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Theorem branmfn 23456
Description: The norm of the bra function. (Contributed by NM, 24-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
branmfn  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normfn `
 ( bra `  A
) )  =  (
normh `  A ) )

Proof of Theorem branmfn
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5668 . . . 4  |-  ( A  =  0h  ->  ( bra `  A )  =  ( bra `  0h ) )
21fveq2d 5672 . . 3  |-  ( A  =  0h  ->  ( normfn `
 ( bra `  A
) )  =  (
normfn `  ( bra `  0h ) ) )
3 fveq2 5668 . . 3  |-  ( A  =  0h  ->  ( normh `  A )  =  ( normh `  0h )
)
42, 3eqeq12d 2401 . 2  |-  ( A  =  0h  ->  (
( normfn `  ( bra `  A ) )  =  ( normh `  A )  <->  (
normfn `  ( bra `  0h ) )  =  (
normh `  0h ) ) )
5 brafn 23298 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( bra `  A ) : ~H --> CC )
6 nmfnval 23227 . . . . 5  |-  ( ( bra `  A ) : ~H --> CC  ->  (
normfn `  ( bra `  A
) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normfn `
 ( bra `  A
) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
87adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normfn `  ( bra `  A ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
9 nmfnsetre 23228 . . . . . . . 8  |-  ( ( bra `  A ) : ~H --> CC  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `  y
) ) ) } 
C_  RR )
105, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) }  C_  RR )
11 ressxr 9062 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR*
1210, 11syl6ss 3303 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) }  C_  RR* )
13 normcl 22475 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  A )  e.  RR )
1413rexrd 9067 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  A )  e. 
RR* )
1512, 14jca 519 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) }  C_  RR* 
/\  ( normh `  A
)  e.  RR* )
)
1615adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) }  C_  RR* 
/\  ( normh `  A
)  e.  RR* )
)
17 vex 2902 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
18 eqeq1 2393 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
)  <->  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `
 y ) ) ) )
1918anbi2d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `
 y ) ) ) ) )
2019rexbidv 2670 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `  y
) ) ) ) )
2117, 20elab 3025 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `  y
) ) ) )
22 id 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
)  ->  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `
 y ) ) )
23 braval 23295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( bra `  A
) `  y )  =  ( y  .ih  A ) )
2423fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
)  =  ( abs `  ( y  .ih  A
) ) )
2524adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( ( bra `  A ) `  y
) )  =  ( abs `  ( y 
.ih  A ) ) )
2622, 25sylan9eqr 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  /\  z  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  ->  z  =  ( abs `  (
y  .ih  A )
) )
27 bcs2 22532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  ->  ( abs `  ( y  .ih  A ) )  <_  ( normh `  A ) )
28273expa 1153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( y  .ih  A ) )  <_  ( normh `  A ) )
2928ancom1s 781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( y  .ih  A ) )  <_  ( normh `  A ) )
3029adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  /\  z  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  ->  ( abs `  ( y  .ih  A ) )  <_  ( normh `  A ) )
3126, 30eqbrtrd 4173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  /\  z  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  ->  z  <_  ( normh `  A )
)
3231exp41 594 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
y  e.  ~H  ->  ( ( normh `  y )  <_  1  ->  ( z  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
)  ->  z  <_  (
normh `  A ) ) ) ) )
3332imp4a 573 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
y  e.  ~H  ->  ( ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) )  ->  z  <_  ( normh `  A )
) ) )
3433rexlimdv 2772 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) )  ->  z  <_  ( normh `  A )
) )
3534imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) )  -> 
z  <_  ( normh `  A ) )
3621, 35sylan2b 462 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) } )  ->  z  <_  ( normh `  A ) )
3736ralrimiva 2732 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <_  ( normh `  A
) )
3837adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <_  ( normh `  A
) )
3913recnd 9047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  A )  e.  CC )
4039adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  e.  CC )
41 normne0 22480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A )  =/=  0  <->  A  =/=  0h )
)
4241biimpar 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  =/=  0 )
4340, 42reccld 9715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  CC )
44 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  A  e.  ~H )
45 hvmulcl 22364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  ->  (
( 1  /  ( normh `  A ) )  .h  A )  e. 
~H )
4643, 44, 45syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A )  e.  ~H )
47 norm1 22599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  ( (
1  /  ( normh `  A ) )  .h  A ) )  =  1 )
48 1le1 9582 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <_  1
4947, 48syl6eqbr 4190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  ( (
1  /  ( normh `  A ) )  .h  A ) )  <_ 
1 )
50 ax-his3 22434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  CC  /\  A  e.  ~H  /\  A  e. 
