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Theorem bpos1 21055
Description: Bertrand's postulate, checked numerically for  N  <_  6 4, using the prime sequence  2 ,  3 ,  5 ,  7 ,  1 3 ,  2 3 ,  4 3 ,  8 3. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpos1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  <_ ; 6 4 )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
Distinct variable group:    N, p

Proof of Theorem bpos1
StepHypRef Expression
1 elnnuz 10511 . . 3  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2 ax-1 5 . . . 4  |-  ( E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) )  ->  ( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
3 6nn0 10231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  6  e.  NN0
4 4nn0 10229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  4  e.  NN0
53, 4deccl 10385 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 6 4  e.  NN0
65nn0rei 10221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 6 4  e.  RR
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  e.  RR )
8 8nn0 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  8  e.  NN0
9 3nn0 10228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  e.  NN0
108, 9deccl 10385 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 8 3  e.  NN0
1110nn0rei 10221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 8 3  e.  RR
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 8 3  e.  RR )
13 eluzelre 10486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  ->  N  e.  RR )
14 4lt10 10172 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  <  10
15 6lt8 10153 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  <  8
163, 8, 4, 9, 14, 15decltc 10393 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 6 4  < ; 8 3
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  < ; 8 3 )
18 eluzle 10487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 8 3  <_  N )
197, 12, 13, 17, 18ltletrd 9219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  <  N )
20 ltnle 9144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (; 6
4  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (; 6 4  <  N  <->  -.  N  <_ ; 6 4 ) )
216, 13, 20sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> 
(; 6 4  <  N  <->  -.  N  <_ ; 6 4 ) )
2219, 21mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  ->  -.  N  <_ ; 6 4 )
2322pm2.21d 100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
24 83prm 13433 . . . . . . . . . . 11  |- ; 8 3  e.  Prime
254, 9deccl 10385 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  e.  NN0
26 2nn0 10227 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
27 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 4 3  = ; 4 3
28 0nn0 10225 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
29 4t2e8 10119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
3029oveq1i 6082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 4  x.  2 )  +  0 )  =  ( 8  +  0 )
31 8nn 10128 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  8  e.  NN
3231nncni 9999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  8  e.  CC
3332addid1i 9242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  +  0 )  =  8
3430, 33eqtri 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  x.  2 )  +  0 )  =  8
35 3t2e6 10117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
363dec0h 10387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  = ; 0 6
3735, 36eqtri 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  2 )  = ; 0
6
3826, 4, 9, 27, 3, 28, 34, 37decmul1c 10418 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 4 3  x.  2 )  = ; 8 6
39 3lt10 10173 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  <  10
40 4lt8 10155 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  <  8
414, 8, 9, 9, 39, 40decltc 10393 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  < ; 8 3
42 6nn 10126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  e.  NN
43 3lt6 10143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  <  6
448, 9, 42, 43declt 10392 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 8 3  < ; 8 6
4544orci 380 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 8 3  < ; 8 6  \/ ; 8 3  = ; 8 6 )
462, 23, 24, 25, 38, 41, 45bpos1lem 21054 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 4 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
47 43prm 13432 . . . . . . . . . 10  |- ; 4 3  e.  Prime
4826, 9deccl 10385 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  e.  NN0
49 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |- ; 2 3  = ; 2 3
50 2t2e4 10116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
5150oveq1i 6082 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  0 )  =  ( 4  +  0 )
