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Theorem bm1.1 2268
Description: Any set defined by a property is the only set defined by that property. Theorem 1.1 of [BellMachover] p. 462. (Contributed by NM, 30-Jun-1994.)
Hypothesis
Ref Expression
bm1.1.1  |-  F/ x ph
Assertion
Ref Expression
bm1.1  |-  ( E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  ->  E! x A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem bm1.1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ x  y  e.  z
2 bm1.1.1 . . . . . . . 8  |-  F/ x ph
31, 2nfbi 1772 . . . . . . 7  |-  F/ x
( y  e.  z  <->  ph )
43nfal 1766 . . . . . 6  |-  F/ x A. y ( y  e.  z  <->  ph )
5 elequ2 1689 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  z ) )
65bibi1d 310 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  e.  x  <->  ph )  <->  ( y  e.  z  <->  ph ) ) )
76albidv 1611 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  <->  A. y
( y  e.  z  <->  ph ) ) )
84, 7sbie 1978 . . . . 5  |-  ( [ z  /  x ] A. y ( y  e.  x  <->  ph )  <->  A. y
( y  e.  z  <->  ph ) )
9 19.26 1580 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( y  e.  x  <->  ph )  /\  ( y  e.  z  <->  ph ) )  <->  ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  A. y ( y  e.  z  <->  ph ) ) )
10 biantr 897 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  x  <->  ph )  /\  ( y  e.  z  <->  ph ) )  ->  ( y  e.  x  <->  y  e.  z ) )
1110alimi 1546 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( y  e.  x  <->  ph )  /\  ( y  e.  z  <->  ph ) )  ->  A. y
( y  e.  x  <->  y  e.  z ) )
12 ax-ext 2264 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( y  e.  x  <->  y  e.  z )  ->  x  =  z )
1311, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( y  e.  x  <->  ph )  /\  ( y  e.  z  <->  ph ) )  ->  x  =  z )
149, 13sylbir 204 . . . . 5  |-  ( ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  A. y ( y  e.  z  <->  ph ) )  ->  x  =  z )
158, 14sylan2b 461 . . . 4  |-  ( ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  [ z  /  x ] A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )  ->  x  =  z )
1615gen2 1534 . . 3  |-  A. x A. z ( ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  [
z  /  x ] A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )  ->  x  =  z )
1716jctr 526 . 2  |-  ( E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  -> 
( E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  A. x A. z ( ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  [ z  /  x ] A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )  ->  x  =  z )
) )
18 nfv 1605 . . 3  |-  F/ z A. y ( y  e.  x  <->  ph )
1918eu2 2168 . 2  |-  ( E! x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  <->  ( E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  A. x A. z ( ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  [ z  /  x ] A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )  ->  x  =  z )
) )
2017, 19sylibr 203 1  |-  ( E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  ->  E! x A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528   F/wnf 1531    = wceq 1623   [wsb 1629    e. wcel 1684   E!weu 2143
This theorem is referenced by:  zfnuleu  4146
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147
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