~H )  ->  (
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A ) 
.ih  A )  =  ( ( 1  / 
( normh `  A )
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )
5143, 44, 44, 50syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  .ih  A )  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  x.  ( A  .ih  A ) ) )
5213adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  e.  RR )
5352, 42rereccld 9773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  RR )
54 hiidrcl 22445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  .ih  A )  e.  RR )
5554adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( A  .ih  A
)  e.  RR )
5653, 55remulcld 9049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  x.  ( A 
.ih  A ) )  e.  RR )
5751, 56eqeltrd 2461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  .ih  A )  e.  RR )
58 normgt0 22477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  =/=  0h  <->  0  <  (
normh `  A ) ) )
5958biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <  ( normh `  A ) )
6052, 59recgt0d 9877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <  ( 1  /  ( normh `  A
) ) )
61 0re 9024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
62 ltle 9096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <  (
1  /  ( normh `  A ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( normh `  A
) ) ) )
6361, 62mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  RR  ->  ( 0  <  ( 1  / 
( normh `  A )
)  ->  0  <_  ( 1  /  ( normh `  A ) ) ) )
6453, 60, 63sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( normh `  A
) ) )
65 hiidge0 22448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ~H  ->  0  <_  ( A  .ih  A
) )
6665adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <_  ( A  .ih  A ) )
6753, 55, 64, 66mulge0d 9535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <_  ( (
1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( A  .ih  A
) ) )
6867, 51breqtrrd 4179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <_  ( (
( 1  /  ( normh `  A ) )  .h  A )  .ih  A ) )
6957, 68absidd 12152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( abs `  (
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A ) 
.ih  A ) )  =  ( ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  .h  A )  .ih  A
) )
7040, 42recid2d 9718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  x.  ( normh `  A ) )  =  1 )
7170oveq2d 6036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( normh `  A
)  x.  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( normh `  A )
) )  =  ( ( normh `  A )  x.  1 ) )
7240, 43, 40mul12d 9207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( normh `  A
)  x.  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( normh `  A )
) )  =  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( ( normh `  A )  x.  ( normh `  A ) ) ) )
7339sqvald 11447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A ) ^ 2 )  =  ( ( normh `  A
)  x.  ( normh `  A ) ) )
74 normsq 22484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A ) ^ 2 )  =  ( A  .ih  A
) )
7573, 74eqtr3d 2421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A )  x.  ( normh `  A )
)  =  ( A 
.ih  A ) )
7675adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( normh `  A
)  x.  ( normh `  A ) )  =  ( A  .ih  A
) )
7776oveq2d 6036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  x.  ( (
normh `  A )  x.  ( normh `  A )
) )  =  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( A  .ih  A ) ) )
7872, 77eqtrd 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( normh `  A
)  x.  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( normh `  A )
) )  =  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( A  .ih  A ) ) )
7939mulid1d 9038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A )  x.  1 )  =  (
normh `  A ) )
8079adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( normh `  A
)  x.  1 )  =  ( normh `  A
) )
8171, 78, 803eqtr3rd 2428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  x.  ( A  .ih  A ) ) )
8251, 69, 813eqtr4rd 2430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  =  ( abs `  (
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A ) 
.ih  A ) ) )
83 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  ->  ( normh `  y )  =  (
normh `  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
) ) )
8483breq1d 4163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  ->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  <->  ( normh `  (
( 1  /  ( normh `  A ) )  .h  A ) )  <_  1 ) )
85 oveq1 6027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  ->  ( y  .ih  A )  =  ( ( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A ) 
.ih  A ) )
8685fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  ->  ( abs `  ( y  .ih  A
) )  =  ( abs `  ( ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  .h  A )  .ih  A ) ) )
8786eqeq2d 2398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  ->  ( ( normh `  A )  =  ( abs `  (
y  .ih  A )
)  <->  ( normh `  A
)  =  ( abs `  ( ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  .ih  A )
) ) )
8884, 87anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  ->  ( (
( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  ( y 
.ih  A ) ) )  <->  ( ( normh `  ( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A ) )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A ) 
.ih  A ) ) ) ) )
8988rspcev 2995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A )  e.  ~H  /\  (
( normh `  ( (
1  /  ( normh `  A ) )  .h  A ) )  <_ 
1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  ( ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  .h  A )  .ih  A ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
y  .ih  A )
) ) )
9046, 49, 82, 89syl12anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
y  .ih  A )
) ) )
9124eqeq2d 2398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  A
)  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
)  <->  ( normh `  A
)  =  ( abs `  ( y  .ih  A
) ) ) )
9291anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  ( y 
.ih  A ) ) ) ) )
9392rexbidva 2666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
y  .ih  A )
) ) ) )
9493adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( E. y  e. 
