MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdomg Unicode version

Theorem brdomg 6874
Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
brdomg  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f
Allowed substitution hint:    C( f)

Proof of Theorem brdomg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1eq2 5435 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
f : x -1-1-> y  <-> 
f : A -1-1-> y ) )
21exbidv 1614 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( E. f  f :
x -1-1-> y  <->  E. f 
f : A -1-1-> y ) )
3 f1eq3 5436 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
f : A -1-1-> y  <-> 
f : A -1-1-> B
) )
43exbidv 1614 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( E. f  f : A -1-1-> y  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
5 df-dom 6867 . . . 4  |-  ~<_  =  { <. x ,  y >.  |  E. f  f : x -1-1-> y }
62, 4, 5brabg 4286 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  C )  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
76ex 423 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) ) )
8 reldom 6871 . . . . 5  |-  Rel  ~<_
98brrelexi 4731 . . . 4  |-  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  _V )
10 f1f 5439 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f : A --> B )
11 fdm 5395 . . . . . . 7  |-  ( f : A --> B  ->  dom  f  =  A
)
12 vex 2793 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
1312dmex 4943 . . . . . . 7  |-  dom  f  e.  _V
1411, 13syl6eqelr 2374 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  ->  A  e.  _V )
1510, 14syl 15 . . . . 5  |-  ( f : A -1-1-> B  ->  A  e.  _V )
1615exlimiv 1668 . . . 4  |-  ( E. f  f : A -1-1-> B  ->  A  e.  _V )
179, 16pm5.21ni 341 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
1817a1d 22 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( B  e.  C  -> 
( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) ) )
197, 18pm2.61i 156 1  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176   E.wex 1530    = wceq 1625    e. wcel 1686   _Vcvv 2790   class class class wbr 4025   dom cdm 4691   -->wf 5253   -1-1->wf1 5254    ~<_ cdom 6863
This theorem is referenced by:  brdomi  6875  brdom  6876  f1dom2g  6881  f1domg  6883  dom3d  6905  domdifsn  6947  fidomtri  7628  hashdom  11363  erdsze2lem1  23736
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pr 4216  ax-un 4514
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-dm 4701  df-rn 4702  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-dom 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator