Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj601 Structured version   Unicode version

Theorem bnj601 29292
Description: Technical lemma for bnj852 29293. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj601.1  |-  ( ph  <->  ( f `  (/) )  = 
pred ( x ,  A ,  R ) )
bnj601.2  |-  ( ps  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
bnj601.3  |-  D  =  ( om  \  { (/)
} )
bnj601.4  |-  ( ch  <->  ( ( R  FrSe  A  /\  x  e.  A
)  ->  E! f
( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
) )
bnj601.5  |-  ( th  <->  A. m  e.  D  ( m  _E  n  ->  [. m  /  n ]. ch ) )
Assertion
Ref Expression
bnj601  |-  ( n  =/=  1o  ->  (
( n  e.  D  /\  th )  ->  ch ) )
Distinct variable groups:    A, f,
i, m, n, y    D, f, i    R, f, i, m, n, y   
x, f, m, n    ph, i, m    ps, m
Allowed substitution hints:    ph( x, y, f, n)    ps( x, y, f, i, n)    ch( x, y, f, i, m, n)    th( x, y, f, i, m, n)    A( x)    D( x, y, m, n)    R( x)

Proof of Theorem bnj601
Dummy variables  p  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj601.1 . 2  |-  ( ph  <->  ( f `  (/) )  = 
pred ( x ,  A ,  R ) )
2 bnj601.2 . 2  |-  ( ps  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
3 bnj601.3 . 2  |-  D  =  ( om  \  { (/)
} )
4 bnj601.4 . 2  |-  ( ch  <->  ( ( R  FrSe  A  /\  x  e.  A
)  ->  E! f
( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
) )
5 bnj601.5 . 2  |-  ( th  <->  A. m  e.  D  ( m  _E  n  ->  [. m  /  n ]. ch ) )
6 biid 229 . 2  |-  ( [. m  /  n ]. ph  <->  [. m  /  n ]. ph )
7 biid 229 . 2  |-  ( [. m  /  n ]. ps  <->  [. m  /  n ]. ps )
8 biid 229 . 2  |-  ( [. m  /  n ]. ch  <->  [. m  /  n ]. ch )
9 bnj602 29287 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  pred (
y ,  A ,  R )  =  pred ( z ,  A ,  R ) )
109cbviunv 4131 . . . . . 6  |-  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )  =  U_ z  e.  ( f `  p
)  pred ( z ,  A ,  R )
1110opeq2i 3989 . . . . 5  |-  <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p ) 
pred ( y ,  A ,  R )
>.  =  <. m , 
U_ z  e.  ( f `  p ) 
pred ( z ,  A ,  R )
>.
1211sneqi 3827 . . . 4  |-  { <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. }  =  { <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p
)  pred ( z ,  A ,  R )
>. }
1312uneq2i 3499 . . 3  |-  ( f  u.  { <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p ) 
pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  =  ( f  u.  { <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p
)  pred ( z ,  A ,  R )
>. } )
14 dfsbcq 3164 . . 3  |-  ( ( f  u.  { <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  =  ( f  u.  { <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p
)  pred ( z ,  A ,  R )
>. } )  ->  ( [. ( f  u.  { <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  /  f ]. ph  <->  [. ( f  u. 
{ <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p )  pred (
z ,  A ,  R ) >. } )  /  f ]. ph )
)
1513, 14ax-mp 8 . 2  |-  ( [. ( f  u.  { <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  /  f ]. ph  <->  [. ( f  u. 
{ <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p )  pred (
z ,  A ,  R ) >. } )  /  f ]. ph )
16 dfsbcq 3164 . . 3  |-  ( ( f  u.  { <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  =  ( f  u.  { <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p
)  pred ( z ,  A ,  R )
>. } )  ->  ( [. ( f  u.  { <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  /  f ]. ps  <->  [. ( f  u. 
{ <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p )  pred (
z ,  A ,  R ) >. } )  /  f ]. ps ) )
1713, 16ax-mp 8 . 2  |-  ( [. ( f  u.  { <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  /  f ]. ps  <->  [. ( f  u. 
