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Theorem brbtwn 25830
Description: The binary relationship form of the betweenness predicate. The statement  A  Btwn  <. B ,  C >. should be informally read as " A lies on a line segment between  B and  C. This exact definition is abstracted away by Tarski's geometry axioms later on. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
brbtwn  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( A  Btwn  <. B ,  C >.  <->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( A `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, N, t    A, i, t    B, i, t    C, i, t

Proof of Theorem brbtwn
Dummy variables  n  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-btwn 25823 . . 3  |-  Btwn  =  `' { <. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) }
21breqi 4210 . 2  |-  ( A 
Btwn  <. B ,  C >.  <-> 
A `' { <. <.
y ,  z >. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  (
( y  e.  ( EE `  n )  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } <. B ,  C >. )
3 opex 4419 . . . . 5  |-  <. B ,  C >.  e.  _V
4 brcnvg 5045 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  <. B ,  C >.  e. 
_V )  ->  ( A `' { <. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } <. B ,  C >. 
<-> 
<. B ,  C >. {
<. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } A ) )
53, 4mpan2 653 . . . 4  |-  ( A  e.  ( EE `  N )  ->  ( A `' { <. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } <. B ,  C >. 
<-> 
<. B ,  C >. {
<. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } A ) )
653ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( A `' { <. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } <. B ,  C >. 
<-> 
<. B ,  C >. {
<. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } A ) )
7 df-br 4205 . . . 4  |-  ( <. B ,  C >. {
<. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } A  <->  <. <. B ,  C >. ,  A >.  e. 
{ <. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } )
8 eleq1 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  ( EE
`  n )  <->  B  e.  ( EE `  n ) ) )
983anbi1d 1258 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
( y  e.  ( EE `  n )  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  <->  ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) ) ) )
10 fveq1 5719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  B  ->  (
y `  i )  =  ( B `  i ) )
1110oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  B  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( y `
 i ) )  =  ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i
) ) )
1211oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  (
z `  i )
) ) )
1312eqeq2d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
( x `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( y `
 i ) )  +  ( t  x.  ( z `  i
) ) )  <->  ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) )
1413rexralbidv 2741 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... n ) ( x `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( y `
 i ) )  +  ( t  x.  ( z `  i
) ) )  <->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) )
159, 14anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) )  <->  ( ( B  e.  ( EE `  n )  /\  z  e.  ( EE `  n
)  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) ) )
1615rexbidv 2718 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) ) )
17 eleq1 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  C  ->  (
z  e.  ( EE
`  n )  <->  C  e.  ( EE `  n ) ) )
18173anbi2d 1259 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  C  ->  (
( B  e.  ( EE `  n )  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  <->  ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) ) ) )
19 fveq1 5719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  C  ->  (
z `  i )  =  ( C `  i ) )
2019oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  C  ->  (
t  x.  ( z `
 i ) )  =  ( t  x.  ( C `  i
) ) )
2120oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  C  ->  (
( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i )
) ) )
2221eqeq2d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  C  ->  (
( x `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( z `  i
) ) )  <->  ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
2322rexralbidv 2741 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  C  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... n ) ( x `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( z `  i
) ) )  <->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
2418, 23anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  C  ->  (
( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) )  <->  ( ( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n
)  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) ) )
2524rexbidv 2718 . . . . . . 7  |-  ( z  =  C  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) ) )
26 eleq1 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  ( EE
`  n )  <->  A  e.  ( EE `  n ) ) )
27263anbi3d 1260 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  <->  ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  A  e.  ( EE `  n ) ) ) )
28 fveq1 5719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  (
x `  i )  =  ( A `  i ) )
2928eqeq1d 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
( x `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) )  <->  ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
3029rexralbidv 2741 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... n ) ( x `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) )  <->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
3127, 30anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) )  <->  ( ( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n
)  /\  A  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) ) )
3231rexbidv 2718 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  A  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) ) )
3316, 25, 32eloprabg 6153 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( <. <. B ,  C >. ,  A >.  e.  { <. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) }  <->  E. n  e.  NN  ( ( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n
)  /\  A  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) ) )
34 simp1 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  n )  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  A  e.  ( EE `  n
) )  ->  B  e.  ( EE `  n
) )
35 simp1 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
36 eedimeq 25829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  n )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  ->  n  =  N )
3734, 35, 36syl2anr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n
)  /\  A  e.  ( EE `  n ) ) )  ->  n  =  N )
38 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  N  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... N
) )
3938raleqdv 2902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  N  ->  ( A. i  e.  (
1 ... n ) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i )
) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
4039rexbidv 2718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  N  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... n ) ( A `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) )  <->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
4137, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n
)  /\  A  e.  ( EE `  n ) ) )  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... n ) ( A `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) )  <->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
4241biimpd 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n
)  /\  A  e.  ( EE `  n ) ) )  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... n ) ( A `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) )  ->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( A `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) ) ) )
4342expimpd 587 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  A  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
4443rexlimdvw 2825 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( EE
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) )  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  A  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
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)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
45 eleenn 25827 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( EE `  N )  ->  N  e.  NN )
46453ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  N  e.  NN )
47 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  N  ->  ( EE `  n )  =  ( EE `  N
) )
4847eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  N  ->  ( B  e.  ( EE `  n )  <->  B  e.  ( EE `  N ) ) )
4947eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  N  ->  ( C  e.  ( EE `  n )  <->  C  e.  ( EE `  N ) ) )
5047eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  N  ->  ( A  e.  ( EE `  n )  <->  A  e.  ( EE `  N ) ) )
5148, 49, 503anbi123d 1254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  N  ->  (
( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  A  e.  ( EE `  n ) )  <->  ( B  e.  ( EE `  N
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5251, 40anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( B  e.  ( EE `  n
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5352rspcev 3044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( B  e.  ( EE `  N
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5453exp32 589 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i )
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5546, 54mpcom 34 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( A `  i
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5644, 55impbid 184 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( EE
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>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
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y `  i )
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) A. i  e.  ( 1 ... N
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)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
58573comr 1161 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
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) )  ->  ( <. <. B ,  C >. ,  A >.  e.  { <. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
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y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) }  <->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
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597, 58syl5bb 249 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( EE
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) )  ->  ( <. B ,  C >. {
<. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
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y `  i )
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) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
606, 59bitrd 245 . 2  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( A `' { <. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
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y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } <. B ,  C >. 
<->  E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( A `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) ) ) )
612, 60syl5bb 249 1  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( A  Btwn  <. B ,  C >.  <->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( A `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948   <.cop 3809   class class class wbr 4204   `'ccnv 4869   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   {coprab 6074   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    - cmin 9283   NNcn 9992   [,]cicc 10911   ...cfz 11035   EEcee 25819    Btwn cbtwn 25820
This theorem is referenced by:  brbtwn2  25836  axsegcon  25858  ax5seg  25869  axbtwnid  25870  axpasch  25872  axeuclid  25894  axcontlem2  25896  axcontlem4  25898  axcontlem7  25901  axcontlem8  25902
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-ee 25822  df-btwn 25823
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