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Theorem branmfn 23596
Description: The norm of the bra function. (Contributed by NM, 24-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
branmfn  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normfn `
 ( bra `  A
) )  =  (
normh `  A ) )

Proof of Theorem branmfn
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5719 . . . 4  |-  ( A  =  0h  ->  ( bra `  A )  =  ( bra `  0h ) )
21fveq2d 5723 . . 3  |-  ( A  =  0h  ->  ( normfn `
 ( bra `  A
) )  =  (
normfn `  ( bra `  0h ) ) )
3 fveq2 5719 . . 3  |-  ( A  =  0h  ->  ( normh `  A )  =  ( normh `  0h )
)
42, 3eqeq12d 2449 . 2  |-  ( A  =  0h  ->  (
( normfn `  ( bra `  A ) )  =  ( normh `  A )  <->  (
normfn `  ( bra `  0h ) )  =  (
normh `  0h ) ) )
5 brafn 23438 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( bra `  A ) : ~H --> CC )
6 nmfnval 23367 . . . . 5  |-  ( ( bra `  A ) : ~H --> CC  ->  (
normfn `  ( bra `  A
) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normfn `
 ( bra `  A
) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
87adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normfn `  ( bra `  A ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
9 nmfnsetre 23368 . . . . . . . 8  |-  ( ( bra `  A ) : ~H --> CC  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `  y
) ) ) } 
C_  RR )
105, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) }  C_  RR )
11 ressxr 9118 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR*
1210, 11syl6ss 3352 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) }  C_  RR* )
13 normcl 22615 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  A )  e.  RR )
1413rexrd 9123 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  A )  e. 
RR* )
1512, 14jca 519 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) }  C_  RR* 
/\  ( normh `  A
)  e.  RR* )
)
1615adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) }  C_  RR* 
/\  ( normh `  A
)  e.  RR* )
)
17 vex 2951 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
18 eqeq1 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
)  <->  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `
 y ) ) ) )
1918anbi2d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `
 y ) ) ) ) )
2019rexbidv 2718 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `  y
) ) ) ) )
2117, 20elab 3074 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `  y
) ) ) )
22 id 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
)  ->  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `
 y ) ) )
23 braval 23435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( bra `  A
) `  y )  =  ( y  .ih  A ) )
2423fveq2d 5723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
)  =  ( abs `  ( y  .ih  A
) ) )
2524adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( ( bra `  A ) `  y
) )  =  ( abs `  ( y 
.ih  A ) ) )
2622, 25sylan9eqr 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  /\  z  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  ->  z  =  ( abs `  (
y  .ih  A )
) )
27 bcs2 22672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  ->  ( abs `  ( y  .ih  A ) )  <_  ( normh `  A ) )
28273expa 1153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( y  .ih  A ) )  <_  ( normh `  A ) )
2928ancom1s 781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( y  .ih  A ) )  <_  ( normh `  A ) )
3029adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  /\  z  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  ->  ( abs `  ( y  .ih  A ) )  <_  ( normh `  A ) )
3126, 30eqbrtrd 4224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  /\  z  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  ->  z  <_  ( normh `  A )
)
3231exp41 594 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
y  e.  ~H  ->  ( ( normh `  y )  <_  1  ->  ( z  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
)  ->  z  <_  (
normh `  A ) ) ) ) )
3332imp4a 573 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
y  e.  ~H  ->  ( ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) )  ->  z  <_  ( normh `  A )
) ) )
3433rexlimdv 2821 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) )  ->  z  <_  ( normh `  A )
) )
3534imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) )  -> 
z  <_  ( normh `  A ) )
3621, 35sylan2b 462 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) } )  ->  z  <_  ( normh `  A ) )
3736ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <_  ( normh `  A
) )
3837adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <_  ( normh `  A
) )
3913recnd 9103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  A )  e.  CC )
4039adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  e.  CC )
41 normne0 22620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A )  =/=  0  <->  A  =/=  0h )
)
4241biimpar 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  =/=  0 )
4340, 42reccld 9772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  CC )
44 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  A  e.  ~H )
45 hvmulcl 22504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  ->  (
( 1  /  ( normh `  A ) )  .h  A )  e. 
~H )
4643, 44, 45syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A )  e.  ~H )
47 norm1 22739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  ( (
1  /  ( normh `  A ) )  .h  A ) )  =  1 )
48 1le1 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <_  1
4947, 48syl6eqbr 4241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  ( (
1  /  ( normh `  A ) )  .h  A ) )  <_ 
1 )
50 ax-his3 22574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  CC  /\  A  e.  ~H  /\  A  e. 
