Theorem brdomg 4365

Description: Dominance relation.

Assertion

Ref	Expression
brdomg	|- (B e. C -> (A ~<_ B <-> E.f f:A-1-1->B))

Distinct variable groups:   A,f   B,f

Proof of Theorem brdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq2 3653	. . . . 5 |- (x = A -> (f:x-1-1->y <-> f:A-1-1->y))
2	1	exbidv 1277	. . . 4 |- (x = A -> (E.f f:x-1-1->y <-> E.f f:A-1-1->y))
3		f1eq3 3654	. . . . 5 |- (y = B -> (f:A-1-1->y <-> f:A-1-1->B))
4	3	exbidv 1277	. . . 4 |- (y = B -> (E.f f:A-1-1->y <-> E.f f:A-1-1->B))
5		df-dom 4359	. . . 4 |- ~<_ = {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y}
6	2, 4, 5	brabg 2813	. . 3 |- ((A e. V /\ B e. C) -> (A ~<_ B <-> E.f f:A-1-1->B))
7	6	ex 373	. 2 |- (A e. V -> (B e. C -> (A ~<_ B <-> E.f f:A-1-1->B)))
8		reldom 4362	. . . . 5 |- Rel ~<_
9	8	brrelexi 3203	. . . 4 |- (A ~<_ B -> A e. V)
10		f1f 3657	. . . . . 6 |- (f:A-1-1->B -> f:A-->B)
11		fdm 3624	. . . . . . 7 |- (f:A-->B -> dom f = A)
12		visset 1809	. . . . . . . 8 |- f e. V
13	12	dmex 3354	. . . . . . 7 |- dom f e. V
14	11, 13	syl6eqelr 1554	. . . . . 6 |- (f:A-->B -> A e. V)
15	10, 14	syl 10	. . . . 5 |- (f:A-1-1->B -> A e. V)
16	15	19.23aiv 1293	. . . 4 |- (E.f f:A-1-1->B -> A e. V)
17	9, 16	pm5.21ni 677	. . 3 |- (-. A e. V -> (A ~<_ B <-> E.f f:A-1-1->B))
18	17	a1d 12	. 2 |- (-. A e. V -> (B e. C -> (A ~<_ B <-> E.f f:A-1-1->B)))
19	7, 18	pm2.61i 126	1 |- (B e. C -> (A ~<_ B <-> E.f f:A-1-1->B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  Vcvv 1807   class class class wbr 2614  dom cdm 3165  -->wf 3173  -1-1->wf1 3174   ~<_ cdom 4356

This theorem is referenced by:  brdom 4367  f1domg 4384  fodomr 4470

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-dm 3183  df-rn 3184  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-dom 4359

Copyright terms: Public domain