MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brsdom2 Unicode version

Theorem brsdom2 7222
Description: Alternate definition of strict dominance. Definition 3 of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 27-Jul-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
brsdom2.1  |-  A  e. 
_V
brsdom2.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brsdom2  |-  ( A 
~<  B  <->  ( A  ~<_  B  /\  -.  B  ~<_  A ) )

Proof of Theorem brsdom2
StepHypRef Expression
1 dfsdom2 7221 . . 3  |-  ~<  =  (  ~<_  \  `'  ~<_  )
21eleq2i 2499 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
~< 
<-> 
<. A ,  B >.  e.  (  ~<_  \  `'  ~<_  ) )
3 df-br 4205 . 2  |-  ( A 
~<  B  <->  <. A ,  B >.  e.  ~<  )
4 df-br 4205 . . . 4  |-  ( A  ~<_  B  <->  <. A ,  B >.  e.  ~<_  )
5 df-br 4205 . . . . . 6  |-  ( B  ~<_  A  <->  <. B ,  A >.  e.  ~<_  )
6 brsdom2.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
7 brsdom2.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
86, 7opelcnv 5045 . . . . . 6  |-  ( <. A ,  B >.  e.  `' 
~<_ 
<-> 
<. B ,  A >.  e.  ~<_  )
95, 8bitr4i 244 . . . . 5  |-  ( B  ~<_  A  <->  <. A ,  B >.  e.  `'  ~<_  )
109notbii 288 . . . 4  |-  ( -.  B  ~<_  A  <->  -.  <. A ,  B >.  e.  `'  ~<_  )
114, 10anbi12i 679 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  B  ~<_  A )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ~<_  /\  -.  <. A ,  B >.  e.  `' 
~<_  ) )
12 eldif 3322 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  (  ~<_  \  `'  ~<_  )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ~<_  /\  -.  <. A ,  B >.  e.  `' 
~<_  ) )
1311, 12bitr4i 244 . 2  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  B  ~<_  A )  <->  <. A ,  B >.  e.  (  ~<_  \  `' 
~<_  ) )
142, 3, 133bitr4i 269 1  |-  ( A 
~<  B  <->  ( A  ~<_  B  /\  -.  B  ~<_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    \ cdif 3309   <.cop 3809   class class class wbr 4204   `'ccnv 4868    ~<_ cdom 7098    ~< csdm 7099
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103
  Copyright terms: Public domain W3C validator