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Theorem bpos1 20628
Description: Bertrand's postulate, checked numerically for  N  <_  6 4, using the prime sequence  2 ,  3 ,  5 ,  7 ,  1 3 ,  2 3 ,  4 3 ,  8 3. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpos1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  <_ ; 6 4 )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
Distinct variable group:    N, p

Proof of Theorem bpos1
StepHypRef Expression
1 elnnuz 10353 . . 3  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2 ax-1 5 . . . 4  |-  ( E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) )  ->  ( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
3 6nn0 10075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  6  e.  NN0
4 4nn0 10073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  4  e.  NN0
53, 4deccl 10227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 6 4  e.  NN0
65nn0rei 10065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 6 4  e.  RR
76a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  e.  RR )
8 8nn0 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  8  e.  NN0
9 3nn0 10072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  e.  NN0
108, 9deccl 10227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 8 3  e.  NN0
1110nn0rei 10065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 8 3  e.  RR
1211a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 8 3  e.  RR )
13 eluzelre 10328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  ->  N  e.  RR )
14 4lt10 10016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  <  10
15 6lt8 9997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  <  8
163, 8, 4, 9, 14, 15decltc 10235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 6 4  < ; 8 3
1716a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  < ; 8 3 )
18 eluzle 10329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 8 3  <_  N )
197, 12, 13, 17, 18ltletrd 9063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  <  N )
20 ltnle 8989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (; 6
4  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (; 6 4  <  N  <->  -.  N  <_ ; 6 4 ) )
216, 13, 20sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> 
(; 6 4  <  N  <->  -.  N  <_ ; 6 4 ) )
2219, 21mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  ->  -.  N  <_ ; 6 4 )
2322pm2.21d 98 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
24 83prm 13215 . . . . . . . . . . 11  |- ; 8 3  e.  Prime
254, 9deccl 10227 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  e.  NN0
26 2nn0 10071 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
27 eqid 2358 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 4 3  = ; 4 3
28 0nn0 10069 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
29 4t2e8 9963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
3029oveq1i 5952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 4  x.  2 )  +  0 )  =  ( 8  +  0 )
31 8nn 9972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  8  e.  NN
3231nncni 9843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  8  e.  CC
3332addid1i 9086 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  +  0 )  =  8
3430, 33eqtri 2378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  x.  2 )  +  0 )  =  8
35 3t2e6 9961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
363dec0h 10229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  = ; 0 6
3735, 36eqtri 2378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  2 )  = ; 0
6
3826, 4, 9, 27, 3, 28, 34, 37decmul1c 10260 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 4 3  x.  2 )  = ; 8 6
39 3lt10 10017 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  <  10
40 4lt8 9999 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  <  8
414, 8, 9, 9, 39, 40decltc 10235 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  < ; 8 3
42 6nn 9970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  e.  NN
43 3lt6 9987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  <  6
448, 9, 42, 43declt 10234 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 8 3  < ; 8 6
4544orci 379 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 8 3  < ; 8 6  \/ ; 8 3  = ; 8 6 )
462, 23, 24, 25, 38, 41, 45bpos1lem 20627 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 4 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
47 43prm 13214 . . . . . . . . . 10  |- ; 4 3  e.  Prime
4826, 9deccl 10227 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  e.  NN0
49 eqid 2358 . . . . . . . . . . 11  |- ; 2 3  = ; 2 3
50 2t2e4 9960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
5150oveq1i 5952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  0 )  =  ( 4  +  0 )
52 4nn 9968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  NN
