Theorem blrn 7822

Description: Membership in the range of the ball function. Note that ran ( ball ` D) is the collection of all balls for metric D.

Hypothesis

Ref	Expression
blval.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
blrn	|- (D e. Met -> (B e. ran ( ball ` D) <-> E.x e. X E.y e. {w e. RR | 0 < w}B = {z e. X | (xDz) < y}))

Distinct variable groups:   x,y,B   x,w,y,z,D   w,X,x,y,z

Proof of Theorem blrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blval.1	. . . . 5 |- X = dom dom D
2	1	blfval2 7817	. . . 4 |- (D e. Met -> ( ball ` D) = {<.<.x, y>., v>. | ((x e. X /\ y e. {w e. RR | 0 < w}) /\ v = {z e. X | (xDz) < y})})
3	2	rneqd 3338	. . 3 |- (D e. Met -> ran ( ball ` D) = ran {<.<.x, y>., v>. | ((x e. X /\ y e. {w e. RR | 0 < w}) /\ v = {z e. X | (xDz) < y})})
4	3	eleq2d 1540	. 2 |- (D e. Met -> (B e. ran ( ball ` D) <-> B e. ran {<.<.x, y>., v>. | ((x e. X /\ y e. {w e. RR | 0 < w}) /\ v = {z e. X | (xDz) < y})}))
5		dmexg 3355	. . . . . . . 8 |- (D e. Met -> dom D e. V)
6		dmexg 3355	. . . . . . . 8 |- (dom D e. V -> dom dom D e. V)
7	5, 6	syl 10	. . . . . . 7 |- (D e. Met -> dom dom D e. V)
8	7, 1	syl5eqel 1551	. . . . . 6 |- (D e. Met -> X e. V)
9		rabexg 2721	. . . . . 6 |- (X e. V -> {z e. X | (xDz) < y} e. V)
10	8, 9	syl 10	. . . . 5 |- (D e. Met -> {z e. X | (xDz) < y} e. V)
11	10	a1d 12	. . . 4 |- (D e. Met -> ((x e. X /\ y e. {w e. RR | 0 < w}) -> {z e. X | (xDz) < y} e. V))
12	11	r19.21aivv 1719	. . 3 |- (D e. Met -> A.x e. X A.y e. {w e. RR | 0 < w}{z e. X | (xDz) < y} e. V)
13		eqid 1475	. . . 4 |- {<.<.x, y>., v>. | ((x e. X /\ y e. {w e. RR | 0 < w}) /\ v = {z e. X | (xDz) < y})} = {<.<.x, y>., v>. | ((x e. X /\ y e. {w e. RR | 0 < w}) /\ v = {z e. X | (xDz) < y})}
14	13	elrnoprabg 4121	. . 3 |- (A.x e. X A.y e. {w e. RR | 0 < w}{z e. X | (xDz) < y} e. V -> (B e. ran {<.<.x, y>., v>. | ((x e. X /\ y e. {w e. RR | 0 < w}) /\ v = {z e. X | (xDz) < y})} <-> E.x e. X E.y e. {w e. RR | 0 < w}B = {z e. X | (xDz) < y}))
15	12, 14	syl 10	. 2 |- (D e. Met -> (B e. ran {<.<.x, y>., v>. | ((x e. X /\ y e. {w e. RR | 0 < w}) /\ v = {z e. X | (xDz) < y})} <-> E.x e. X E.y e. {w e. RR | 0 < w}B = {z e. X | (xDz) < y}))
16	4, 15	bitrd 527	1 |- (D e. Met -> (B e. ran ( ball ` D) <-> E.x e. X E.y e. {w e. RR | 0 < w}B = {z e. X | (xDz) < y}))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1644  E.wrex 1645  {crab 1647  Vcvv 1809   class class class wbr 2616  dom cdm 3167  ran crn 3168  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  {copab2 3961  RRcr 5220  0cc0 5221   < clt 5473  Metcme 7768   ball cbl 7770

This theorem is referenced by:  blrn2 7824

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-enr 5153  df-nr 5154  df-0r 5158  df-c 5227  df-r 5231  df-bl 7774

Copyright terms: Public domain