Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brsegle Unicode version

Theorem brsegle 25290
Description: Binary relationship form of the segment comparison relationship. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
brsegle  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    y, C    y, D    y, N

Proof of Theorem brsegle
Dummy variables  a 
b  c  d  n  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opex 4316 . . 3  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
2 opex 4316 . . 3  |-  <. C ,  D >.  e.  _V
3 eqeq1 2364 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  <. A ,  B >.  ->  ( p  = 
<. a ,  b >.  <->  <. A ,  B >.  = 
<. a ,  b >.
) )
4 eqcom 2360 . . . . . . . 8  |-  ( <. A ,  B >.  = 
<. a ,  b >.  <->  <.
a ,  b >.  =  <. A ,  B >. )
53, 4syl6bb 252 . . . . . . 7  |-  ( p  =  <. A ,  B >.  ->  ( p  = 
<. a ,  b >.  <->  <.
a ,  b >.  =  <. A ,  B >. ) )
653anbi1d 1256 . . . . . 6  |-  ( p  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( p  =  <. a ,  b
>.  /\  q  =  <. c ,  d >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
76rexbidv 2640 . . . . 5  |-  ( p  =  <. A ,  B >.  ->  ( E. d  e.  ( EE `  n
) ( p  = 
<. a ,  b >.  /\  q  =  <. c ,  d >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
872rexbidv 2662 . . . 4  |-  ( p  =  <. A ,  B >.  ->  ( E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( p  = 
<. a ,  b >.  /\  q  =  <. c ,  d >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
982rexbidv 2662 . . 3  |-  ( p  =  <. A ,  B >.  ->  ( E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( p  = 
<. a ,  b >.  /\  q  =  <. c ,  d >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
10 eqeq1 2364 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  <. C ,  D >.  ->  ( q  = 
<. c ,  d >.  <->  <. C ,  D >.  = 
<. c ,  d >.
) )
11 eqcom 2360 . . . . . . . 8  |-  ( <. C ,  D >.  = 
<. c ,  d >.  <->  <.
c ,  d >.  =  <. C ,  D >. )
1210, 11syl6bb 252 . . . . . . 7  |-  ( q  =  <. C ,  D >.  ->  ( q  = 
<. c ,  d >.  <->  <.
c ,  d >.  =  <. C ,  D >. ) )
13123anbi2d 1257 . . . . . 6  |-  ( q  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( <.
a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
1413rexbidv 2640 . . . . 5  |-  ( q  =  <. C ,  D >.  ->  ( E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
15142rexbidv 2662 . . . 4  |-  ( q  =  <. C ,  D >.  ->  ( E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
16152rexbidv 2662 . . 3  |-  ( q  =  <. C ,  D >.  ->  ( E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
17 df-segle 25289 . . 3  |-  Seg<_  =  { <. p ,  q >.  |  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE
`  n ) E. b  e.  ( EE
`  n ) E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) ( p  =  <. a ,  b >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) }
181, 2, 9, 16, 17brab 4366 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
19 vex 2867 . . . . . . . . 9  |-  a  e. 
_V
20 vex 2867 . . . . . . . . 9  |-  b  e. 
_V
2119, 20opth 4324 . . . . . . . 8  |-  ( <.
a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  <-> 
( a  =  A  /\  b  =  B ) )
22 vex 2867 . . . . . . . . 9  |-  c  e. 
_V
23 vex 2867 . . . . . . . . 9  |-  d  e. 
_V
2422, 23opth 4324 . . . . . . . 8  |-  ( <.
