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Theorem bnj1204 29042
Description: Well-founded induction. The proof has been taken from Chapter 4 of Don Monk's notes on Set Theory. See http://euclid.colorado.edu/~monkd/setth.pdf. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
bnj1204.1  |-  ( ps  <->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph ) )
Assertion
Ref Expression
bnj1204  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  A. x  e.  A  ph )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, R, y    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x, y)

Proof of Theorem bnj1204
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  ->  R  FrSe  A )
2 ssrab2 3258 . . . . . . 7  |-  { x  e.  A  |  -.  ph }  C_  A
32a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  ->  { x  e.  A  |  -.  ph }  C_  A )
4 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  ->  E. x  e.  A  -.  ph )
5 rabn0 3474 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  |  -.  ph }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  A  -.  ph )
64, 5sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  ->  { x  e.  A  |  -.  ph }  =/=  (/) )
7 nfrab1 2720 . . . . . . . 8  |-  F/_ x { x  e.  A  |  -.  ph }
87nfcrii 2412 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  ->  A. x  z  e. 
{ x  e.  A  |  -.  ph } )
98bnj1228 29041 . . . . . 6  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  { x  e.  A  |  -.  ph }  C_  A  /\  { x  e.  A  |  -.  ph }  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )
101, 3, 6, 9syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  ->  E. x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )
11 biid 227 . . . . 5  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  <->  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  /\  x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x ) )
12 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ x  R  FrSe  A
13 nfra1 2593 . . . . . . 7  |-  F/ x A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )
14 nfre1 2599 . . . . . . 7  |-  F/ x E. x  e.  A  -.  ph
1512, 13, 14nf3an 1774 . . . . . 6  |-  F/ x
( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )
1615nfri 1742 . . . . 5  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  ->  A. x
( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph ) )
1710, 11, 16bnj1521 28883 . . . 4  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  ->  E. x
( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x ) )
18 eqid 2283 . . . . . 6  |-  { x  e.  A  |  -.  ph }  =  { x  e.  A  |  -.  ph }
1918, 11bnj1212 28832 . . . . 5  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  x  e.  A )
20 nfra1 2593 . . . . . . . 8  |-  F/ y A. y  e.  {
x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x
21 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )
2221bnj1211 28830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  A. y
( y  e.  {
x  e.  A  |  -.  ph }  ->  -.  y R x ) )
23 con2b 324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  ->  -.  y R x )  <->  ( y R x  ->  -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } ) )
2423albii 1553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  ph }  ->  -.  y R x )  <->  A. y ( y R x  ->  -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } ) )
2522, 24sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  A. y
( y R x  ->  -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } ) )
26 simp2 956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  y R x )
27 sp 1716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y ( y R x  ->  -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } )  ->  ( y R x  ->  -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } ) )
2825, 26, 27sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } )
29 simp1 955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  y  e.  A )
30 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x A
3130elrabsf 3029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } 
<->  ( y  e.  A  /\  [. y  /  x ].  -.  ph ) )
32 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  y  e. 
_V
33 sbcng 3031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  _V  ->  ( [. y  /  x ].  -.  ph  <->  -.  [. y  /  x ]. ph ) )
3432, 33ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [. y  /  x ].  -.  ph  <->  -. 
[. y  /  x ]. ph )
3534anbi2i 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  A  /\  [. y  /  x ].  -.  ph )  <->  ( y  e.  A  /\  -.  [. y  /  x ]. ph )
)
3631, 35bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } 
<->  ( y  e.  A  /\  -.  [. y  /  x ]. ph ) )
3736notbii 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  <->  -.  ( y  e.  A  /\  -.  [. y  /  x ]. ph )
)
38 imnan 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  ->  -.  -.  [. y  /  x ]. ph )  <->  -.  (
y  e.  A  /\  -.  [. y  /  x ]. ph ) )
3937, 38bitr4i 243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  <->  ( y  e.  A  ->  -.  -.  [. y  /  x ]. ph )
)
4039biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  ->  ( y  e.  A  ->  -.  -.  [. y  /  x ]. ph ) )
4140imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  y  e.  {
x  e.  A  |  -.  ph }  /\  y  e.  A )  ->  -.  -.  [. y  /  x ]. ph )
42 notnot 282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. y  /  x ]. ph  <->  -.  -.  [. y  /  x ]. ph )
4341, 42sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  y  e.  {
x  e.  A  |  -.  ph }  /\  y  e.  A )  ->  [. y  /  x ]. ph )
4428, 29, 43syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  [. y  /  x ]. ph )
45443expa 1151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  y R x )  /\  A. y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  [. y  /  x ]. ph )
4645expcom 424 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x  ->  ( (
y  e.  A  /\  y R x )  ->  [. y  /  x ]. ph ) )
4746exp3a 425 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x  ->  ( y  e.  A  ->  ( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph )
) )
4820, 47ralrimi 2624 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x  ->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph )
)
49 bnj1204.1 . . . . . . 7  |-  ( ps  <->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph ) )
5048, 49sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x  ->  ps )
51503ad2ant3 978 . . . . 5  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  ps )
52 simp12 986 . . . . 5  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )
53 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  ps  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )
5453bnj1211 28830 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  ps  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  A. x
( x  e.  A  ->  ( ps  ->  ph )
) )
55 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  ps  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  x  e.  A )
56 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  ps  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  ps )
57 sp 1716 . . . . . 6  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  ( ps  ->  ph ) )  -> 
( x  e.  A  ->  ( ps  ->  ph )
) )
5854, 55, 56, 57syl3c 57 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  ps  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  ph )
5919, 51, 52, 58syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  ph )
60 rabid 2716 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } 
<->  ( x  e.  A  /\  -.  ph ) )
6160simprbi 450 . . . . 5  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  ->  -.  ph )
62613ad2ant2 977 . . . 4  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  -.  ph )
6317, 59, 62bnj1304 28852 . . 3  |-  -.  ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )
6463bnj1224 28834 . 2  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  -.  E. x  e.  A  -.  ph )
65 dfral2 2555 . 2  |-  ( A. x  e.  A  ph  <->  -.  E. x  e.  A  -.  ph )
6664, 65sylibr 203 1  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  A. x  e.  A  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788   [.wsbc 2991    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    FrSe w-bnj15 28717
This theorem is referenced by:  bnj1417  29071
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-bnj17 28712  df-bnj14 28714  df-bnj13 28716  df-bnj15 28718  df-bnj18 28720  df-bnj19 28722
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