MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brsdom2 Unicode version

Theorem brsdom2 6980
Description: Alternate definition of strict dominance. Definition 3 of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 27-Jul-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
brsdom2.1  |-  A  e. 
_V
brsdom2.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brsdom2  |-  ( A 
~<  B  <->  ( A  ~<_  B  /\  -.  B  ~<_  A ) )

Proof of Theorem brsdom2
StepHypRef Expression
1 dfsdom2 6979 . . 3  |-  ~<  =  (  ~<_  \  `'  ~<_  )
21eleq2i 2348 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
~< 
<-> 
<. A ,  B >.  e.  (  ~<_  \  `'  ~<_  ) )
3 df-br 4025 . 2  |-  ( A 
~<  B  <->  <. A ,  B >.  e.  ~<  )
4 df-br 4025 . . . 4  |-  ( A  ~<_  B  <->  <. A ,  B >.  e.  ~<_  )
5 df-br 4025 . . . . . 6  |-  ( B  ~<_  A  <->  <. B ,  A >.  e.  ~<_  )
6 brsdom2.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
7 brsdom2.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
86, 7opelcnv 4862 . . . . . 6  |-  ( <. A ,  B >.  e.  `' 
~<_ 
<-> 
<. B ,  A >.  e.  ~<_  )
95, 8bitr4i 245 . . . . 5  |-  ( B  ~<_  A  <->  <. A ,  B >.  e.  `'  ~<_  )
109notbii 289 . . . 4  |-  ( -.  B  ~<_  A  <->  -.  <. A ,  B >.  e.  `'  ~<_  )
114, 10anbi12i 680 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  B  ~<_  A )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ~<_  /\  -.  <. A ,  B >.  e.  `' 
~<_  ) )
12 eldif 3163 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  (  ~<_  \  `'  ~<_  )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ~<_  /\  -.  <. A ,  B >.  e.  `' 
~<_  ) )
1311, 12bitr4i 245 . 2  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  B  ~<_  A )  <->  <. A ,  B >.  e.  (  ~<_  \  `' 
~<_  ) )
142, 3, 133bitr4i 270 1  |-  ( A 
~<  B  <->  ( A  ~<_  B  /\  -.  B  ~<_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1685   _Vcvv 2789    \ cdif 3150   <.cop 3644   class class class wbr 4024   `'ccnv 4687    ~<_ cdom 6856    ~< csdm 6857
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861
  Copyright terms: Public domain W3C validator