Theorem breng 4311

Description: Equinumerosity relation.

Assertion

Ref	Expression
breng	|- (B e. C -> (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B))

Distinct variable groups:   A,f   B,f

Proof of Theorem breng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oeq2 3624	. . . . 5 |- (x = A -> (f:x-1-1-onto->y <-> f:A-1-1-onto->y))
2	1	exbidv 1261	. . . 4 |- (x = A -> (E.f f:x-1-1-onto->y <-> E.f f:A-1-1-onto->y))
3		f1oeq3 3625	. . . . 5 |- (y = B -> (f:A-1-1-onto->y <-> f:A-1-1-onto->B))
4	3	exbidv 1261	. . . 4 |- (y = B -> (E.f f:A-1-1-onto->y <-> E.f f:A-1-1-onto->B))
5		df-en 4305	. . . 4 |- ~~ = {<.x, y>. | E.f f:x-1-1-onto->y}
6	2, 4, 5	brabg 2780	. . 3 |- ((A e. V /\ B e. C) -> (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B))
7	6	ex 373	. 2 |- (A e. V -> (B e. C -> (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B)))
8		relen 4308	. . . . 5 |- Rel ~~
9	8	brrelexi 3170	. . . 4 |- (A ~~ B -> A e. V)
10		f1ofn 3629	. . . . . 6 |- (f:A-1-1-onto->B -> f Fn A)
11		fndm 3527	. . . . . . 7 |- (f Fn A -> dom f = A)
12		visset 1788	. . . . . . . 8 |- f e. V
13		dmexg 3289	. . . . . . . 8 |- (f e. V -> dom f e. V)
14	12, 13	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- dom f e. V
15	11, 14	syl6eqelr 1533	. . . . . 6 |- (f Fn A -> A e. V)
16	10, 15	syl 10	. . . . 5 |- (f:A-1-1-onto->B -> A e. V)
17	16	19.23aiv 1277	. . . 4 |- (E.f f:A-1-1-onto->B -> A e. V)
18	9, 17	pm5.21ni 675	. . 3 |- (-. A e. V -> (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B))
19	18	a1d 12	. 2 |- (-. A e. V -> (B e. C -> (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B)))
20	7, 19	pm2.61i 126	1 |- (B e. C -> (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146  E.wex 956   = wceq 1099   e. wcel 1105  Vcvv 1786   class class class wbr 2587  dom cdm 3133   Fn wfn 3140  -1-1-onto->wf1o 3144   ~~ cen 4302

This theorem is referenced by:  bren 4313  enrefg 4325  f1oen2g 4329  unen 4368  ssfi 4467

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-uni 2472  df-br 2588  df-opab 2635  df-xp 3147  df-rel 3148  df-dm 3151  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160  df-en 4305

Copyright terms: Public domain