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Theorem bpos1 20522
Description: Bertrand's postulate, checked numerically for  N  <_  6 4, using the prime sequence  2 ,  3 ,  5 ,  7 ,  1 3 ,  2 3 ,  4 3 ,  8 3. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpos1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  <_ ; 6 4 )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
Distinct variable group:    N, p

Proof of Theorem bpos1
StepHypRef Expression
1 elnnuz 10264 . . 3  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2 ax-1 5 . . . 4  |-  ( E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) )  ->  ( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
3 6nn0 9986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  6  e.  NN0
4 4nn0 9984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  4  e.  NN0
53, 4deccl 10138 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 6 4  e.  NN0
65nn0rei 9976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 6 4  e.  RR
76a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  e.  RR )
8 8nn0 9988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  8  e.  NN0
9 3nn0 9983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  e.  NN0
108, 9deccl 10138 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 8 3  e.  NN0
1110nn0rei 9976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 8 3  e.  RR
1211a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 8 3  e.  RR )
13 eluzelre 10239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  ->  N  e.  RR )
14 4lt10 9927 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  <  10
15 6lt8 9908 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  <  8
163, 8, 4, 9, 14, 15decltc 10146 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 6 4  < ; 8 3
1716a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  < ; 8 3 )
18 eluzle 10240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 8 3  <_  N )
197, 12, 13, 17, 18ltletrd 8976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  <  N )
20 ltnle 8902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (; 6
4  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (; 6 4  <  N  <->  -.  N  <_ ; 6 4 ) )
216, 13, 20sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> 
(; 6 4  <  N  <->  -.  N  <_ ; 6 4 ) )
2219, 21mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  ->  -.  N  <_ ; 6 4 )
2322pm2.21d 98 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
24 83prm 13124 . . . . . . . . . . 11  |- ; 8 3  e.  Prime
254, 9deccl 10138 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  e.  NN0
26 2nn0 9982 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
27 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 4 3  = ; 4 3
28 0nn0 9980 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
29 4t2e8 9874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
3029oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 4  x.  2 )  +  0 )  =  ( 8  +  0 )
31 8nn 9883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  8  e.  NN
3231nncni 9756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  8  e.  CC
3332addid1i 8999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  +  0 )  =  8
3430, 33eqtri 2303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  x.  2 )  +  0 )  =  8
35 3t2e6 9872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
363dec0h 10140 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  = ; 0 6
3735, 36eqtri 2303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  2 )  = ; 0
6
3826, 4, 9, 27, 3, 28, 34, 37decmul1c 10171 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 4 3  x.  2 )  = ; 8 6
39 3lt10 9928 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  <  10
40 4lt8 9910 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  <  8
414, 8, 9, 9, 39, 40decltc 10146 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  < ; 8 3
42 6nn 9881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  e.  NN
43 3lt6 9898 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  <  6
448, 9, 42, 43declt 10145 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 8 3  < ; 8 6
4544orci 379 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 8 3  < ; 8 6  \/ ; 8 3  = ; 8 6 )
462, 23, 24, 25, 38, 41, 45bpos1lem 20521 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 4 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
47 43prm 13123 . . . . . . . . . 10  |- ; 4 3  e.  Prime
4826, 9deccl 10138 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  e.  NN0
49 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |- ; 2 3  = ; 2 3
50 2t2e4 9871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
5150oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  0 )  =  ( 4  +  0 )
52 4nn 9879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  NN
5352nncni 9756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
5453addid1i 8999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  +  0 )  =  4
5551, 54eqtri 2303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  0 )  =  4
5626, 26, 9, 49, 3, 28, 55, 37decmul1c 10171 . . . . . . . . . 10  |-  (; 2 3  x.  2 )  = ; 4 6
57 2lt4 9890 . . . . . . . . . . 11  |-  2  <  4
5826, 4, 9, 9, 39, 57decltc 10146 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  < ; 4 3
594, 9, 42, 43declt 10145 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  < ; 4 6
6059orci 379 . . . . . . . . . 10  |-  (; 4 3  < ; 4 6  \/ ; 4 3  = ; 4 6 )
612, 46, 47, 48, 56, 58, 60bpos1lem 20521 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 2 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
62 23prm 13120 . . . . . . . . 9  |- ; 2 3  e.  Prime
63 1nn0 9981 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN0
6463, 9deccl 10138 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  e.  NN0
65 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 3  = ; 1 3
66 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
6766mulid2i 8840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
6867oveq1i 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  ( 2  +  0 )
6966addid1i 8999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  +  0 )  =  2
7068, 69eqtri 2303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  2
7126, 63, 9, 65, 3, 28, 70, 37decmul1c 10171 . . . . . . . . 9  |-  (; 1 3  x.  2 )  = ; 2 6
72 1lt2 9886 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
7363, 26, 9, 9, 39, 72decltc 10146 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  < ; 2 3
7426, 9, 42, 43declt 10145 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  < ; 2 6
7574orci 379 . . . . . . . . 9  |-  (; 2 3  < ; 2 6  \/ ; 2 3  = ; 2 6 )
762, 61, 62, 64, 71, 73, 75bpos1lem 20521 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
77 13prm 13117 . . . . . . . 8  |- ; 1 3  e.  Prime
78 7nn0 9987 . . . . . . . 8  |-  7  e.  NN0
79 7t2e14 10206 . . . . . . . 8  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
80 1nn 9757 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
81 7lt10 9924 . . . . . . . . 9  |-  7  <  10
8280, 9, 78, 81declti 10149 . . . . . . . 8  |-  7  < ; 1
3
83 3lt4 9889 . . . . . . . . . 10  |-  3  <  4
8463, 9, 52, 83declt 10145 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  < ; 1 4
8584orci 379 . . . . . . . 8  |-  (; 1 3  < ; 1 4  \/ ; 1 3  = ; 1 4 )
862, 76, 77, 78, 79, 82, 85bpos1lem 20521 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  7
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
87 7prm 13112 . . . . . . 7  |-  7  e.  Prime
88 5nn0 9985 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN0
89 5t2e10 9875 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
90 5lt7 9902 . . . . . . 7  |-  5  <  7
9181orci 379 . . . . . . 7  |-  ( 7  <  10  \/  7  =  10 )
922, 86, 87, 88, 89, 90, 91bpos1lem 20521 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
93 5prm 13110 . . . . . 6  |-  5  e.  Prime
94 3lt5 9893 . . . . . 6  |-  3  <  5
95 5lt6 9896 . . . . . . 7  |-  5  <  6
9695orci 379 . . . . . 6  |-  ( 5  <  6  \/  5  =  6 )
972, 92, 93, 9, 35, 94, 96bpos1lem 20521 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
98 3prm 12775 . . . . 5  |-  3  e.  Prime
99 2lt3 9887 . . . . 5  |-  2  <  3
10083orci 379 . . . . 5  |-  ( 3  <  4  \/  3  =  4 )
1012, 97, 98, 26, 50, 99, 100bpos1lem 20521 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
102 2prm 12774 . . . 4  |-  2  e.  Prime
103 eqid 2283 . . . . 5  |-  2  =  2
104103olci 380 . . . 4  |-  ( 2  <  2  \/  2  =  2 )
1052, 101, 102, 63, 67, 72, 104bpos1lem 20521 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
1061, 105sylbi 187 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
107106imp 418 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  <_ ; 6 4 )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   5c5 9798   6c6 9799   7c7 9800   8c8 9801   10c10 9803  ;cdc 10124   ZZ>=cuz 10230   Primecprime 12758
This theorem is referenced by:  bpos  20532
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-prm 12759
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