Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brsegle Structured version   Unicode version

Theorem brsegle 26044
Description: Binary relationship form of the segment comparison relationship. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
brsegle  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    y, C    y, D    y, N

Proof of Theorem brsegle
Dummy variables  a 
b  c  d  n  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opex 4429 . . 3  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
2 opex 4429 . . 3  |-  <. C ,  D >.  e.  _V
3 eqeq1 2444 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  <. A ,  B >.  ->  ( p  = 
<. a ,  b >.  <->  <. A ,  B >.  = 
<. a ,  b >.
) )
4 eqcom 2440 . . . . . . . 8  |-  ( <. A ,  B >.  = 
<. a ,  b >.  <->  <.
a ,  b >.  =  <. A ,  B >. )
53, 4syl6bb 254 . . . . . . 7  |-  ( p  =  <. A ,  B >.  ->  ( p  = 
<. a ,  b >.  <->  <.
a ,  b >.  =  <. A ,  B >. ) )
653anbi1d 1259 . . . . . 6  |-  ( p  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( p  =  <. a ,  b
>.  /\  q  =  <. c ,  d >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
76rexbidv 2728 . . . . 5  |-  ( p  =  <. A ,  B >.  ->  ( E. d  e.  ( EE `  n
) ( p  = 
<. a ,  b >.  /\  q  =  <. c ,  d >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
872rexbidv 2750 . . . 4  |-  ( p  =  <. A ,  B >.  ->  ( E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( p  = 
<. a ,  b >.  /\  q  =  <. c ,  d >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
982rexbidv 2750 . . 3  |-  ( p  =  <. A ,  B >.  ->  ( E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( p  = 
<. a ,  b >.  /\  q  =  <. c ,  d >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
10 eqeq1 2444 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  <. C ,  D >.  ->  ( q  = 
<. c ,  d >.  <->  <. C ,  D >.  = 
<. c ,  d >.
) )
11 eqcom 2440 . . . . . . . 8  |-  ( <. C ,  D >.  = 
<. c ,  d >.  <->  <.
c ,  d >.  =  <. C ,  D >. )
1210, 11syl6bb 254 . . . . . . 7  |-  ( q  =  <. C ,  D >.  ->  ( q  = 
<. c ,  d >.  <->  <.
c ,  d >.  =  <. C ,  D >. ) )
13123anbi2d 1260 . . . . . 6  |-  ( q  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( <.
a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
1413rexbidv 2728 . . . . 5  |-  ( q  =  <. C ,  D >.  ->  ( E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
15142rexbidv 2750 . . . 4  |-  ( q  =  <. C ,  D >.  ->  ( E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
16152rexbidv 2750 . . 3  |-  ( q  =  <. C ,  D >.  ->  ( E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
17 df-segle 26043 . . 3  |-  Seg<_  =  { <. p ,  q >.  |  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE
`  n ) E. b  e.  ( EE
`  n ) E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) ( p  =  <. a ,  b >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) }
181, 2, 9, 16, 17brab 4479 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
19 vex 2961 . . . . . . . . 9  |-  a  e. 
_V
20 vex 2961 . . . . . . . . 9  |-  b  e. 
_V
2119, 20opth 4437 . . . . . . . 8  |-  ( <.
a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  <-> 
( a  =  A  /\  b  =  B ) )
22 vex 2961 . . . . . . . . 9  |-  c  e. 
_V
23 vex 2961 . . . . . . . . 9  |-  d  e. 
_V
2422, 23opth 4437 . . . . . . . 8  |-  ( <.