{ <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p )  pred (
z ,  A ,  R ) >. } )  /  f ]. ps )
18 dfsbcq 3164 . . 3  |-  ( ( f  u.  { <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  =  ( f  u.  { <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p
)  pred ( z ,  A ,  R )
>. } )  ->  ( [. ( f  u.  { <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  /  f ]. ch  <->  [. ( f  u. 
{ <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p )  pred (
z ,  A ,  R ) >. } )  /  f ]. ch ) )
1913, 18ax-mp 8 . 2  |-  ( [. ( f  u.  { <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  /  f ]. ch  <->  [. ( f  u. 
{ <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p )  pred (
z ,  A ,  R ) >. } )  /  f ]. ch )
2013eqcomi 2441 . 2  |-  ( f  u.  { <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p ) 
pred ( z ,  A ,  R )
>. } )  =  ( f  u.  { <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )
21 biid 229 . 2  |-  ( ( f  Fn  m  /\  [. m  /  n ]. ph 
/\  [. m  /  n ]. ps )  <->  ( f  Fn  m  /\  [. m  /  n ]. ph  /\  [. m  /  n ]. ps ) )
22 biid 229 . 2  |-  ( ( m  e.  D  /\  n  =  suc  m  /\  p  e.  m )  <->  ( m  e.  D  /\  n  =  suc  m  /\  p  e.  m )
)
23 biid 229 . 2  |-  ( ( m  e.  D  /\  n  =  suc  m  /\  p  e.  om  /\  m  =  suc  p )  <->  ( m  e.  D  /\  n  =  suc  m  /\  p  e.  om  /\  m  =  suc  p ) )
24 biid 229 . 2  |-  ( ( i  e.  om  /\  suc  i  e.  n  /\  m  =  suc  i )  <->  ( i  e.  om  /\  suc  i  e.  n  /\  m  =  suc  i ) )
25 biid 229 . 2  |-  ( ( i  e.  om  /\  suc  i  e.  n  /\  m  =/=  suc  i
)  <->  ( i  e. 
om  /\  suc  i  e.  n  /\  m  =/= 
suc  i ) )
26 eqid 2437 . 2  |-  U_ y  e.  ( f `  i
)  pred ( y ,  A ,  R )  =  U_ y  e.  ( f `  i
)  pred ( y ,  A ,  R )
27 eqid 2437 . 2  |-  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )  =  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
28 eqid 2437 . 2  |-  U_ y  e.  ( ( f  u. 
{ <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p )  pred (
z ,  A ,  R ) >. } ) `
 i )  pred ( y ,  A ,  R )  =  U_ y  e.  ( (
f  u.  { <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p
)  pred ( z ,  A ,  R )
>. } ) `  i
)  pred ( y ,  A ,  R )
29 eqid 2437 . 2  |-  U_ y  e.  ( ( f  u. 
{ <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p )  pred (
z ,  A ,  R ) >. } ) `
 p )  pred ( y ,  A ,  R )  =  U_ y  e.  ( (
f  u.  { <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p
)  pred ( z ,  A ,  R )
>. } ) `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 20bnj600 29291 1  |-  ( n  =/=  1o  ->  (
( n  e.  D  /\  th )  ->  ch ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E!weu 2282    =/= wne 2600   A.wral 2706   [.wsbc 3162    \ cdif 3318    u. cun 3319   (/)c0 3629   {csn 3815   <.cop 3818   U_ciun 4094   class class class wbr 4213    _E cep 4493   suc csuc 4584   omcom 4846    Fn wfn 5450   ` cfv 5455   1oc1o 6718    /\ w-bnj17 29051    predc-bnj14 29053    FrSe w-bnj15 29057
This theorem is referenced by:  bnj852  29293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-reg 7561
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-1o 6725  df-bnj17 29052  df-bnj14 29054  df-bnj13 29056  df-bnj15 29058
  Copyright terms: Public domain W3C validator