MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brsdom2 Unicode version

Theorem brsdom2 6939
Description: Alternate definition of strict dominance. Definition 3 of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 27-Jul-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
brsdom2.1  |-  A  e. 
_V
brsdom2.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brsdom2  |-  ( A 
~<  B  <->  ( A  ~<_  B  /\  -.  B  ~<_  A ) )

Proof of Theorem brsdom2
StepHypRef Expression
1 dfsdom2 6938 . . 3  |-  ~<  =  (  ~<_  \  `'  ~<_  )
21eleq2i 2320 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
~< 
<-> 
<. A ,  B >.  e.  (  ~<_  \  `'  ~<_  ) )
3 df-br 3984 . 2  |-  ( A 
~<  B  <->  <. A ,  B >.  e.  ~<  )
4 df-br 3984 . . . 4  |-  ( A  ~<_  B  <->  <. A ,  B >.  e.  ~<_  )
5 df-br 3984 . . . . . 6  |-  ( B  ~<_  A  <->  <. B ,  A >.  e.  ~<_  )
6 brsdom2.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
7 brsdom2.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
86, 7opelcnv 4837 . . . . . 6  |-  ( <. A ,  B >.  e.  `' 
~<_ 
<-> 
<. B ,  A >.  e.  ~<_  )
95, 8bitr4i 245 . . . . 5  |-  ( B  ~<_  A  <->  <. A ,  B >.  e.  `'  ~<_  )
109notbii 289 . . . 4  |-  ( -.  B  ~<_  A  <->  -.  <. A ,  B >.  e.  `'  ~<_  )
114, 10anbi12i 681 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  B  ~<_  A )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ~<_  /\  -.  <. A ,  B >.  e.  `' 
~<_  ) )
12 eldif 3123 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  (  ~<_  \  `'  ~<_  )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ~<_  /\  -.  <. A ,  B >.  e.  `' 
~<_  ) )
1311, 12bitr4i 245 . 2  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  B  ~<_  A )  <->  <. A ,  B >.  e.  (  ~<_  \  `' 
~<_  ) )
142, 3, 133bitr4i 270 1  |-  ( A 
~<  B  <->  ( A  ~<_  B  /\  -.  B  ~<_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1621   _Vcvv 2757    \ cdif 3110   <.cop 3603   class class class wbr 3983   `'ccnv 4646    ~<_ cdom 6815    ~< csdm 6816
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-id 4267  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820
  Copyright terms: Public domain W3C validator