MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdom2 Unicode version

Theorem brdom2 6824
Description: Dominance in terms of strict dominance and equinumerosity. Theorem 22(iv) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
brdom2  |-  ( A  ~<_  B  <->  ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B
) )

Proof of Theorem brdom2
StepHypRef Expression
1 dfdom2 6820 . . 3  |-  ~<_  =  ( 
~<  u.  ~~  )
21eleq2i 2320 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ~<_  <->  <. A ,  B >.  e.  (  ~<  u.  ~~  )
)
3 df-br 3964 . 2  |-  ( A  ~<_  B  <->  <. A ,  B >.  e.  ~<_  )
4 df-br 3964 . . . 4  |-  ( A 
~<  B  <->  <. A ,  B >.  e.  ~<  )
5 df-br 3964 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  <->  <. A ,  B >.  e.  ~~  )
64, 5orbi12i 509 . . 3  |-  ( ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ~<  \/ 
<. A ,  B >.  e. 
~~  ) )
7 elun 3258 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  (  ~<  u.  ~~  )  <->  (
<. A ,  B >.  e. 
~<  \/  <. A ,  B >.  e.  ~~  ) )
86, 7bitr4i 245 . 2  |-  ( ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B )  <->  <. A ,  B >.  e.  (  ~<  u.  ~~  ) )
92, 3, 83bitr4i 270 1  |-  ( A  ~<_  B  <->  ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    \/ wo 359    e. wcel 1621    u. cun 3092   <.cop 3584   class class class wbr 3963    ~~ cen 6793    ~<_ cdom 6794    ~< csdm 6795
This theorem is referenced by:  bren2  6825  domnsym  6920  modom  6996  carddom2  7543  axcc4dom  8000  entric  8112  entri2  8113  gchor  8182  frgpcyg  16454  iunmbl2  18841  dyadmbl  18882  ctbnfien  26233
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-br 3964  df-opab 4018  df-xp 4640  df-rel 4641  df-f1o 4653  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799
  Copyright terms: Public domain W3C validator