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Theorem branmfn 23639
Description: The norm of the bra function. (Contributed by NM, 24-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
branmfn  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normfn `
 ( bra `  A
) )  =  (
normh `  A ) )

Proof of Theorem branmfn
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5757 . . . 4  |-  ( A  =  0h  ->  ( bra `  A )  =  ( bra `  0h ) )
21fveq2d 5761 . . 3  |-  ( A  =  0h  ->  ( normfn `
 ( bra `  A
) )  =  (
normfn `  ( bra `  0h ) ) )
3 fveq2 5757 . . 3  |-  ( A  =  0h  ->  ( normh `  A )  =  ( normh `  0h )
)
42, 3eqeq12d 2456 . 2  |-  ( A  =  0h  ->  (
( normfn `  ( bra `  A ) )  =  ( normh `  A )  <->  (
normfn `  ( bra `  0h ) )  =  (
normh `  0h ) ) )
5 brafn 23481 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( bra `  A ) : ~H --> CC )
6 nmfnval 23410 . . . . 5  |-  ( ( bra `  A ) : ~H --> CC  ->  (
normfn `  ( bra `  A
) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normfn `
 ( bra `  A
) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
87adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normfn `  ( bra `  A ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
9 nmfnsetre 23411 . . . . . . . 8  |-  ( ( bra `  A ) : ~H --> CC  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `  y
) ) ) } 
C_  RR )
105, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) }  C_  RR )
11 ressxr 9160 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR*
1210, 11syl6ss 3346 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) }  C_  RR* )
13 normcl 22658 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  A )  e.  RR )
1413rexrd 9165 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  A )  e. 
RR* )
1512, 14jca 520 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) }  C_  RR* 
/\  ( normh `  A
)  e.  RR* )
)
1615adantr 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) }  C_  RR* 
/\  ( normh `  A
)  e.  RR* )
)
17 vex 2965 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
18 eqeq1 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
)  <->  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `
 y ) ) ) )
1918anbi2d 686 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `
 y ) ) ) ) )
2019rexbidv 2732 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `  y
) ) ) ) )
2117, 20elab 3088 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `  y
) ) ) )
22 id 21 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
)  ->  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `
 y ) ) )
23 braval 23478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( bra `  A
) `  y )  =  ( y  .ih  A ) )
2423fveq2d 5761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
)  =  ( abs `  ( y  .ih  A
) ) )
2524adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( ( bra `  A ) `  y
) )  =  ( abs `  ( y 
.ih  A ) ) )
2622, 25sylan9eqr 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  /\  z  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  ->  z  =  ( abs `  (
y  .ih  A )
) )
27 bcs2 22715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  ->  ( abs `  ( y  .ih  A ) )  <_  ( normh `  A ) )
28273expa 1154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( y  .ih  A ) )  <_  ( normh `  A ) )
2928ancom1s 782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( y  .ih  A ) )  <_  ( normh `  A ) )
3029adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  /\  z  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  ->  ( abs `  ( y  .ih  A ) )  <_  ( normh `  A ) )
3126, 30eqbrtrd 4257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  /\  z  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  ->  z  <_  ( normh `  A )
)
3231exp41 595 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
y  e.  ~H  ->  ( ( normh `  y )  <_  1  ->  ( z  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
)  ->  z  <_  (
normh `  A ) ) ) ) )
3332imp4a 574 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
y  e.  ~H  ->  ( ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) )  ->  z  <_  ( normh `  A )
) ) )
3433rexlimdv 2835 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) )  ->  z  <_  ( normh `  A )
) )
3534imp 420 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) )  -> 
z  <_  ( normh `  A ) )
3621, 35sylan2b 463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) } )  ->  z  <_  ( normh `  A ) )
3736ralrimiva 2795 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <_  ( normh `  A
) )
3837adantr 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <_  ( normh `  A
) )
3913recnd 9145 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  A )  e.  CC )
4039adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  e.  CC )
41 normne0 22663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A )  =/=  0  <->  A  =/=  0h )
)
4241biimpar 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  =/=  0 )
4340, 42reccld 9814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  CC )
44 simpl 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  A  e.  ~H )
45 hvmulcl 22547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  ->  (
( 1  /  ( normh `  A ) )  .h  A )  e. 
~H )
4643, 44, 45syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A )  e.  ~H )
47 norm1 22782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  ( (
1  /  ( normh `  A ) )  .h  A ) )  =  1 )
48 1le1 9681 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <_  1
4947, 48syl6eqbr 4274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  ( (
1  /  ( normh `  A ) )  .h  A ) )  <_ 
1 )
50 ax-his3 22617 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  CC  /\  A  e.  ~H  /\  A  e. 
