Theorem bnd2 4707

Description: A variant of the Boundedness Axiom bnd 4706 that picks a subset z out of a possibly proper class B in which a property is true.

Hypothesis

Ref	Expression
bnd2.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
bnd2	|- (A.x e. A E.y e. B ph -> E.z(z (_ B /\ A.x e. A E.y e. z ph))

Distinct variable groups:   ph,z   x,z,A   x,y,B,z

Proof of Theorem bnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 1648	. . . 4 |- (E.y e. B ph <-> E.y(y e. B /\ ph))
2	1	ralbii 1665	. . 3 |- (A.x e. A E.y e. B ph <-> A.x e. A E.y(y e. B /\ ph))
3		bnd2.1	. . . 4 |- A e. V
4		raleq1 1784	. . . . 5 |- (v = A -> (A.x e. v E.y(y e. B /\ ph) <-> A.x e. A E.y(y e. B /\ ph)))
5		raleq1 1784	. . . . . 6 |- (v = A -> (A.x e. v E.y e. w (y e. B /\ ph) <-> A.x e. A E.y e. w (y e. B /\ ph)))
6	5	exbidv 1278	. . . . 5 |- (v = A -> (E.wA.x e. v E.y e. w (y e. B /\ ph) <-> E.wA.x e. A E.y e. w (y e. B /\ ph)))
7	4, 6	imbi12d 625	. . . 4 |- (v = A -> ((A.x e. v E.y(y e. B /\ ph) -> E.wA.x e. v E.y e. w (y e. B /\ ph)) <-> (A.x e. A E.y(y e. B /\ ph) -> E.wA.x e. A E.y e. w (y e. B /\ ph))))
8		bnd 4706	. . . 4 |- (A.x e. v E.y(y e. B /\ ph) -> E.wA.x e. v E.y e. w (y e. B /\ ph))
9	3, 7, 8	vtocl 1839	. . 3 |- (A.x e. A E.y(y e. B /\ ph) -> E.wA.x e. A E.y e. w (y e. B /\ ph))
10	2, 9	sylbi 199	. 2 |- (A.x e. A E.y e. B ph -> E.wA.x e. A E.y e. w (y e. B /\ ph))
11		visset 1810	. . . . 5 |- w e. V
12	11	inex1 2712	. . . 4 |- (w i^i B) e. V
13		inss2 2228	. . . . . . 7 |- (w i^i B) (_ B
14		sseq1 2079	. . . . . . 7 |- (z = (w i^i B) -> (z (_ B <-> (w i^i B) (_ B))
15	13, 14	mpbiri 194	. . . . . 6 |- (z = (w i^i B) -> z (_ B)
16	15	biantrurd 726	. . . . 5 |- (z = (w i^i B) -> (A.x e. A E.y e. z ph <-> (z (_ B /\ A.x e. A E.y e. z ph)))
17		rexeq1 1785	. . . . . . 7 |- (z = (w i^i B) -> (E.y e. z ph <-> E.y e. (w i^i B)ph))
18		elin 2204	. . . . . . . . . 10 |- (y e. (w i^i B) <-> (y e. w /\ y e. B))
19	18	anbi1i 481	. . . . . . . . 9 |- ((y e. (w i^i B) /\ ph) <-> ((y e. w /\ y e. B) /\ ph))
20		anass 439	. . . . . . . . 9 |- (((y e. w /\ y e. B) /\ ph) <-> (y e. w /\ (y e. B /\ ph)))
21	19, 20	bitr 173	. . . . . . . 8 |- ((y e. (w i^i B) /\ ph) <-> (y e. w /\ (y e. B /\ ph)))
22	21	rexbii2 1670	. . . . . . 7 |- (E.y e. (w i^i B)ph <-> E.y e. w (y e. B /\ ph))
23	17, 22	syl6bb 535	. . . . . 6 |- (z = (w i^i B) -> (E.y e. z ph <-> E.y e. w (y e. B /\ ph)))
24	23	ralbidv 1661	. . . . 5 |- (z = (w i^i B) -> (A.x e. A E.y e. z ph <-> A.x e. A E.y e. w (y e. B /\ ph)))
25	16, 24	bitr3d 529	. . . 4 |- (z = (w i^i B) -> ((z (_ B /\ A.x e. A E.y e. z ph) <-> A.x e. A E.y e. w (y e. B /\ ph)))
26	12, 25	cla4ev 1866	. . 3 |- (A.x e. A E.y e. w (y e. B /\ ph) -> E.z(z (_ B /\ A.x e. A E.y e. z ph))
27	26	19.23aiv 1294	. 2 |- (E.wA.x e. A E.y e. w (y e. B /\ ph) -> E.z(z (_ B /\ A.x e. A E.y e. z ph))
28	10, 27	syl 10	1 |- (A.x e. A E.y e. B ph -> E.z(z (_ B /\ A.x e. A E.y e. z ph))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979  A.wral 1643  E.wrex 1644  Vcvv 1808   i^i cin 2043   (_ wss 2044

This theorem is referenced by:  ac6s 4739

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-reg 4576  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-iin 2565  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-r1 4626  df-rank 4627

Copyright terms: Public domain