c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  <-> 
( c  =  C  /\  d  =  D ) )
25 biid 229 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  ( EE
`  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )  <->  E. y  e.  ( EE
`  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
)
2621, 24, 253anbi123i 1143 . . . . . . 7  |-  ( (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  ( (
a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
27262rexbii 2734 . . . . . 6  |-  ( E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  (
c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
) )
28272rexbii 2734 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  ( EE
`  n ) E. b  e.  ( EE
`  n ) E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  (
c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
) )
2928rexbii 2732 . . . 4  |-  ( E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n ) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  (
c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
) )
30 simpl2l 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  ( EE
`  N ) )
3130ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
32 eleenn 25837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( EE `  N )  ->  N  e.  NN )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
34 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
35 simprll 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n
)  /\  B  e.  ( EE `  n ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  n ) )
3635adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  n ) )
37 axdimuniq 25854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  n
) ) )  ->  N  =  n )
3833, 31, 34, 36, 37syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  N  =  n )
3938fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  ( EE `  N )  =  ( EE `  n ) )
4039rexeqdv 2913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  <->  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
4140exbiri 607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  ->  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n
)  /\  B  e.  ( EE `  n ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) ) )
4241anassrs 631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) ) )
43 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  A  ->  (
a  e.  ( EE
`  n )  <->  A  e.  ( EE `  n ) ) )
44 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  B  ->  (
b  e.  ( EE
`  n )  <->  B  e.  ( EE `  n ) ) )
4543, 44bi2anan9 845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  ->  ( ( a  e.  ( EE `  n
)  /\  b  e.  ( EE `  n ) )  <->  ( A  e.  ( EE `  n
)  /\  B  e.  ( EE `  n ) ) ) )
46 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  C  ->  (
c  e.  ( EE
`  n )  <->  C  e.  ( EE `  n ) ) )
47 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  D  ->  (
d  e.  ( EE
`  n )  <->  D  e.  ( EE `  n ) ) )
4846, 47bi2anan9 845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( ( c  e.  ( EE `  n
)  /\  d  e.  ( EE `  n ) )  <->  ( C  e.  ( EE `  n
)  /\  D  e.  ( EE `  n ) ) ) )
4945, 48bi2anan9 845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( ( ( a  e.  ( EE `  n )  /\  b  e.  ( EE `  n
) )  /\  (
c  e.  ( EE
`  n )  /\  d  e.  ( EE `  n ) ) )  <-> 
( ( A  e.  ( EE `  n
)  /\  B  e.  ( EE `  n ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )
5049anbi2d 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( a  e.  ( EE `  n )  /\  b  e.  ( EE `  n
) )  /\  (
c  e.  ( EE
`  n )  /\  d  e.  ( EE `  n ) ) ) )  <->  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) ) )
51 opeq12 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  -> 
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >. )
5251breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  ->  ( <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. 
<-> 
<. A ,  B >.Cgr <.
c ,  y >.
) )
5352anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  ->  ( ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. )  <->  ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) ) )
54 opeq12 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  -> 
<. c ,  d >.  =  <. C ,  D >. )
5554breq2d 4226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( y  Btwn  <. c ,  d >.  <->  y  Btwn  <. C ,  D >. ) )
56 opeq1 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  C  ->  <. c ,  y >.  =  <. C ,  y >. )
5756breq2d 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  C  ->  ( <. A ,  B >.Cgr <.
c ,  y >.  <->  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )
5857adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.  <->  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )
5955, 58anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
)  <->  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
6053, 59sylan9bb 682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. )  <->  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
6160rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. )  <->  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
6261imbi1d 310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( ( E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )  <->  ( E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) ) )
6342, 50, 623imtr4d 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( a  e.  ( EE `  n )  /\  b  e.  ( EE `  n
) )  /\  (
c  e.  ( EE
`  n )  /\  d  e.  ( EE `  n ) ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) ) )
6463com12 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( a  e.  ( EE `  n
)  /\  b  e.  ( EE `  n ) )  /\  ( c  e.  ( EE `  n )  /\  d  e.  ( EE `  n
) ) ) )  ->  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) ) )
6564exp3a 427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( a  e.  ( EE `  n
)  /\  b  e.  ( EE `  n ) )  /\  ( c  e.  ( EE `  n )  /\  d  e.  ( EE `  n
) ) ) )  ->  ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  ->  (
( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) ) ) )
66653impd 1168 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( a  e.  ( EE `  n
)  /\  b  e.  ( EE `  n ) )  /\  ( c  e.  ( EE `  n )  /\  d  e.  ( EE `  n
) ) ) )  ->  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
6766expr 600 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( EE `  n )  /\  b  e.  ( EE `  n ) ) )  ->  (
( c  e.  ( EE `  n )  /\  d  e.  ( EE `  n ) )  ->  ( (
( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) ) )
6867rexlimdvv 2838 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( EE `  n )  /\  b  e.  ( EE `  n ) ) )  ->  ( E. c  e.  ( EE `  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
6968rexlimdvva 2839 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  (
c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
)  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
7069rexlimdva 2832 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  (
c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
)  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
7129, 70syl5bi 210 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
72 simpl1 961 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  N  e.  NN )
73 simpl2l 1011 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
74 simpl2r 1012 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
75 simpl3l 1013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  C  e.  ( EE `  N
) )
76 simpl3r 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  D  e.  ( EE `  N
) )
77 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >. )
78 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  <. C ,  D >.  =  <. C ,  D >. )
79 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )
80 opeq1 3986 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  C  ->  <. c ,  d >.  =  <. C ,  d >. )
8180eqeq1d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  C  ->  ( <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  <->  <. C ,  d >.  =  <. C ,  D >. ) )
8280breq2d 4226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  C  ->  (
y  Btwn  <. c ,  d >.  <->  y  Btwn  <. C , 
d >. ) )
8382, 57anbi12d 693 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  C  ->  (
( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. c ,  y >. )  <->  ( y  Btwn  <. C , 
d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
8483rexbidv 2728 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  C  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. c ,  y
>. )  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C , 
d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
8581, 843anbi23d 1258 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  C  ->  (
( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) )  <->  ( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. C ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. C ,  d
>.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
) ) ) )
86 opeq2 3987 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  <. C , 
d >.  =  <. C ,  D >. )
8786eqeq1d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  ( <. C ,  d >.  =  <. C ,  D >.  <->  <. C ,  D >.  = 
<. C ,  D >. ) )
8886breq2d 4226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  D  ->  (
y  Btwn  <. C , 
d >. 
