Theorem brafnt 9867

Description: The bra function is a functional.

Assertion

Ref	Expression
brafnt	|- (A e. H~ -> (bra` A):H~-->CC)

Proof of Theorem brafnt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hiclt 8943	. . . . 5 |- ((x e. H~ /\ A e. H~) -> (x .ih A) e. CC)
2	1	ancoms 436	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ x e. H~) -> (x .ih A) e. CC)
3	2	r19.21aiva 1714	. . 3 |- (A e. H~ -> A.x e. H~ (x .ih A) e. CC)
4		eqid 1475	. . . 4 |- {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih A))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih A))}
5	4	fopab2 3823	. . 3 |- (A.x e. H~ (x .ih A) e. CC <-> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih A))}:H~-->CC)
6	3, 5	sylib 198	. 2 |- (A e. H~ -> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih A))}:H~-->CC)
7		bravalt 9863	. . 3 |- (A e. H~ -> (bra` A) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih A))})
8	7	feq1d 3624	. 2 |- (A e. H~ -> ((bra` A):H~-->CC <-> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih A))}:H~-->CC))
9	6, 8	mpbird 196	1 |- (A e. H~ -> (bra` A):H~-->CC)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  {copab 2666  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5229  H~chil 8784   .ih csp 8789  bracbr 8821

This theorem is referenced by:  bralnfnt 9868  braclt 9869  brafnmult 9871  branmfnt 10034  kbass2t 10046  kbass3t 10047

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8865  ax-hfi 8942

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-bra 9772

Copyright terms: Public domain