~H )  ->  (
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A ) 
.ih  A )  =  ( ( 1  / 
( normh `  A )
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )
5143, 44, 44, 50syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  .ih  A )  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  x.  ( A  .ih  A ) ) )
5213adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  e.  RR )
5352, 42rereccld 9872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  RR )
54 hiidrcl 22628 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  .ih  A )  e.  RR )
5554adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( A  .ih  A
)  e.  RR )
5653, 55remulcld 9147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  x.  ( A 
.ih  A ) )  e.  RR )
5751, 56eqeltrd 2516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  .ih  A )  e.  RR )
58 normgt0 22660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  =/=  0h  <->  0  <  (
normh `  A ) ) )
5958biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <  ( normh `  A ) )
6052, 59recgt0d 9976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <  ( 1  /  ( normh `  A
) ) )
61 0re 9122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
62 ltle 9194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <  (
1  /  ( normh `  A ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( normh `  A
) ) ) )
6361, 62mpan 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  RR  ->  ( 0  <  ( 1  / 
( normh `  A )
)  ->  0  <_  ( 1  /  ( normh `  A ) ) ) )
6453, 60, 63sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( normh `  A
) ) )
65 hiidge0 22631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ~H  ->  0  <_  ( A  .ih  A
) )
6665adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <_  ( A  .ih  A ) )
6753, 55, 64, 66mulge0d 9634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <_  ( (
1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( A  .ih  A
) ) )
6867, 51breqtrrd 4263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <_  ( (
( 1  /  ( normh `  A ) )  .h  A )  .ih  A ) )
6957, 68absidd 12256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( abs `  (
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A ) 
.ih  A ) )  =  ( ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  .h  A )  .ih  A
) )
7040, 42recid2d 9817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  x.  ( normh `  A ) )  =  1 )
7170oveq2d 6126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( normh `  A
)  x.  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( normh `  A )
) )  =  ( ( normh `  A )  x.  1 ) )
7240, 43, 40mul12d 9306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( normh `  A
)  x.  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( normh `  A )
) )  =  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( ( normh `  A )  x.  ( normh `  A ) ) ) )
7339sqvald 11551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A ) ^ 2 )  =  ( ( normh `  A
)  x.  ( normh `  A ) ) )
74 normsq 22667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A ) ^ 2 )  =  ( A  .ih  A
) )
7573, 74eqtr3d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A )  x.  ( normh `  A )
)  =  ( A 
.ih  A ) )
7675adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( normh `  A
)  x.  ( normh `  A ) )  =  ( A  .ih  A
) )
7776oveq2d 6126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  x.  ( (
normh `  A )  x.  ( normh `  A )
) )  =  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( A  .ih  A ) ) )
7872, 77eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( normh `  A
)  x.  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( normh `  A )
) )  =  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( A  .ih  A ) ) )
7939mulid1d 9136 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A )  x.  1 )  =  (
normh `  A ) )
8079adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( normh `  A
)  x.  1 )  =  ( normh `  A
) )
8171, 78, 803eqtr3rd 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  x.  ( A  .ih  A ) ) )
8251, 69, 813eqtr4rd 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  =  ( abs `  (
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A ) 
.ih  A ) ) )
83 fveq2 5757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  ->  ( normh `  y )  =  (
normh `  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
) ) )
8483breq1d 4247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  ->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  <->  ( normh `  (
( 1  /  ( normh `  A ) )  .h  A ) )  <_  1 ) )
85 oveq1 6117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  ->  ( y  .ih  A )  =  ( ( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A ) 
.ih  A ) )
8685fveq2d 5761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  ->  ( abs `  ( y  .ih  A
) )  =  ( abs `  ( ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  .h  A )  .ih  A ) ) )
8786eqeq2d 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  ->  ( ( normh `  A )  =  ( abs `  (
y  .ih  A )
)  <->  ( normh `  A
)  =  ( abs `  ( ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  .ih  A )
) ) )
8884, 87anbi12d 693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  ->  ( (
( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  ( y 
.ih  A ) ) )  <->  ( ( normh `  ( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A ) )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A ) 
.ih  A ) ) ) ) )
8988rspcev 3058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A )  e.  ~H  /\  (
( normh `  ( (
1  /  ( normh `  A ) )  .h  A ) )  <_ 
1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  ( ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  .h  A )  .ih  A ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
y  .ih  A )
) ) )
9046, 49, 82, 89syl12anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
y  .ih  A )
) ) )
9124eqeq2d 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  A
)  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
)  <->  ( normh `  A
)  =  ( abs `  ( y  .ih  A
) ) ) )
9291anbi2d 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  ( y 
.ih  A ) ) ) ) )
9392rexbidva 2728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
y  .ih  A )
) ) ) )
9493adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( E. y  e. 