<->  y  Btwn  <. C ,  D >. ) )
8988anbi1d 687 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  (
( y  Btwn  <. C , 
d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  <->  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
9089rexbidv 2728 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C , 
d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
9187, 903anbi23d 1258 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. C ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  d >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )  <->  ( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. C ,  D >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) ) )
9285, 91rspc2ev 3062 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  ( <. A ,  B >.  = 
<. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.  = 
<. C ,  D >.  /\ 
E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )  ->  E. c  e.  ( EE `  N ) E. d  e.  ( EE
`  N ) (
<. A ,  B >.  = 
<. A ,  B >.  /\ 
<. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) ) )
9375, 76, 77, 78, 79, 92syl113anc 1197 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) ) )
94 opeq1 3986 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  A  ->  <. a ,  b >.  =  <. A ,  b >. )
9594eqeq1d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  <->  <. A ,  b >.  =  <. A ,  B >. ) )
9694breq1d 4224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  A  ->  ( <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >.  <->  <. A ,  b >.Cgr <.
c ,  y >.
) )
9796anbi2d 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  A  ->  (
( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )  <->  ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A , 
b >.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
9897rexbidv 2728 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )  <->  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A , 
b >.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
9995, 983anbi13d 1257 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
( <. a ,  b
>.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  ( <. A ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
100992rexbidv 2750 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ( E. c  e.  ( EE `  N ) E. d  e.  ( EE
`  N ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. A , 
b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
101 opeq2 3987 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  <. A , 
b >.  =  <. A ,  B >. )
102101eqeq1d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  ( <. A ,  b >.  =  <. A ,  B >.  <->  <. A ,  B >.  = 
<. A ,  B >. ) )
103101breq1d 4224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  B  ->  ( <. A ,  b >.Cgr <. c ,  y >.  <->  <. A ,  B >.Cgr <.
c ,  y >.
) )
104103anbi2d 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )  <->  ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
105104rexbidv 2728 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A , 
b >.Cgr <. c ,  y
>. )  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. c ,  y >. )
) )
106102, 1053anbi13d 1257 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  (
( <. A ,  b
>.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  ( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) ) ) )
1071062rexbidv 2750 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( E. c  e.  ( EE `  N ) E. d  e.  ( EE
`  N ) (
<. A ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. A ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) ) ) )
108100, 107rspc2ev 3062 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  E. c  e.  ( EE `  N ) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) ) )  ->  E. a  e.  ( EE `  N ) E. b  e.  ( EE
`  N ) E. c  e.  ( EE
`  N ) E. d  e.  ( EE
`  N ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
10973, 74, 93, 108syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  E. a  e.  ( EE `  N
) E. b  e.  ( EE `  N
) E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
110 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( EE `  n )  =  ( EE `  N
) )
111110rexeqdv 2913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  N  ->  ( E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )  <->  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
) )
1121113anbi3d 1261 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  (
( <. a ,  b
>.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
113110, 112rexeqbidv 2919 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  ( E. d  e.  ( EE `  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
114110, 113rexeqbidv 2919 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  ( E. c  e.  ( EE `  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
115110, 114rexeqbidv 2919 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( E. b  e.  ( EE `  n ) E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. b  e.  ( EE `  N
) E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
116110, 115rexeqbidv 2919 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  ( E. a  e.  ( EE `  n ) E. b  e.  ( EE
`  n ) E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. a  e.  ( EE `  N
) E. b  e.  ( EE `  N
) E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
117116rspcev 3054 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  E. a  e.  ( EE
`  N ) E. b  e.  ( EE
`  N ) E. c  e.  ( EE
`  N ) E. d  e.  ( EE
`  N ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )  ->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE
`  n ) E. b  e.  ( EE
`  n ) E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
11872, 109, 117syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
119118ex 425 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  ->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE
`  n ) E. b  e.  ( EE
`  n ) E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
12071, 119impbid 185 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
12118, 120syl5bb 250 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   <.cop 3819   class class class wbr 4214   ` cfv 5456   NNcn 10002   EEcee 25829    Btwn cbtwn 25830  Cgrccgr 25831    Seg<_ csegle 26042
This theorem is referenced by:  brsegle2  26045  seglecgr12im  26046  seglerflx  26048  seglemin  26049  segletr  26050  segleantisym  26051  seglelin  26052  btwnsegle  26053
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-ee 25832  df-segle 26043
  Copyright terms: Public domain W3C validator