MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpos1 Unicode version

Theorem bpos1 20517
Description: Bertrand's postulate, checked numerically for  N  <_  6 4, using the prime sequence  2 ,  3 ,  5 ,  7 ,  1 3 ,  2 3 ,  4 3 ,  8 3. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpos1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  <_ ; 6 4 )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
Distinct variable group:    N, p

Proof of Theorem bpos1
StepHypRef Expression
1 elnnuz 10260 . . 3  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2 ax-1 7 . . . 4  |-  ( E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) )  ->  ( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
3 6nn0 9982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  6  e.  NN0
4 4nn0 9980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  4  e.  NN0
53, 4deccl 10134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 6 4  e.  NN0
65nn0rei 9972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 6 4  e.  RR
76a1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  e.  RR )
8 8nn0 9984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  8  e.  NN0
9 3nn0 9979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  e.  NN0
108, 9deccl 10134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 8 3  e.  NN0
1110nn0rei 9972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 8 3  e.  RR
1211a1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 8 3  e.  RR )
13 eluzelre 10235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  ->  N  e.  RR )
14 4lt10 9923 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  <  10
15 6lt8 9904 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  <  8
163, 8, 4, 9, 14, 15decltc 10142 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 6 4  < ; 8 3
1716a1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  < ; 8 3 )
18 eluzle 10236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 8 3  <_  N )
197, 12, 13, 17, 18ltletrd 8972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  <  N )
20 ltnle 8898 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (; 6
4  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (; 6 4  <  N  <->  -.  N  <_ ; 6 4 ) )
216, 13, 20sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> 
(; 6 4  <  N  <->  -.  N  <_ ; 6 4 ) )
2219, 21mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  ->  -.  N  <_ ; 6 4 )
2322pm2.21d 100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
24 83prm 13119 . . . . . . . . . . 11  |- ; 8 3  e.  Prime
254, 9deccl 10134 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  e.  NN0
26 2nn0 9978 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
27 eqid 2285 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 4 3  = ; 4 3
28 0nn0 9976 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
29 4t2e8 9870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
3029oveq1i 5830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 4  x.  2 )  +  0 )  =  ( 8  +  0 )
31 8nn 9879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  8  e.  NN
3231nncni 9752 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  8  e.  CC
3332addid1i 8995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  +  0 )  =  8
3430, 33eqtri 2305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  x.  2 )  +  0 )  =  8
35 3t2e6 9868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
363dec0h 10136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  = ; 0 6
3735, 36eqtri 2305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  2 )  = ; 0
6
3826, 4, 9, 27, 3, 28, 34, 37decmul1c 10167 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 4 3  x.  2 )  = ; 8 6
39 3lt10 9924 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  <  10
40 4lt8 9906 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  <  8
414, 8, 9, 9, 39, 40decltc 10142 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  < ; 8 3
42 6nn 9877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  e.  NN
43 3lt6 9894 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  <  6
448, 9, 42, 43declt 10141 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 8 3  < ; 8 6
4544orci 381 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 8 3  < ; 8 6  \/ ; 8 3  = ; 8 6 )
462, 23, 24, 25, 38, 41, 45bpos1lem 20516 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 4 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
47 43prm 13118 . . . . . . . . . 10  |- ; 4 3  e.  Prime
4826, 9deccl 10134 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  e.  NN0
49 eqid 2285 . . . . . . . . . . 11  |- ; 2 3  = ; 2 3
50 2t2e4 9867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
5150oveq1i 5830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  0 )  =  ( 4  +  0 )
