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Theorem bnj1204 29443
Description: Well-founded induction. The proof has been taken from Chapter 4 of Don Monk's notes on Set Theory. See http://euclid.colorado.edu/~monkd/setth.pdf. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
bnj1204.1  |-  ( ps  <->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph ) )
Assertion
Ref Expression
bnj1204  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  A. x  e.  A  ph )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, R, y    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x, y)

Proof of Theorem bnj1204
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . . . . 6  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  ->  R  FrSe  A )
2 ssrab2 3430 . . . . . . 7  |-  { x  e.  A  |  -.  ph }  C_  A
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  ->  { x  e.  A  |  -.  ph }  C_  A )
4 simp3 960 . . . . . . 7  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  ->  E. x  e.  A  -.  ph )
5 rabn0 3649 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  |  -.  ph }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  A  -.  ph )
64, 5sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  ->  { x  e.  A  |  -.  ph }  =/=  (/) )
7 nfrab1 2890 . . . . . . . 8  |-  F/_ x { x  e.  A  |  -.  ph }
87nfcrii 2567 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  ->  A. x  z  e. 
{ x  e.  A  |  -.  ph } )
98bnj1228 29442 . . . . . 6  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  { x  e.  A  |  -.  ph }  C_  A  /\  { x  e.  A  |  -.  ph }  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )
101, 3, 6, 9syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  ->  E. x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )
11 biid 229 . . . . 5  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  <->  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  /\  x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x ) )
12 nfv 1630 . . . . . . 7  |-  F/ x  R  FrSe  A
13 nfra1 2758 . . . . . . 7  |-  F/ x A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )
14 nfre1 2764 . . . . . . 7  |-  F/ x E. x  e.  A  -.  ph
1512, 13, 14nf3an 1850 . . . . . 6  |-  F/ x
( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )
1615nfri 1779 . . . . 5  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  ->  A. x
( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph ) )
1710, 11, 16bnj1521 29284 . . . 4  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  ->  E. x
( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x ) )
18 eqid 2438 . . . . . 6  |-  { x  e.  A  |  -.  ph }  =  { x  e.  A  |  -.  ph }
1918, 11bnj1212 29233 . . . . 5  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  x  e.  A )
20 nfra1 2758 . . . . . . . 8  |-  F/ y A. y  e.  {
x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x
21 simp3 960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )
2221bnj1211 29231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  A. y
( y  e.  {
x  e.  A  |  -.  ph }  ->  -.  y R x ) )
23 con2b 326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  ->  -.  y R x )  <->  ( y R x  ->  -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } ) )
2423albii 1576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  ph }  ->  -.  y R x )  <->  A. y ( y R x  ->  -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } ) )
2522, 24sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  A. y
( y R x  ->  -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } ) )
26 simp2 959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  y R x )
27 sp 1764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y ( y R x  ->  -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } )  ->  ( y R x  ->  -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } ) )
2825, 26, 27sylc 59 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } )
29 simp1 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  y  e.  A )
30 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x A
3130elrabsf 3201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } 
<->  ( y  e.  A  /\  [. y  /  x ].  -.  ph ) )
32 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  y  e. 
_V
33 sbcng 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  _V  ->  ( [. y  /  x ].  -.  ph  <->  -.  [. y  /  x ]. ph ) )
3432, 33ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [. y  /  x ].  -.  ph  <->  -. 
[. y  /  x ]. ph )
3534anbi2i 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  A  /\  [. y  /  x ].  -.  ph )  <->  ( y  e.  A  /\  -.  [. y  /  x ]. ph )
)
3631, 35bitri 242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } 
<->  ( y  e.  A  /\  -.  [. y  /  x ]. ph ) )
3736notbii 289 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  <->  -.  ( y  e.  A  /\  -.  [. y  /  x ]. ph )
)
38 imnan 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  ->  -.  -.  [. y  /  x ]. ph )  <->  -.  (
y  e.  A  /\  -.  [. y  /  x ]. ph ) )
3937, 38bitr4i 245 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  <->  ( y  e.  A  ->  -.  -.  [. y  /  x ]. ph )
)
4039biimpi 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  ->  ( y  e.  A  ->  -.  -.  [. y  /  x ]. ph ) )
4140imp 420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  y  e.  {
x  e.  A  |  -.  ph }  /\  y  e.  A )  ->  -.  -.  [. y  /  x ]. ph )
4241notnotrd 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  y  e.  {
x  e.  A  |  -.  ph }  /\  y  e.  A )  ->  [. y  /  x ]. ph )
4328, 29, 42syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  [. y  /  x ]. ph )
44433expa 1154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  y R x )  /\  A. y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  [. y  /  x ]. ph )
4544expcom 426 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x  ->  ( (
y  e.  A  /\  y R x )  ->  [. y  /  x ]. ph ) )
4645exp3a 427 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x  ->  ( y  e.  A  ->  ( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph )
) )
4720, 46ralrimi 2789 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x  ->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph )
)
48 bnj1204.1 . . . . . . 7  |-  ( ps  <->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph ) )
4947, 48sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x  ->  ps )
50493ad2ant3 981 . . . . 5  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  ps )
51 simp12 989 . . . . 5  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )
52 simp3 960 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  ps  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )
5352bnj1211 29231 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  ps  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  A. x
( x  e.  A  ->  ( ps  ->  ph )
) )
54 simp1 958 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  ps  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  x  e.  A )
55 simp2 959 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  ps  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  ps )
56 sp 1764 . . . . . 6  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  ( ps  ->  ph ) )  -> 
( x  e.  A  ->  ( ps  ->  ph )
) )
5753, 54, 55, 56syl3c 60 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  ps  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  ph )
5819, 50, 51, 57syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  ph )
59 rabid 2886 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } 
<->  ( x  e.  A  /\  -.  ph ) )
6059simprbi 452 . . . . 5  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  ->  -.  ph )
61603ad2ant2 980 . . . 4  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  -.  ph )
6217, 58, 61bnj1304 29253 . . 3  |-  -.  ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )
6362bnj1224 29235 . 2  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  -.  E. x  e.  A  -.  ph )
64 dfral2 2719 . 2  |-  ( A. x  e.  A  ph  <->  -.  E. x  e.  A  -.  ph )
6563, 64sylibr 205 1  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  A. x  e.  A  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   A.wal 1550    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711   _Vcvv 2958   [.wsbc 3163    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4214    FrSe w-bnj15 29118
This theorem is referenced by:  bnj1417  29472
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-reg 7562  ax-inf2 7598
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-1o 6726  df-bnj17 29113  df-bnj14 29115  df-bnj13 29117  df-bnj15 29119  df-bnj18 29121  df-bnj19 29123
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