~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
y  .ih  A )
) ) ) )
9590, 94mpbird 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) )
96 fvex 5771 . . . . . . . . . 10  |-  ( normh `  A )  e.  _V
97 eqeq1 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( normh `  A
)  ->  ( x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
)  <->  ( normh `  A
)  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) )
9897anbi2d 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( normh `  A
)  ->  ( (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `
 y ) ) ) ) )
9998rexbidv 2732 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( normh `  A
)  ->  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) ) )
10096, 99elab 3088 . . . . . . . . 9  |-  ( (
normh `  A )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) )
10195, 100sylibr 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } )
102 breq2 4241 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( normh `  A
)  ->  ( z  <  w  <->  z  <  ( normh `  A ) ) )
103102rspcev 3058 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normh `  A )  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) }  /\  z  <  ( normh `  A
) )  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <  w )
104101, 103sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  /\  z  <  ( normh `  A ) )  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <  w )
105104adantlr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  A  =/=  0h )  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( normh `  A )
)  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <  w )
106105ex 425 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  /\  z  e.  RR )  ->  ( z  < 
( normh `  A )  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `  y
) ) ) } z  <  w ) )
107106ralrimiva 2795 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  A. z  e.  RR  ( z  <  ( normh `  A )  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <  w ) )
108 supxr2 10923 . . . 4  |-  ( ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) }  C_  RR* 
/\  ( normh `  A
)  e.  RR* )  /\  ( A. z  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <_  ( normh `  A
)  /\  A. z  e.  RR  ( z  < 
( normh `  A )  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `  y
) ) ) } z  <  w ) ) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } ,  RR* ,  <  )  =  ( normh `  A )
)
10916, 38, 107, 108syl12anc 1183 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) } ,  RR* ,  <  )  =  ( normh `  A )
)
1108, 109eqtrd 2474 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normfn `  ( bra `  A ) )  =  ( normh `  A )
)
111 nmfn0 23521 . . . 4  |-  ( normfn `  ( ~H  X.  {
0 } ) )  =  0
112 bra0 23484 . . . . 5  |-  ( bra `  0h )  =  ( ~H  X.  { 0 } )
113112fveq2i 5760 . . . 4  |-  ( normfn `  ( bra `  0h ) )  =  (
normfn `  ( ~H  X.  { 0 } ) )
114 norm0 22661 . . . 4  |-  ( normh `  0h )  =  0
115111, 113, 1143eqtr4i 2472 . . 3  |-  ( normfn `  ( bra `  0h ) )  =  (
normh `  0h )
116115a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normfn `
 ( bra `  0h ) )  =  (
normh `  0h ) )
1174, 110, 116pm2.61ne 2685 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normfn `
 ( bra `  A
) )  =  (
normh `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   {cab 2428    =/= wne 2605   A.wral 2711   E.wrex 2712    C_ wss 3306   {csn 3838   class class class wbr 4237    X. cxp 4905   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   supcsup 7474   CCcc 9019   RRcr 9020   0cc0 9021   1c1 9022    x. cmul 9026   RR*cxr 9150    < clt 9151    <_ cle 9152    / cdiv 9708   2c2 10080   ^cexp 11413   abscabs 12070   ~Hchil 22453    .h csm 22455    .ih csp 22456   normhcno 22457   0hc0v 22458   normfncnmf 22485   bracbr 22490
This theorem is referenced by:  brabn  23640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099  ax-addf 9100  ax-mulf 9101  ax-hilex 22533  ax-hfvadd 22534  ax-hvcom 22535  ax-hvass 22536  ax-hv0cl 22537  ax-hvaddid 22538  ax-hfvmul 22539  ax-hvmulid 22540  ax-hvmulass 22541  ax-hvdistr1 22542  ax-hvdistr2 22543  ax-hvmul0 22544  ax-hfi 22612  ax-his1 22615  ax-his2 22616  ax-his3 22617  ax-his4 22618
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-ioo 10951  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-clim 12313  df-sum 12511  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-hom 13584  df-cco 13585  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-pt 13699  df-prds 13702  df-xrs 13757  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-qtop 13764  df-imas 13765  df-xps 13767  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-mulg 14846  df-cntz 15147  df-cmn 15445  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-cnfld 16735  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-topsp 16998  df-cld 17114  df-ntr 17115  df-cls 17116  df-cn 17322  df-cnp 17323  df-t1 17409  df-haus 17410  df-tx 17625  df-hmeo 17818  df-xms 18381  df-ms 18382  df-tms 18383  df-grpo 21810  df-gid 21811  df-ginv 21812  df-gdiv 21813  df-ablo 21901  df-vc 22056  df-nv 22102  df-va 22105  df-ba 22106  df-sm 22107  df-0v 22108  df-vs 22109  df-nmcv 22110  df-ims 22111  df-dip 22228  df-ph 22345  df-hnorm 22502  df-hba 22503  df-hvsub 22505  df-nmfn 23379  df-lnfn 23382  df-bra 23384
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