52 4nn 9875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  NN
5352nncni 9752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
5453addid1i 8995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  +  0 )  =  4
5551, 54eqtri 2305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  0 )  =  4
5626, 26, 9, 49, 3, 28, 55, 37decmul1c 10167 . . . . . . . . . 10  |-  (; 2 3  x.  2 )  = ; 4 6
57 2lt4 9886 . . . . . . . . . . 11  |-  2  <  4
5826, 4, 9, 9, 39, 57decltc 10142 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  < ; 4 3
594, 9, 42, 43declt 10141 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  < ; 4 6
6059orci 381 . . . . . . . . . 10  |-  (; 4 3  < ; 4 6  \/ ; 4 3  = ; 4 6 )
612, 46, 47, 48, 56, 58, 60bpos1lem 20516 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 2 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
62 23prm 13115 . . . . . . . . 9  |- ; 2 3  e.  Prime
63 1nn0 9977 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN0
6463, 9deccl 10134 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  e.  NN0
65 eqid 2285 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 3  = ; 1 3
66 2cn 9812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
6766mulid2i 8836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
6867oveq1i 5830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  ( 2  +  0 )
6966addid1i 8995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  +  0 )  =  2
7068, 69eqtri 2305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  2
7126, 63, 9, 65, 3, 28, 70, 37decmul1c 10167 . . . . . . . . 9  |-  (; 1 3  x.  2 )  = ; 2 6
72 1lt2 9882 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
7363, 26, 9, 9, 39, 72decltc 10142 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  < ; 2 3
7426, 9, 42, 43declt 10141 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  < ; 2 6
7574orci 381 . . . . . . . . 9  |-  (; 2 3  < ; 2 6  \/ ; 2 3  = ; 2 6 )
762, 61, 62, 64, 71, 73, 75bpos1lem 20516 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
77 13prm 13112 . . . . . . . 8  |- ; 1 3  e.  Prime
78 7nn0 9983 . . . . . . . 8  |-  7  e.  NN0
79 7t2e14 10202 . . . . . . . 8  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
80 1nn 9753 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
81 7lt10 9920 . . . . . . . . 9  |-  7  <  10
8280, 9, 78, 81declti 10145 . . . . . . . 8  |-  7  < ; 1
3
83 3lt4 9885 . . . . . . . . . 10  |-  3  <  4
8463, 9, 52, 83declt 10141 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  < ; 1 4
8584orci 381 . . . . . . . 8  |-  (; 1 3  < ; 1 4  \/ ; 1 3  = ; 1 4 )
862, 76, 77, 78, 79, 82, 85bpos1lem 20516 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  7
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
87 7prm 13107 . . . . . . 7  |-  7  e.  Prime
88 5nn0 9981 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN0
89 5t2e10 9871 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
90 5lt7 9898 . . . . . . 7  |-  5  <  7
9181orci 381 . . . . . . 7  |-  ( 7  <  10  \/  7  =  10 )
922, 86, 87, 88, 89, 90, 91bpos1lem 20516 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
93 5prm 13105 . . . . . 6  |-  5  e.  Prime
94 3lt5 9889 . . . . . 6  |-  3  <  5
95 5lt6 9892 . . . . . . 7  |-  5  <  6
9695orci 381 . . . . . 6  |-  ( 5  <  6  \/  5  =  6 )
972, 92, 93, 9, 35, 94, 96bpos1lem 20516 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
98 3prm 12770 . . . . 5  |-  3  e.  Prime
99 2lt3 9883 . . . . 5  |-  2  <  3
10083orci 381 . . . . 5  |-  ( 3  <  4  \/  3  =  4 )
1012, 97, 98, 26, 50, 99, 100bpos1lem 20516 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
102 2prm 12769 . . . 4  |-  2  e.  Prime
103 eqid 2285 . . . . 5  |-  2  =  2
104103olci 382 . . . 4  |-  ( 2  <  2  \/  2  =  2 )
1052, 101, 102, 63, 67, 72, 104bpos1lem 20516 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
1061, 105sylbi 189 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
107106imp 420 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  <_ ; 6 4 )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   E.wrex 2546   class class class wbr 4025   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   RRcr 8732   0cc0 8733   1c1 8734    + caddc 8736    x. cmul 8738    < clt 8863    <_ cle 8864   NNcn 9742   2c2 9791   3c3 9792   4c4 9793   5c5 9794   6c6 9795   7c7 9796   8c8 9797   10c10 9799  ;cdc 10120   ZZ>=cuz 10226   Primecprime 12753
This theorem is referenced by:  bpos  20527
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-sup 7190  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-z 10021  df-dec 10121  df-uz 10227  df-rp 10351  df-fz 10778  df-seq 11042  df-exp 11100  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716  df-dvds 12527  df-prm 12754
  Copyright terms: Public domain W3C validator