Theorem blometi 8463

Description: Upper bound for the distance between the values of a bounded linear operator.

Hypotheses

Ref	Expression
blometi.1	|- X = (Base` U)
blometi.2	|- Y = (Base` W)
blometi.8	|- C = (IndMet` U)
blometi.d	|- D = (IndMet` W)
blometi.6	|- N = (UnormOpW)
blometi.7	|- B = (U BLnOp W)
blometi.u	|- U e. NrmCVec
blometi.w	|- W e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
blometi	|- ((T e. B /\ P e. X /\ Q e. X) -> ((T` P)D(T` Q)) <_ ((N` T) x. (PCQ)))

Proof of Theorem blometi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blometi.1	. . . . 5 |- X = (Base` U)
2		eqid 1475	. . . . 5 |- (norm` U) = (norm` U)
3		eqid 1475	. . . . 5 |- (norm` W) = (norm` W)
4		blometi.6	. . . . 5 |- N = (UnormOpW)
5		blometi.7	. . . . 5 |- B = (U BLnOp W)
6		blometi.u	. . . . 5 |- U e. NrmCVec
7		blometi.w	. . . . 5 |- W e. NrmCVec
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	nmblolbi 8460	. . . 4 |- ((T e. B /\ (P(-v` U)Q) e. X) -> ((norm` W)` (T` (P(-v` U)Q))) <_ ((N` T) x. ((norm` U)` (P(-v` U)Q))))
9		eqid 1475	. . . . . 6 |- (-v` U) = (-v` U)
10	1, 9	nvmcl 8267	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ P e. X /\ Q e. X) -> (P(-v` U)Q) e. X)
11	6, 10	mp3an1 903	. . . 4 |- ((P e. X /\ Q e. X) -> (P(-v` U)Q) e. X)
12	8, 11	sylan2 451	. . 3 |- ((T e. B /\ (P e. X /\ Q e. X)) -> ((norm` W)` (T` (P(-v` U)Q))) <_ ((N` T) x. ((norm` U)` (P(-v` U)Q))))
13	12	3impb 829	. 2 |- ((T e. B /\ P e. X /\ Q e. X) -> ((norm` W)` (T` (P(-v` U)Q))) <_ ((N` T) x. ((norm` U)` (P(-v` U)Q))))
14		blometi.2	. . . . . 6 |- Y = (Base` W)
15		eqid 1475	. . . . . 6 |- (-v` W) = (-v` W)
16		blometi.d	. . . . . 6 |- D = (IndMet` W)
17	14, 15, 3, 16	imsdval 8317	. . . . 5 |- ((W e. NrmCVec /\ (T` P) e. Y /\ (T` Q) e. Y) -> ((T` P)D(T` Q)) = ((norm` W)` ((T` P)(-v` W)(T` Q))))
18	7, 17	mp3an1 903	. . . 4 |- (((T` P) e. Y /\ (T` Q) e. Y) -> ((T` P)D(T` Q)) = ((norm` W)` ((T` P)(-v` W)(T` Q))))
19		ffvelrn 3814	. . . . . 6 |- ((T:X-->Y /\ P e. X) -> (T` P) e. Y)
20	1, 14, 5	blof 8445	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. B) -> T:X-->Y)
21	6, 7, 20	mp3an12 906	. . . . . 6 |- (T e. B -> T:X-->Y)
22	19, 21	sylan 448	. . . . 5 |- ((T e. B /\ P e. X) -> (T` P) e. Y)
23	22	3adant3 799	. . . 4 |- ((T e. B /\ P e. X /\ Q e. X) -> (T` P) e. Y)
24		ffvelrn 3814	. . . . . 6 |- ((T:X-->Y /\ Q e. X) -> (T` Q) e. Y)
25	24, 21	sylan 448	. . . . 5 |- ((T e. B /\ Q e. X) -> (T` Q) e. Y)
26	25	3adant2 798	. . . 4 |- ((T e. B /\ P e. X /\ Q e. X) -> (T` Q) e. Y)
27	18, 23, 26	sylanc 471	. . 3 |- ((T e. B /\ P e. X /\ Q e. X) -> ((T` P)D(T` Q)) = ((norm` W)` ((T` P)(-v` W)(T` Q))))
28		eqid 1475	. . . . . . . . 9 |- (U LnOp W) = (U LnOp W)
29	1, 9, 15, 28	lnosub 8420	. . . . . . . 8 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. (U LnOp W)) /\ (P e. X /\ Q e. X)) -> (T` (P(-v` U)Q)) = ((T` P)(-v` W)(T` Q)))
30	6, 29	mp3anl1 910	. . . . . . 7 |- (((W e. NrmCVec /\ T e. (U LnOp W)) /\ (P e. X /\ Q e. X)) -> (T` (P(-v` U)Q)) = ((T` P)(-v` W)(T` Q)))
31	7, 30	mpanl1 706	. . . . . 6 |- ((T e. (U LnOp W) /\ (P e. X /\ Q e. X)) -> (T` (P(-v` U)Q)) = ((T` P)(-v` W)(T` Q)))
32	31	3impb 829	. . . . 5 |- ((T e. (U LnOp W) /\ P e. X /\ Q e. X) -> (T` (P(-v` U)Q)) = ((T` P)(-v` W)(T` Q)))
33	28, 5	bloln 8444	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. B) -> T e. (U LnOp W))
34	6, 7, 33	mp3an12 906	. . . . 5 |- (T e. B -> T e. (U LnOp W))
35	32, 34	syl3an1 859	. . . 4 |- ((T e. B /\ P e. X /\ Q e. X) -> (T` (P(-v` U)Q)) = ((T` P)(-v` W)(T` Q)))
36	35	fveq2d 3728	. . 3 |- ((T e. B /\ P e. X /\ Q e. X) -> ((norm` W)` (T` (P(-v` U)Q))) = ((norm` W)` ((T` P)(-v` W)(T` Q))))
37	27, 36	eqtr4d 1510	. 2 |- ((T e. B /\ P e. X /\ Q e. X) -> ((T` P)D(T` Q)) = ((norm` W)` (T` (P(-v` U)Q))))
38		blometi.8	. . . . . 6 |- C = (IndMet` U)
39	1, 9, 2, 38	imsdval 8317	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ P e. X /\ Q e. X) -> (PCQ) = ((norm` U)` (P(-v` U)Q)))
40	6, 39	mp3an1 903	. . . 4 |- ((P e. X /\ Q e. X) -> (PCQ) = ((norm` U)` (P(-v` U)Q)))
41	40	3adant1 797	. . 3 |- ((T e. B /\ P e. X /\ Q e. X) -> (PCQ) = ((norm` U)` (P(-v` U)Q)))
42	41	opreq2d 3976	. 2 |- ((T e. B /\ P e. X /\ Q e. X) -> ((N` T) x. (PCQ)) = ((N` T) x. ((norm` U)` (P(-v` U)Q))))
43	13, 37, 42	3brtr4d 2645	1 |- ((T e. B /\ P e. X /\ Q e. X) -> ((T` P)D(T` Q)) <_ ((N` T) x. (PCQ)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963   x. cmul 5239   <_ cle 5295  NrmCVeccnv 8203  Basecba 8205  -vcnsb 8208  normcnm 8209  IndMetcims 8210   LnOp clno 8401  normOpcnmo 8402   BLnOp cblo 8403

This theorem is referenced by:  blocni 8465

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-2 5970  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-vs 8218  df-nm 8219  df-ims 8220  df-lno 8405  df-nmo 8406  df-blo 8407  df-0o 8408

Copyright terms: Public domain