Theorem bren 4365

Description: Equinumerosity relation. Compare Definition of [Enderton] p. 129.

Hypothesis

Ref	Expression
bren.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
bren	|- (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B)

Distinct variable groups:   A,f   B,f

Proof of Theorem bren

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren.1	. 2 |- B e. V
2		breng 4363	. 2 |- (B e. V -> (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B))
3	1, 2	ax-mp 7	1 |- (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B)

Syntax hints:   <-> wb 146   e. wcel 956  E.wex 978  Vcvv 1807   class class class wbr 2614  -1-1-onto->wf1o 3176   ~~ cen 4354

This theorem is referenced by:  domen 4367  ener 4397  en0 4410  ensn1 4411  en1 4413  canth2 4470  mapen 4477  ssenen 4490  phplem4 4497  php3 4501  ssfi 4521  unfilem3 4532  unifi 4538  fiint 4540  fodomfi 4546  numth2 4765  ruc 7500  infxpidmlem10 7512  infxpidmlem12 7514  infmap2lem1 7529

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-dm 3183  df-rn 3184  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-en 4357

Copyright terms: Public domain