Theorem bralnfnt 9867

Description: The Dirac bra function is a linear functional.

Assertion

Ref	Expression
bralnfnt	|- (A e. H~ -> (bra` A) e. LinFn)

Proof of Theorem bralnfnt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brafnt 9866	. . 3 |- (A e. H~ -> (bra` A):H~-->CC)
2		braaddt 9864	. . . . . . . 8 |- ((A e. H~ /\ (x .h y) e. H~ /\ z e. H~) -> ((bra` A)` ((x .h y) +h z)) = (((bra` A)` (x .h y)) + ((bra` A)` z)))
3		simpll 414	. . . . . . . 8 |- (((A e. H~ /\ x e. CC) /\ (y e. H~ /\ z e. H~)) -> A e. H~)
4		hvmulclt 8878	. . . . . . . . 9 |- ((x e. CC /\ y e. H~) -> (x .h y) e. H~)
5	4	ad2ant2lr 412	. . . . . . . 8 |- (((A e. H~ /\ x e. CC) /\ (y e. H~ /\ z e. H~)) -> (x .h y) e. H~)
6		simprr 417	. . . . . . . 8 |- (((A e. H~ /\ x e. CC) /\ (y e. H~ /\ z e. H~)) -> z e. H~)
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 860	. . . . . . 7 |- (((A e. H~ /\ x e. CC) /\ (y e. H~ /\ z e. H~)) -> ((bra` A)` ((x .h y) +h z)) = (((bra` A)` (x .h y)) + ((bra` A)` z)))
8		bramult 9865	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. H~ /\ x e. CC /\ y e. H~) -> ((bra` A)` (x .h y)) = (x x. ((bra` A)` y)))
9	8	3expa 835	. . . . . . . . 9 |- (((A e. H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) -> ((bra` A)` (x .h y)) = (x x. ((bra` A)` y)))
10	9	adantrr 397	. . . . . . . 8 |- (((A e. H~ /\ x e. CC) /\ (y e. H~ /\ z e. H~)) -> ((bra` A)` (x .h y)) = (x x. ((bra` A)` y)))
11	10	opreq1d 3981	. . . . . . 7 |- (((A e. H~ /\ x e. CC) /\ (y e. H~ /\ z e. H~)) -> (((bra` A)` (x .h y)) + ((bra` A)` z)) = ((x x. ((bra` A)` y)) + ((bra` A)` z)))
12	7, 11	eqtrd 1510	. . . . . 6 |- (((A e. H~ /\ x e. CC) /\ (y e. H~ /\ z e. H~)) -> ((bra` A)` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((bra` A)` y)) + ((bra` A)` z)))
13	12	ex 373	. . . . 5 |- ((A e. H~ /\ x e. CC) -> ((y e. H~ /\ z e. H~) -> ((bra` A)` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((bra` A)` y)) + ((bra` A)` z))))
14	13	r19.21aivv 1723	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ x e. CC) -> A.y e. H~ A.z e. H~ ((bra` A)` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((bra` A)` y)) + ((bra` A)` z)))
15	14	r19.21aiva 1717	. . 3 |- (A e. H~ -> A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ ((bra` A)` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((bra` A)` y)) + ((bra` A)` z)))
16	1, 15	jca 288	. 2 |- (A e. H~ -> ((bra` A):H~-->CC /\ A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ ((bra` A)` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((bra` A)` y)) + ((bra` A)` z))))
17		ellnfnt 9805	. 2 |- ((bra` A) e. LinFn <-> ((bra` A):H~-->CC /\ A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ ((bra` A)` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((bra` A)` y)) + ((bra` A)` z))))
18	16, 17	sylibr 200	1 |- (A e. H~ -> (bra` A) e. LinFn)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244   + caddc 5249   x. cmul 5251  H~chil 8783   +h cva 8784   .h csm 8785  LinFnclf 8818  bracbr 8820

This theorem is referenced by:  rnbra 10035  kbass4t 10047

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hfvmul 8870  ax-hfi 8941  ax-his2 8945  ax-his3 8946

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-lnfn 9769  df-bra 9771

Copyright terms: Public domain