Theorem bopcnlem1 7964

Description: Lemma for bopcn 7968.

Hypotheses

Ref	Expression
bopcn.1	|- C = (abs o. - )
bopcn.2	|- D = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. (CC X. CC) /\ v e. (CC X. CC)) /\ u = sup({((1st` w)C(1st` v)), ((2nd` w)C(2nd` v))}, RR, < ))}
bopcn.j	|- J = (Open` C)
bopcn.k	|- K = (Open` D)
bopcn.5	|- O:(CC X. CC)-->CC
bopcn.6	|- F = {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (1st` (h` k)))}
bopcn.7	|- G = {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (2nd` (h` k)))}
bopcn.9	|- (((1st` (h` k)) e. CC /\ (2nd` (h` k)) e. CC) -> ((1st` (h` k))O(2nd` (h` k))) e. CC)
bopcn.10	|- (((F ~~> (1st` q) /\ G ~~> (2nd` q)) /\ (1 e. ZZ /\ A.m e. (ZZ>` 1)((F` m) e. CC /\ (G` m) e. CC /\ (H` m) = ((F` m)O(G` m))))) -> H ~~> ((1st` q)O(2nd` q)))
bopcn.8	|- H = {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (O` (h` k)))}

Assertion

Ref	Expression
bopcnlem1	|- ((h:NN-->(CC X. CC) /\ h(~~>m` D)q) -> ((F:NN-->CC /\ F ~~> (1st` q)) /\ (G:NN-->CC /\ G ~~> (2nd` q))))

Distinct variable groups:   h,q,u,v,w,C   h,m,D,q   u,m,v,w,F   m,G,u,v,w   H,q   J,q   K,q   h,k,r,O,q   k,m,u,v,w,r

Proof of Theorem bopcnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1811	. . 3 |- q e. V
2		bopcn.1	. . . 4 |- C = (abs o. - )
3	2	cnmetba 7886	. . 3 |- CC = dom dom C
4	2	cnmet 7887	. . 3 |- C e. Met
5		bopcn.2	. . 3 |- D = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. (CC X. CC) /\ v e. (CC X. CC)) /\ u = sup({((1st` w)C(1st` v)), ((2nd` w)C(2nd` v))}, RR, < ))}
6		bopcn.6	. . 3 |- F = {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (1st` (h` k)))}
7		bopcn.7	. . 3 |- G = {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (2nd` (h` k)))}
8	1, 1, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7	xplmi2 7957	. 2 |- ((h:NN-->(CC X. CC) /\ h(~~>m` D)q) -> ((F:NN-->CC /\ F(~~>m` C)(1st` q)) /\ (G:NN-->CC /\ G(~~>m` C)(2nd` q))))
9		fvex 3729	. . . . 5 |- (1st` q) e. V
10	2	lmclimnn 7947	. . . . 5 |- (((1st` q) e. V /\ F:NN-->CC) -> (F(~~>m` C)(1st` q) <-> F ~~> (1st` q)))
11	9, 10	mpan 694	. . . 4 |- (F:NN-->CC -> (F(~~>m` C)(1st` q) <-> F ~~> (1st` q)))
12	11	pm5.32i 644	. . 3 |- ((F:NN-->CC /\ F(~~>m` C)(1st` q)) <-> (F:NN-->CC /\ F ~~> (1st` q)))
13		fvex 3729	. . . . 5 |- (2nd` q) e. V
14	2	lmclimnn 7947	. . . . 5 |- (((2nd` q) e. V /\ G:NN-->CC) -> (G(~~>m` C)(2nd` q) <-> G ~~> (2nd` q)))
15	13, 14	mpan 694	. . . 4 |- (G:NN-->CC -> (G(~~>m` C)(2nd` q) <-> G ~~> (2nd` q)))
16	15	pm5.32i 644	. . 3 |- ((G:NN-->CC /\ G(~~>m` C)(2nd` q)) <-> (G:NN-->CC /\ G ~~> (2nd` q)))
17	12, 16	anbi12i 482	. 2 |- (((F:NN-->CC /\ F(~~>m` C)(1st` q)) /\ (G:NN-->CC /\ G(~~>m` C)(2nd` q))) <-> ((F:NN-->CC /\ F ~~> (1st` q)) /\ (G:NN-->CC /\ G ~~> (2nd` q))))
18	8, 17	sylib 198	1 |- ((h:NN-->(CC X. CC) /\ h(~~>m` D)q) -> ((F:NN-->CC /\ F ~~> (1st` q)) /\ (G:NN-->CC /\ G ~~> (2nd` q))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1644  Vcvv 1809  {cpr 2408   class class class wbr 2616  {copab 2663   X. cxp 3165   o. ccom 3171  -->wf 3175  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  {copab2 3961  1stc1st 4074  2ndc2nd 4075  supcsup 4560  CCcc 5219  RRcr 5220  1c1 5222   - cmin 5279  NNcn 5283  ZZcz 5285   < clt 5473  ZZ>cuz 6367  abscabs 6702   ~~> cli 6942  Opencopn 7771  ~~>mclm 7902

This theorem is referenced by:  bopcnlem2 7965

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-sup 4561  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-div 5686  df-n 5887  df-2 5931  df-n0 6061  df-z 6097  df-seq1 6263  df-uz 6368  df-exp 6519  df-sqr 6621  df-re 6703  df-im 6704  df-cj 6705  df-abs 6706  df-clim 6943  df-met 7772  df-lm 7905

Copyright terms: Public domain