464  ubthlem9 8533  ubthlem11 8535  ubthlem13 8537

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-blo 8403

Copyright terms: Public domain