Theorem brsdom2 4467

Description: Alternate definition of strict dominance. Definition 3 of [Suppes] p. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
brsdom2.1	|- A e. V
brsdom2.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
brsdom2	|- (A ~< B <-> (A ~<_ B /\ -. B ~<_ A))

Proof of Theorem brsdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsdom2 4466	. . 3 |- ~< = ( ~<_ \ `' ~<_ )
2	1	eleq2i 1541	. 2 |- (<.A, B>. e. ~< <-> <.A, B>. e. ( ~<_ \ `' ~<_ ))
3		df-br 2625	. 2 |- (A ~< B <-> <.A, B>. e. ~< )
4		df-br 2625	. . . 4 |- (A ~<_ B <-> <.A, B>. e. ~<_ )
5		df-br 2625	. . . . . 6 |- (B ~<_ A <-> <.B, A>. e. ~<_ )
6		brsdom2.1	. . . . . . 7 |- A e. V
7		brsdom2.2	. . . . . . 7 |- B e. V
8	6, 7	opelcnv 3304	. . . . . 6 |- (<.A, B>. e. `' ~<_ <-> <.B, A>. e. ~<_ )
9	5, 8	bitr4 176	. . . . 5 |- (B ~<_ A <-> <.A, B>. e. `' ~<_ )
10	9	negbii 187	. . . 4 |- (-. B ~<_ A <-> -. <.A, B>. e. `' ~<_ )
11	4, 10	anbi12i 484	. . 3 |- ((A ~<_ B /\ -. B ~<_ A) <-> (<.A, B>. e. ~<_ /\ -. <.A, B>. e. `' ~<_ ))
12		eldif 2060	. . 3 |- (<.A, B>. e. ( ~<_ \ `' ~<_ ) <-> (<.A, B>. e. ~<_ /\ -. <.A, B>. e. `' ~<_ ))
13	11, 12	bitr4 176	. 2 |- ((A ~<_ B /\ -. B ~<_ A) <-> <.A, B>. e. ( ~<_ \ `' ~<_ ))
14	2, 3, 13	3bitr4 183	1 |- (A ~< B <-> (A ~<_ B /\ -. B ~<_ A))

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 960  Vcvv 1814   \ cdif 2047  <.cop 2415   class class class wbr 2624  `'ccnv 3175   ~<_ cdom 4371   ~< csdm 4372

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-er 4267  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376

Copyright terms: Public domain