MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdom2 Unicode version

Theorem brdom2 6845
Description: Dominance in terms of strict dominance and equinumerosity. Theorem 22(iv) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
brdom2  |-  ( A  ~<_  B  <->  ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B
) )

Proof of Theorem brdom2
StepHypRef Expression
1 dfdom2 6841 . . 3  |-  ~<_  =  ( 
~<  u.  ~~  )
21eleq2i 2320 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ~<_  <->  <. A ,  B >.  e.  (  ~<  u.  ~~  )
)
3 df-br 3984 . 2  |-  ( A  ~<_  B  <->  <. A ,  B >.  e.  ~<_  )
4 df-br 3984 . . . 4  |-  ( A 
~<  B  <->  <. A ,  B >.  e.  ~<  )
5 df-br 3984 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  <->  <. A ,  B >.  e.  ~~  )
64, 5orbi12i 509 . . 3  |-  ( ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ~<  \/ 
<. A ,  B >.  e. 
~~  ) )
7 elun 3277 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  (  ~<  u.  ~~  )  <->  (
<. A ,  B >.  e. 
~<  \/  <. A ,  B >.  e.  ~~  ) )
86, 7bitr4i 245 . 2  |-  ( ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B )  <->  <. A ,  B >.  e.  (  ~<  u.  ~~  ) )
92, 3, 83bitr4i 270 1  |-  ( A  ~<_  B  <->  ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    \/ wo 359    e. wcel 1621    u. cun 3111   <.cop 3603   class class class wbr 3983    ~~ cen 6814    ~<_ cdom 6815    ~< csdm 6816
This theorem is referenced by:  bren2  6846  domnsym  6941  modom  7017  carddom2  7564  axcc4dom  8021  entric  8133  entri2  8134  gchor  8203  frgpcyg  16475  iunmbl2  18862  dyadmbl  18903  ctbnfien  26254
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pr 4172
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-br 3984  df-opab 4038  df-xp 4661  df-rel 4662  df-f1o 4674  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820
  Copyright terms: Public domain W3C validator