52 4nn 10124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  NN
5352nncni 9999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
5453addid1i 9242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  +  0 )  =  4
5551, 54eqtri 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  0 )  =  4
5626, 26, 9, 49, 3, 28, 55, 37decmul1c 10418 . . . . . . . . . 10  |-  (; 2 3  x.  2 )  = ; 4 6
57 2lt4 10135 . . . . . . . . . . 11  |-  2  <  4
5826, 4, 9, 9, 39, 57decltc 10393 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  < ; 4 3
594, 9, 42, 43declt 10392 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  < ; 4 6
6059orci 380 . . . . . . . . . 10  |-  (; 4 3  < ; 4 6  \/ ; 4 3  = ; 4 6 )
612, 46, 47, 48, 56, 58, 60bpos1lem 21054 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 2 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
62 23prm 13429 . . . . . . . . 9  |- ; 2 3  e.  Prime
63 1nn0 10226 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN0
6463, 9deccl 10385 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  e.  NN0
65 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 3  = ; 1 3
66 2cn 10059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
6766mulid2i 9082 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
6867oveq1i 6082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  ( 2  +  0 )
6966addid1i 9242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  +  0 )  =  2
7068, 69eqtri 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  2
7126, 63, 9, 65, 3, 28, 70, 37decmul1c 10418 . . . . . . . . 9  |-  (; 1 3  x.  2 )  = ; 2 6
72 1lt2 10131 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
7363, 26, 9, 9, 39, 72decltc 10393 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  < ; 2 3
7426, 9, 42, 43declt 10392 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  < ; 2 6
7574orci 380 . . . . . . . . 9  |-  (; 2 3  < ; 2 6  \/ ; 2 3  = ; 2 6 )
762, 61, 62, 64, 71, 73, 75bpos1lem 21054 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
77 13prm 13426 . . . . . . . 8  |- ; 1 3  e.  Prime
78 7nn0 10232 . . . . . . . 8  |-  7  e.  NN0
79 7t2e14 10453 . . . . . . . 8  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
80 1nn 10000 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
81 7lt10 10169 . . . . . . . . 9  |-  7  <  10
8280, 9, 78, 81declti 10396 . . . . . . . 8  |-  7  < ; 1
3
83 3lt4 10134 . . . . . . . . . 10  |-  3  <  4
8463, 9, 52, 83declt 10392 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  < ; 1 4
8584orci 380 . . . . . . . 8  |-  (; 1 3  < ; 1 4  \/ ; 1 3  = ; 1 4 )
862, 76, 77, 78, 79, 82, 85bpos1lem 21054 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  7
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
87 7prm 13421 . . . . . . 7  |-  7  e.  Prime
88 5nn0 10230 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN0
89 5t2e10 10120 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
90 5lt7 10147 . . . . . . 7  |-  5  <  7
9181orci 380 . . . . . . 7  |-  ( 7  <  10  \/  7  =  10 )
922, 86, 87, 88, 89, 90, 91bpos1lem 21054 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
93 5prm 13419 . . . . . 6  |-  5  e.  Prime
94 3lt5 10138 . . . . . 6  |-  3  <  5
95 5lt6 10141 . . . . . . 7  |-  5  <  6
9695orci 380 . . . . . 6  |-  ( 5  <  6  \/  5  =  6 )
972, 92, 93, 9, 35, 94, 96bpos1lem 21054 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
98 3prm 13084 . . . . 5  |-  3  e.  Prime
99 2lt3 10132 . . . . 5  |-  2  <  3
10083orci 380 . . . . 5  |-  ( 3  <  4  \/  3  =  4 )
1012, 97, 98, 26, 50, 99, 100bpos1lem 21054 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
102 2prm 13083 . . . 4  |-  2  e.  Prime
103 eqid 2435 . . . . 5  |-  2  =  2
104103olci 381 . . . 4  |-  ( 2  <  2  \/  2  =  2 )
1052, 101, 102, 63, 67, 72, 104bpos1lem 21054 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
1061, 105sylbi 188 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
107106imp 419 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  <_ ; 6 4 )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   class class class wbr 4204   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   RRcr 8978   0cc0 8979   1c1 8980    + caddc 8982    x. cmul 8984    < clt 9109    <_ cle 9110   NNcn 9989   2c2 10038   3c3 10039   4c4 10040   5c5 10041   6c6 10042   7c7 10043   8c8 10044   10c10 10046  ;cdc 10371   ZZ>=cuz 10477   Primecprime 13067
This theorem is referenced by:  bpos  21065
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-rp 10602  df-fz 11033  df-seq 11312  df-exp 11371  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-dvds 12841  df-prm 13068
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