~H )  ->  (
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A ) 
.ih  A )  =  ( ( 1  / 
( normh `  A )
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )
5143, 44, 44, 50syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  .ih  A )  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  x.  ( A  .ih  A ) ) )
5213adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  e.  RR )
5352, 42rereccld 9830 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  RR )
54 hiidrcl 22585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  .ih  A )  e.  RR )
5554adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( A  .ih  A
)  e.  RR )
5653, 55remulcld 9105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  x.  ( A 
.ih  A ) )  e.  RR )
5751, 56eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  .ih  A )  e.  RR )
58 normgt0 22617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  =/=  0h  <->  0  <  (
normh `  A ) ) )
5958biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <  ( normh `  A ) )
6052, 59recgt0d 9934 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <  ( 1  /  ( normh `  A
) ) )
61 0re 9080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
62 ltle 9152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <  (
1  /  ( normh `  A ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( normh `  A
) ) ) )
6361, 62mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  RR  ->  ( 0  <  ( 1  / 
( normh `  A )
)  ->  0  <_  ( 1  /  ( normh `  A ) ) ) )
6453, 60, 63sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( normh `  A
) ) )
65 hiidge0 22588 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ~H  ->  0  <_  ( A  .ih  A
) )
6665adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <_  ( A  .ih  A ) )
6753, 55, 64, 66mulge0d 9592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <_  ( (
1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( A  .ih  A
) ) )
6867, 51breqtrrd 4230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <_  ( (
( 1  /  ( normh `  A ) )  .h  A )  .ih  A ) )
6957, 68absidd 12213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( abs `  (
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A ) 
.ih  A ) )  =  ( ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  .h  A )  .ih  A
) )
7040, 42recid2d 9775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  x.  ( normh `  A ) )  =  1 )
7170oveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( normh `  A
)  x.  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( normh `  A )
) )  =  ( ( normh `  A )  x.  1 ) )
7240, 43, 40mul12d 9264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( normh `  A
)  x.  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( normh `  A )
) )  =  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( ( normh `  A )  x.  ( normh `  A ) ) ) )
7339sqvald 11508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A ) ^ 2 )  =  ( ( normh `  A
)  x.  ( normh `  A ) ) )
74 normsq 22624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A ) ^ 2 )  =  ( A  .ih  A
) )
7573, 74eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A )  x.  ( normh `  A )
)  =  ( A 
.ih  A ) )
7675adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( normh `  A
)  x.  ( normh `  A ) )  =  ( A  .ih  A
) )
7776oveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  x.  ( (
normh `  A )  x.  ( normh `  A )
) )  =  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( A  .ih  A ) ) )
7872, 77eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( normh `  A
)  x.  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( normh `  A )
) )  =  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( A  .ih  A ) ) )
7939mulid1d 9094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A )  x.  1 )  =  (
normh `  A ) )
8079adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( normh `  A
)  x.  1 )  =  ( normh `  A
) )
8171, 78, 803eqtr3rd 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  x.  ( A  .ih  A ) ) )
8251, 69, 813eqtr4rd 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  =  ( abs `  (
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A ) 
.ih  A ) ) )
83 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  ->  ( normh `  y )  =  (
normh `  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
) ) )
8483breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  ->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  <->  ( normh `  (
( 1  /  ( normh `  A ) )  .h  A ) )  <_  1 ) )
85 oveq1 6079 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  ->  ( y  .ih  A )  =  ( ( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A ) 
.ih  A ) )
8685fveq2d 5723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  ->  ( abs `  ( y  .ih  A
) )  =  ( abs `  ( ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  .h  A )  .ih  A ) ) )
8786eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  ->  ( ( normh `  A )  =  ( abs `  (
y  .ih  A )
)  <->  ( normh `  A
)  =  ( abs `  ( ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  .ih  A )
) ) )
8884, 87anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  ->  ( (
( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  ( y 
.ih  A ) ) )  <->  ( ( normh `  ( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A ) )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A ) 
.ih  A ) ) ) ) )
8988rspcev 3044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A )  e.  ~H  /\  (
( normh `  ( (
1  /  ( normh `  A ) )  .h  A ) )  <_ 
1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  ( ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  .h  A )  .ih  A ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
y  .ih  A )
) ) )
9046, 49, 82, 89syl12anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
y  .ih  A )
) ) )
9124eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  A
)  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
)  <->  ( normh `  A
)  =  ( abs `  ( y  .ih  A
) ) ) )
9291anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  ( y 
.ih  A ) ) ) ) )
9392rexbidva 2714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
y  .ih  A )
) ) ) )
9493adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( E. y  e. 
