Theorem brdom2 4529

Description: Dominance in terms of strict dominance and equinumerosity. Theorem 22(iv) of [Suppes] p. 97.

Assertion

Ref	Expression
brdom2	|- (A ~<_ B <-> (A ~< B \/ A ~~ B))

Proof of Theorem brdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdom2 4525	. . 3 |- ~<_ = ( ~< u. ~~ )
2	1	eleq2i 1581	. 2 |- (<.A, B>. e. ~<_ <-> <.A, B>. e. ( ~< u. ~~ ))
3		df-br 2693	. 2 |- (A ~<_ B <-> <.A, B>. e. ~<_ )
4		df-br 2693	. . . 4 |- (A ~< B <-> <.A, B>. e. ~< )
5		df-br 2693	. . . 4 |- (A ~~ B <-> <.A, B>. e. ~~ )
6	4, 5	orbi12i 255	. . 3 |- ((A ~< B \/ A ~~ B) <-> (<.A, B>. e. ~< \/ <.A, B>. e. ~~ ))
7		elun 2225	. . 3 |- (<.A, B>. e. ( ~< u. ~~ ) <-> (<.A, B>. e. ~< \/ <.A, B>. e. ~~ ))
8	6, 7	bitr4i 174	. 2 |- ((A ~< B \/ A ~~ B) <-> <.A, B>. e. ( ~< u. ~~ ))
9	2, 3, 8	3bitr4i 181	1 |- (A ~<_ B <-> (A ~< B \/ A ~~ B))

Syntax hints:   <-> wb 144   \/ wo 220   e. wcel 994   u. cun 2097  <.cop 2469   class class class wbr 2692   ~~ cen 4505   ~<_ cdom 4506   ~< csdm 4507

This theorem is referenced by:  bren2 4530  domnsym 4608  sdomdomtr 4614  domsdomtr 4621  carddom 4985  entric 4988  entri2 4989

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-br 2693  df-opab 2741  df-xp 3265  df-rel 3266  df-f1o 3278  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511

Copyright terms: Public domain