Theorem breng 4516

Description: Equinumerosity relation.

Assertion

Ref	Expression
breng	|- (B e. C -> (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B))

Distinct variable groups:   A,f   B,f

Proof of Theorem breng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oeq2 3793	. . . . 5 |- (x = A -> (f:x-1-1-onto->y <-> f:A-1-1-onto->y))
2	1	exbidv 1317	. . . 4 |- (x = A -> (E.f f:x-1-1-onto->y <-> E.f f:A-1-1-onto->y))
3		f1oeq3 3794	. . . . 5 |- (y = B -> (f:A-1-1-onto->y <-> f:A-1-1-onto->B))
4	3	exbidv 1317	. . . 4 |- (y = B -> (E.f f:A-1-1-onto->y <-> E.f f:A-1-1-onto->B))
5		df-en 4509	. . . 4 |- ~~ = {<.x, y>. | E.f f:x-1-1-onto->y}
6	2, 4, 5	brabg 2895	. . 3 |- ((A e. V /\ B e. C) -> (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B))
7	6	ex 371	. 2 |- (A e. V -> (B e. C -> (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B)))
8		relen 4513	. . . . 5 |- Rel ~~
9	8	brrelexi 3291	. . . 4 |- (A ~~ B -> A e. V)
10		f1ofn 3798	. . . . . 6 |- (f:A-1-1-onto->B -> f Fn A)
11		fndm 3693	. . . . . . 7 |- (f Fn A -> dom f = A)
12		visset 1859	. . . . . . . 8 |- f e. V
13	12	dmex 3447	. . . . . . 7 |- dom f e. V
14	11, 13	syl6eqelr 1600	. . . . . 6 |- (f Fn A -> A e. V)
15	10, 14	syl 10	. . . . 5 |- (f:A-1-1-onto->B -> A e. V)
16	15	19.23aiv 1333	. . . 4 |- (E.f f:A-1-1-onto->B -> A e. V)
17	9, 16	pm5.21ni 682	. . 3 |- (-. A e. V -> (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B))
18	17	a1d 12	. 2 |- (-. A e. V -> (B e. C -> (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B)))
19	7, 18	pm2.61i 124	1 |- (B e. C -> (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 144   = wceq 992   e. wcel 994  E.wex 1016  Vcvv 1857   class class class wbr 2692  dom cdm 3251   Fn wfn 3258  -1-1-onto->wf1o 3262   ~~ cen 4505

This theorem is referenced by:  bren 4518  enrefg 4531  f1oen2g 4535  unen 4575  ssfi 4683  homcard 11045  homcardus 11046

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-dm 3269  df-rn 3270  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-en 4509

Copyright terms: Public domain