Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bpolysum Structured version   Unicode version

Theorem bpolysum 26104
 Description: A sum for Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolysum BernPoly
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem bpolysum
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . . 4
2 nn0uz 10525 . . . 4
31, 2syl6eleq 2528 . . 3
4 elfzelz 11064 . . . . . 6
5 bccl 11618 . . . . . 6
61, 4, 5syl2an 465 . . . . 5
76nn0cnd 10281 . . . 4
8 elfznn0 11088 . . . . . 6
9 simpr 449 . . . . . 6
10 bpolycl 26103 . . . . . 6 BernPoly
118, 9, 10syl2anr 466 . . . . 5 BernPoly
12 fznn0sub 11090 . . . . . . . 8
1312adantl 454 . . . . . . 7
14 nn0p1nn 10264 . . . . . . 7
1513, 14syl 16 . . . . . 6
1615nncnd 10021 . . . . 5
1715nnne0d 10049 . . . . 5
1811, 16, 17divcld 9795 . . . 4 BernPoly
197, 18mulcld 9113 . . 3 BernPoly
20 oveq2 6092 . . . 4
21 oveq1 6091 . . . . 5 BernPoly BernPoly
22 oveq2 6092 . . . . . 6
2322oveq1d 6099 . . . . 5
2421, 23oveq12d 6102 . . . 4 BernPoly BernPoly
2520, 24oveq12d 6102 . . 3 BernPoly BernPoly
263, 19, 25fsumm1 12542 . 2 BernPoly BernPoly BernPoly
27 bcnn 11608 . . . . . 6
2827adantr 453 . . . . 5
29 nn0cn 10236 . . . . . . . . . . 11
3029adantr 453 . . . . . . . . . 10
3130subidd 9404 . . . . . . . . 9
3231oveq1d 6099 . . . . . . . 8
33 0p1e1 10098 . . . . . . . 8
3432, 33syl6eq 2486 . . . . . . 7
3534oveq2d 6100 . . . . . 6 BernPoly BernPoly
36 bpolycl 26103 . . . . . . 7 BernPoly
3736div1d 9787 . . . . . 6 BernPoly BernPoly
3835, 37eqtrd 2470 . . . . 5 BernPoly BernPoly
3928, 38oveq12d 6102 . . . 4 BernPoly BernPoly
4036mulid2d 9111 . . . 4 BernPoly BernPoly
4139, 40eqtrd 2470 . . 3 BernPoly BernPoly
4241oveq2d 6100 . 2 BernPoly BernPoly BernPoly BernPoly
43 bpolyval 26100 . . . 4 BernPoly BernPoly
4443eqcomd 2443 . . 3 BernPoly BernPoly
45 expcl 11404 . . . . 5
4645ancoms 441 . . . 4
47 fzfid 11317 . . . . 5
48 fzssp1 11100 . . . . . . . 8
49 ax-1cn 9053 . . . . . . . . . 10
50 npcan 9319 . . . . . . . . . 10
5130, 49, 50sylancl 645 . . . . . . . . 9
5251oveq2d 6100 . . . . . . . 8
5348, 52syl5sseq 3398 . . . . . . 7
5453sselda 3350 . . . . . 6
5554, 19syldan 458 . . . . 5 BernPoly
5647, 55fsumcl 12532 . . . 4 BernPoly
5746, 56, 36subaddd 9434 . . 3 BernPoly BernPoly BernPoly BernPoly
5844, 57mpbid 203 . 2 BernPoly BernPoly
5926, 42, 583eqtrd 2474 1 BernPoly
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cfv 5457  (class class class)co 6084  cc 8993  cc0 8995  c1 8996   caddc 8998   cmul 9000   cmin 9296   cdiv 9682  cn 10005  cn0 10226  cz 10287  cuz 10493  cfz 11048  cexp 11387   cbc 11598  csu 12484   BernPoly cbp 26097 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-bc 11599  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-pred 25444  df-wrecs 25536  df-bpoly 26098
 Copyright terms: Public domain W3C validator