~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
y  .ih  A )
) ) ) )
9590, 94mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) )
96 fvex 5682 . . . . . . . . . 10  |-  ( normh `  A )  e.  _V
97 eqeq1 2393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( normh `  A
)  ->  ( x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
)  <->  ( normh `  A
)  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) )
9897anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( normh `  A
)  ->  ( (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `
 y ) ) ) ) )
9998rexbidv 2670 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( normh `  A
)  ->  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) ) )
10096, 99elab 3025 . . . . . . . . 9  |-  ( (
normh `  A )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) )
10195, 100sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } )
102 breq2 4157 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( normh `  A
)  ->  ( z  <  w  <->  z  <  ( normh `  A ) ) )
103102rspcev 2995 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normh `  A )  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) }  /\  z  <  ( normh `  A
) )  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <  w )
104101, 103sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  /\  z  <  ( normh `  A ) )  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <  w )
105104adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  A  =/=  0h )  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( normh `  A )
)  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <  w )
106105ex 424 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  /\  z  e.  RR )  ->  ( z  < 
( normh `  A )  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `  y
) ) ) } z  <  w ) )
107106ralrimiva 2732 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  A. z  e.  RR  ( z  <  ( normh `  A )  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <  w ) )
108 supxr2 10824 . . . 4  |-  ( ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) }  C_  RR* 
/\  ( normh `  A
)  e.  RR* )  /\  ( A. z  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <_  ( normh `  A
)  /\  A. z  e.  RR  ( z  < 
( normh `  A )  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `  y
) ) ) } z  <  w ) ) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } ,  RR* ,  <  )  =  ( normh `  A )
)
10916, 38, 107, 108syl12anc 1182 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) } ,  RR* ,  <  )  =  ( normh `  A )
)
1108, 109eqtrd 2419 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normfn `  ( bra `  A ) )  =  ( normh `  A )
)
111 nmfn0 23338 . . . 4  |-  ( normfn `  ( ~H  X.  {
0 } ) )  =  0
112 bra0 23301 . . . . 5  |-  ( bra `  0h )  =  ( ~H  X.  { 0 } )
113112fveq2i 5671 . . . 4  |-  ( normfn `  ( bra `  0h ) )  =  (
normfn `  ( ~H  X.  { 0 } ) )
114 norm0 22478 . . . 4  |-  ( normh `  0h )  =  0
115111, 113, 1143eqtr4i 2417 . . 3  |-  ( normfn `  ( bra `  0h ) )  =  (
normh `  0h )
116115a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normfn `
 ( bra `  0h ) )  =  (
normh `  0h ) )
1174, 110, 116pm2.61ne 2625 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normfn `
 ( bra `  A
) )  =  (
normh `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2373    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650    C_ wss 3263   {csn 3757   class class class wbr 4153    X. cxp 4816   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   supcsup 7380   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    x. cmul 8928   RR*cxr 9052    < clt 9053    <_ cle 9054    / cdiv 9609   2c2 9981   ^cexp 11309   abscabs 11966   ~Hchil 22270    .h csm 22272    .ih csp 22273   normhcno 22274   0hc0v 22275   normfncnmf 22302   bracbr 22307
This theorem is referenced by:  brabn  23457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003  ax-hilex 22350  ax-hfvadd 22351  ax-hvcom 22352  ax-hvass 22353  ax-hv0cl 22354  ax-hvaddid 22355  ax-hfvmul 22356  ax-hvmulid 22357  ax-hvmulass 22358  ax-hvdistr1 22359  ax-hvdistr2 22360  ax-hvmul0 22361  ax-hfi 22429  ax-his1 22432  ax-his2 22433  ax-his3 22434  ax-his4 22435
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-sum 12407  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-hom 13480  df-cco 13481  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-prds 13598  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-qtop 13660  df-imas 13661  df-xps 13663  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-mulg 14742  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-t1 17300  df-haus 17301  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-xms 18259  df-ms 18260  df-tms 18261  df-grpo 21627  df-gid 21628  df-ginv 21629  df-gdiv 21630  df-ablo 21718  df-vc 21873  df-nv 21919  df-va 21922  df-ba 21923  df-sm 21924  df-0v 21925  df-vs 21926  df-nmcv 21927  df-ims 21928  df-dip 22045  df-ph 22162  df-hnorm 22319  df-hba 22320  df-hvsub 22322  df-nmfn 23196  df-lnfn 23199  df-bra 23201
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