5352nncni 9843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
5453addid1i 9086 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  +  0 )  =  4
5551, 54eqtri 2378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  0 )  =  4
5626, 26, 9, 49, 3, 28, 55, 37decmul1c 10260 . . . . . . . . . 10  |-  (; 2 3  x.  2 )  = ; 4 6
57 2lt4 9979 . . . . . . . . . . 11  |-  2  <  4
5826, 4, 9, 9, 39, 57decltc 10235 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  < ; 4 3
594, 9, 42, 43declt 10234 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  < ; 4 6
6059orci 379 . . . . . . . . . 10  |-  (; 4 3  < ; 4 6  \/ ; 4 3  = ; 4 6 )
612, 46, 47, 48, 56, 58, 60bpos1lem 20627 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 2 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
62 23prm 13211 . . . . . . . . 9  |- ; 2 3  e.  Prime
63 1nn0 10070 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN0
6463, 9deccl 10227 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  e.  NN0
65 eqid 2358 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 3  = ; 1 3
66 2cn 9903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
6766mulid2i 8927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
6867oveq1i 5952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  ( 2  +  0 )
6966addid1i 9086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  +  0 )  =  2
7068, 69eqtri 2378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  2
7126, 63, 9, 65, 3, 28, 70, 37decmul1c 10260 . . . . . . . . 9  |-  (; 1 3  x.  2 )  = ; 2 6
72 1lt2 9975 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
7363, 26, 9, 9, 39, 72decltc 10235 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  < ; 2 3
7426, 9, 42, 43declt 10234 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  < ; 2 6
7574orci 379 . . . . . . . . 9  |-  (; 2 3  < ; 2 6  \/ ; 2 3  = ; 2 6 )
762, 61, 62, 64, 71, 73, 75bpos1lem 20627 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
77 13prm 13208 . . . . . . . 8  |- ; 1 3  e.  Prime
78 7nn0 10076 . . . . . . . 8  |-  7  e.  NN0
79 7t2e14 10295 . . . . . . . 8  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
80 1nn 9844 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
81 7lt10 10013 . . . . . . . . 9  |-  7  <  10
8280, 9, 78, 81declti 10238 . . . . . . . 8  |-  7  < ; 1
3
83 3lt4 9978 . . . . . . . . . 10  |-  3  <  4
8463, 9, 52, 83declt 10234 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  < ; 1 4
8584orci 379 . . . . . . . 8  |-  (; 1 3  < ; 1 4  \/ ; 1 3  = ; 1 4 )
862, 76, 77, 78, 79, 82, 85bpos1lem 20627 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  7
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
87 7prm 13203 . . . . . . 7  |-  7  e.  Prime
88 5nn0 10074 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN0
89 5t2e10 9964 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
90 5lt7 9991 . . . . . . 7  |-  5  <  7
9181orci 379 . . . . . . 7  |-  ( 7  <  10  \/  7  =  10 )
922, 86, 87, 88, 89, 90, 91bpos1lem 20627 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
93 5prm 13201 . . . . . 6  |-  5  e.  Prime
94 3lt5 9982 . . . . . 6  |-  3  <  5
95 5lt6 9985 . . . . . . 7  |-  5  <  6
9695orci 379 . . . . . 6  |-  ( 5  <  6  \/  5  =  6 )
972, 92, 93, 9, 35, 94, 96bpos1lem 20627 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
98 3prm 12866 . . . . 5  |-  3  e.  Prime
99 2lt3 9976 . . . . 5  |-  2  <  3
10083orci 379 . . . . 5  |-  ( 3  <  4  \/  3  =  4 )
1012, 97, 98, 26, 50, 99, 100bpos1lem 20627 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
102 2prm 12865 . . . 4  |-  2  e.  Prime
103 eqid 2358 . . . . 5  |-  2  =  2
104103olci 380 . . . 4  |-  ( 2  <  2  \/  2  =  2 )
1052, 101, 102, 63, 67, 72, 104bpos1lem 20627 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
1061, 105sylbi 187 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
107106imp 418 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  <_ ; 6 4 )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   E.wrex 2620   class class class wbr 4102   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   RRcr 8823   0cc0 8824   1c1 8825    + caddc 8827    x. cmul 8829    < clt 8954    <_ cle 8955   NNcn 9833   2c2 9882   3c3 9883   4c4 9884   5c5 9885   6c6 9886   7c7 9887   8c8 9888   10c10 9890  ;cdc 10213   ZZ>=cuz 10319   Primecprime 12849
This theorem is referenced by:  bpos  20638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-2o 6564  df-oadd 6567  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-sup 7281  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-rp 10444  df-fz 10872  df-seq 11136  df-exp 11195  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-dvds 12623  df-prm 12850
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