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Theorem bm1.1 2269
Description: Any set defined by a property is the only set defined by that property. Theorem 1.1 of [BellMachover] p. 462. (Contributed by NM, 30-Jun-1994.)
Hypothesis
Ref Expression
bm1.1.1  |-  F/ x ph
Assertion
Ref Expression
bm1.1  |-  ( E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  ->  E! x A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )
Distinct variable group:    x, y
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem bm1.1
StepHypRef Expression
1 nfv 1606 . . . . . . . 8  |-  F/ x  y  e.  z
2 bm1.1.1 . . . . . . . 8  |-  F/ x ph
31, 2nfbi 1773 . . . . . . 7  |-  F/ x
( y  e.  z  <->  ph )
43nfal 1767 . . . . . 6  |-  F/ x A. y ( y  e.  z  <->  ph )
5 elequ2 1690 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  z ) )
65bibi1d 312 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  e.  x  <->  ph )  <->  ( y  e.  z  <->  ph ) ) )
76albidv 1612 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  <->  A. y
( y  e.  z  <->  ph ) ) )
84, 7sbie 1983 . . . . 5  |-  ( [ z  /  x ] A. y ( y  e.  x  <->  ph )  <->  A. y
( y  e.  z  <->  ph ) )
9 19.26 1581 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( y  e.  x  <->  ph )  /\  ( y  e.  z  <->  ph ) )  <->  ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  A. y ( y  e.  z  <->  ph ) ) )
10 biantr 899 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  x  <->  ph )  /\  ( y  e.  z  <->  ph ) )  ->  ( y  e.  x  <->  y  e.  z ) )
1110alimi 1547 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( y  e.  x  <->  ph )  /\  ( y  e.  z  <->  ph ) )  ->  A. y
( y  e.  x  <->  y  e.  z ) )
12 ax-ext 2265 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( y  e.  x  <->  y  e.  z )  ->  x  =  z )
1311, 12syl 17 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( y  e.  x  <->  ph )  /\  ( y  e.  z  <->  ph ) )  ->  x  =  z )
149, 13sylbir 206 . . . . 5  |-  ( ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  A. y ( y  e.  z  <->  ph ) )  ->  x  =  z )
158, 14sylan2b 463 . . . 4  |-  ( ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  [ z  /  x ] A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )  ->  x  =  z )
1615gen2 1535 . . 3  |-  A. x A. z ( ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  [
z  /  x ] A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )  ->  x  =  z )
1716jctr 528 . 2  |-  ( E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  -> 
( E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  A. x A. z ( ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  [ z  /  x ] A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )  ->  x  =  z )
) )
18 nfv 1606 . . 3  |-  F/ z A. y ( y  e.  x  <->  ph )
1918eu2 2169 . 2  |-  ( E! x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  <->  ( E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  A. x A. z ( ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  [ z  /  x ] A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )  ->  x  =  z )
) )
2017, 19sylibr 205 1  |-  ( E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  ->  E! x A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1528   E.wex 1529   F/wnf 1532    = wceq 1624   [wsb 1631    e. wcel 1685   E!weu 2144
This theorem is referenced by:  zfnuleu  4147
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148
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