~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
y  .ih  A )
) ) ) )
9590, 94mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) )
96 fvex 5733 . . . . . . . . . 10  |-  ( normh `  A )  e.  _V
97 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( normh `  A
)  ->  ( x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
)  <->  ( normh `  A
)  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) )
9897anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( normh `  A
)  ->  ( (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `
 y ) ) ) ) )
9998rexbidv 2718 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( normh `  A
)  ->  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) ) )
10096, 99elab 3074 . . . . . . . . 9  |-  ( (
normh `  A )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) )
10195, 100sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } )
102 breq2 4208 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( normh `  A
)  ->  ( z  <  w  <->  z  <  ( normh `  A ) ) )
103102rspcev 3044 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normh `  A )  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) }  /\  z  <  ( normh `  A
) )  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <  w )
104101, 103sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  /\  z  <  ( normh `  A ) )  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <  w )
105104adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  A  =/=  0h )  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( normh `  A )
)  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <  w )
106105ex 424 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  /\  z  e.  RR )  ->  ( z  < 
( normh `  A )  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `  y
) ) ) } z  <  w ) )
107106ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  A. z  e.  RR  ( z  <  ( normh `  A )  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <  w ) )
108 supxr2 10881 . . . 4  |-  ( ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) }  C_  RR* 
/\  ( normh `  A
)  e.  RR* )  /\  ( A. z  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <_  ( normh `  A
)  /\  A. z  e.  RR  ( z  < 
( normh `  A )  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `  y
) ) ) } z  <  w ) ) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } ,  RR* ,  <  )  =  ( normh `  A )
)
10916, 38, 107, 108syl12anc 1182 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) } ,  RR* ,  <  )  =  ( normh `  A )
)
1108, 109eqtrd 2467 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normfn `  ( bra `  A ) )  =  ( normh `  A )
)
111 nmfn0 23478 . . . 4  |-  ( normfn `  ( ~H  X.  {
0 } ) )  =  0
112 bra0 23441 . . . . 5  |-  ( bra `  0h )  =  ( ~H  X.  { 0 } )
113112fveq2i 5722 . . . 4  |-  ( normfn `  ( bra `  0h ) )  =  (
normfn `  ( ~H  X.  { 0 } ) )
114 norm0 22618 . . . 4  |-  ( normh `  0h )  =  0
115111, 113, 1143eqtr4i 2465 . . 3  |-  ( normfn `  ( bra `  0h ) )  =  (
normh `  0h )
116115a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normfn `
 ( bra `  0h ) )  =  (
normh `  0h ) )
1174, 110, 116pm2.61ne 2673 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normfn `
 ( bra `  A
) )  =  (
normh `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   {csn 3806   class class class wbr 4204    X. cxp 4867   -->wf 5441   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   supcsup 7436   CCcc 8977   RRcr 8978   0cc0 8979   1c1 8980    x. cmul 8984   RR*cxr 9108    < clt 9109    <_ cle 9110    / cdiv 9666   2c2 10038   ^cexp 11370   abscabs 12027   ~Hchil 22410    .h csm 22412    .ih csp 22413   normhcno 22414   0hc0v 22415   normfncnmf 22442   bracbr 22447
This theorem is referenced by:  brabn  23597
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059  ax-hilex 22490  ax-hfvadd 22491  ax-hvcom 22492  ax-hvass 22493  ax-hv0cl 22494  ax-hvaddid 22495  ax-hfvmul 22496  ax-hvmulid 22497  ax-hvmulass 22498  ax-hvdistr1 22499  ax-hvdistr2 22500  ax-hvmul0 22501  ax-hfi 22569  ax-his1 22572  ax-his2 22573  ax-his3 22574  ax-his4 22575
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ioo 10909  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-seq 11312  df-exp 11371  df-hash 11607  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-clim 12270  df-sum 12468  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-pt 13656  df-prds 13659  df-xrs 13714  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-qtop 13721  df-imas 13722  df-xps 13724  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-mulg 14803  df-cntz 15104  df-cmn 15402  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-cnfld 16692  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-t1 17366  df-haus 17367  df-tx 17582  df-hmeo 17775  df-xms 18338  df-ms 18339  df-tms 18340  df-grpo 21767  df-gid 21768  df-ginv 21769  df-gdiv 21770  df-ablo 21858  df-vc 22013  df-nv 22059  df-va 22062  df-ba 22063  df-sm 22064  df-0v 22065  df-vs 22066  df-nmcv 22067  df-ims 22068  df-dip 22185  df-ph 22302  df-hnorm 22459  df-hba 22460  df-hvsub 22462  df-nmfn 23336  df-lnfn 23339  df-bra 23341
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