MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bm2.5ii Unicode version

Theorem bm2.5ii 4569
Description: Problem 2.5(ii) of [BellMachover] p. 471. (Contributed by NM, 20-Sep-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
bm2.5ii.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
bm2.5ii  |-  ( A 
C_  On  ->  U. A  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  y  C_  x } )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem bm2.5ii
StepHypRef Expression
1 bm2.5ii.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
21ssonunii 4551 . 2  |-  ( A 
C_  On  ->  U. A  e.  On )
3 unissb 3831 . . . . . 6  |-  ( U. A  C_  x  <->  A. y  e.  A  y  C_  x )
43a1i 12 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  ( U. A  C_  x  <->  A. y  e.  A  y  C_  x ) )
54rabbiia 2753 . . . 4  |-  { x  e.  On  |  U. A  C_  x }  =  {
x  e.  On  |  A. y  e.  A  y  C_  x }
65inteqi 3840 . . 3  |-  |^| { x  e.  On  |  U. A  C_  x }  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  y  C_  x }
7 intmin 3856 . . 3  |-  ( U. A  e.  On  ->  |^|
{ x  e.  On  |  U. A  C_  x }  =  U. A )
86, 7syl5reqr 2305 . 2  |-  ( U. A  e.  On  ->  U. A  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  y  C_  x } )
92, 8syl 17 1  |-  ( A 
C_  On  ->  U. A  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  y  C_  x } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   {crab 2522   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   U.cuni 3801   |^|cint 3836   Oncon0 4364
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-br 3998  df-opab 4052  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368
  Copyright terms: Public domain W3C validator