MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bm2.5ii Unicode version

Theorem bm2.5ii 4745
Description: Problem 2.5(ii) of [BellMachover] p. 471. (Contributed by NM, 20-Sep-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
bm2.5ii.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
bm2.5ii  |-  ( A 
C_  On  ->  U. A  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  y  C_  x } )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem bm2.5ii
StepHypRef Expression
1 bm2.5ii.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
21ssonunii 4727 . 2  |-  ( A 
C_  On  ->  U. A  e.  On )
3 unissb 4005 . . . . . 6  |-  ( U. A  C_  x  <->  A. y  e.  A  y  C_  x )
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  ( U. A  C_  x  <->  A. y  e.  A  y  C_  x ) )
54rabbiia 2906 . . . 4  |-  { x  e.  On  |  U. A  C_  x }  =  {
x  e.  On  |  A. y  e.  A  y  C_  x }
65inteqi 4014 . . 3  |-  |^| { x  e.  On  |  U. A  C_  x }  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  y  C_  x }
7 intmin 4030 . . 3  |-  ( U. A  e.  On  ->  |^|
{ x  e.  On  |  U. A  C_  x }  =  U. A )
86, 7syl5reqr 2451 . 2  |-  ( U. A  e.  On  ->  U. A  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  y  C_  x } )
92, 8syl 16 1  |-  ( A 
C_  On  ->  U. A  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  y  C_  x } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   U.cuni 3975   |^|cint 4010   Oncon0 4541
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-br 4173  df-opab 4227  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545
  Copyright terms: Public domain W3C validator