c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  <-> 
( c  =  C  /\  d  =  D ) )
25 biid 227 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  ( EE
`  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )  <->  E. y  e.  ( EE
`  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
)
2621, 24, 253anbi123i 1140 . . . . . . 7  |-  ( (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  ( (
a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
27262rexbii 2646 . . . . . 6  |-  ( E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  (
c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
) )
28272rexbii 2646 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  ( EE
`  n ) E. b  e.  ( EE
`  n ) E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  (
c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
) )
2928rexbii 2644 . . . 4  |-  ( E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n ) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  (
c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
) )
30 simpl2l 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  ( EE
`  N ) )
3130ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
32 eleenn 25083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( EE `  N )  ->  N  e.  NN )
3331, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
34 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
35 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n
)  /\  B  e.  ( EE `  n ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  n ) )
3635adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  n ) )
37 axdimuniq 25100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  n
) ) )  ->  N  =  n )
3833, 31, 34, 36, 37syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  N  =  n )
3938fveq2d 5609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  ( EE `  N )  =  ( EE `  n ) )
4039rexeqdv 2819 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  <->  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
4140exbiri 605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  ->  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n
)  /\  B  e.  ( EE `  n ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) ) )
4241anassrs 629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) ) )
43 eleq1 2418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  A  ->  (
a  e.  ( EE
`  n )  <->  A  e.  ( EE `  n ) ) )
44 eleq1 2418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  B  ->  (
b  e.  ( EE
`  n )  <->  B  e.  ( EE `  n ) ) )
4543, 44bi2anan9 843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  ->  ( ( a  e.  ( EE `  n
)  /\  b  e.  ( EE `  n ) )  <->  ( A  e.  ( EE `  n
)  /\  B  e.  ( EE `  n ) ) ) )
46 eleq1 2418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  C  ->  (
c  e.  ( EE
`  n )  <->  C  e.  ( EE `  n ) ) )
47 eleq1 2418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  D  ->  (
d  e.  ( EE
`  n )  <->  D  e.  ( EE `  n ) ) )
4846, 47bi2anan9 843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( ( c  e.  ( EE `  n
)  /\  d  e.  ( EE `  n ) )  <->  ( C  e.  ( EE `  n
)  /\  D  e.  ( EE `  n ) ) ) )
4945, 48bi2anan9 843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( ( ( a  e.  ( EE `  n )  /\  b  e.  ( EE `  n
) )  /\  (
c  e.  ( EE
`  n )  /\  d  e.  ( EE `  n ) ) )  <-> 
( ( A  e.  ( EE `  n
)  /\  B  e.  ( EE `  n ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )
5049anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( a  e.  ( EE `  n )  /\  b  e.  ( EE `  n
) )  /\  (
c  e.  ( EE
`  n )  /\  d  e.  ( EE `  n ) ) ) )  <->  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) ) )
51 opeq12 3877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  -> 
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >. )
5251breq1d 4112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  ->  ( <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. 
<-> 
<. A ,  B >.Cgr <.
c ,  y >.
) )
5352anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  ->  ( ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. )  <->  ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) ) )
54 opeq12 3877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  -> 
<. c ,  d >.  =  <. C ,  D >. )
5554breq2d 4114 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( y  Btwn  <. c ,  d >.  <->  y  Btwn  <. C ,  D >. ) )
56 opeq1 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  C  ->  <. c ,  y >.  =  <. C ,  y >. )
5756breq2d 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  C  ->  ( <. A ,  B >.Cgr <.
c ,  y >.  <->  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )
5857adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.  <->  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )
5955, 58anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
)  <->  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
6053, 59sylan9bb 680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. )  <->  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
6160rexbidv 2640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. )  <->  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
6261imbi1d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( ( E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )  <->  ( E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) ) )
6342, 50, 623imtr4d 259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( a  e.  ( EE `  n )  /\  b  e.  ( EE `  n
) )  /\  (
c  e.  ( EE
`  n )  /\  d  e.  ( EE `  n ) ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) ) )
6463com12 27 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( a  e.  ( EE `  n
)  /\  b  e.  ( EE `  n ) )  /\  ( c  e.  ( EE `  n )  /\  d  e.  ( EE `  n
) ) ) )  ->  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) ) )
6564exp3a 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( a  e.  ( EE `  n
)  /\  b  e.  ( EE `  n ) )  /\  ( c  e.  ( EE `  n )  /\  d  e.  ( EE `  n
) ) ) )  ->  ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  ->  (
( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) ) ) )
66653impd 1165 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( a  e.  ( EE `  n
)  /\  b  e.  ( EE `  n ) )  /\  ( c  e.  ( EE `  n )  /\  d  e.  ( EE `  n
) ) ) )  ->  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
6766expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( EE `  n )  /\  b  e.  ( EE `  n ) ) )  ->  (
( c  e.  ( EE `  n )  /\  d  e.  ( EE `  n ) )  ->  ( (
( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) ) )
6867rexlimdvv 2749 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( EE `  n )  /\  b  e.  ( EE `  n ) ) )  ->  ( E. c  e.  ( EE `  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
6968rexlimdvva 2750 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  (
c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
)  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
7069rexlimdva 2743 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  (
c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
)  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
7129, 70syl5bi 208 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
72 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  N  e.  NN )
73 simpl2l 1008 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
74 simpl2r 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
75 simpl3l 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  C  e.  ( EE `  N
) )
76 simpl3r 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  D  e.  ( EE `  N
) )
77 eqidd 2359 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >. )
78 eqidd 2359 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  <. C ,  D >.  =  <. C ,  D >. )
79 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )
80 opeq1 3875 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  C  ->  <. c ,  d >.  =  <. C ,  d >. )
8180eqeq1d 2366 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  C  ->  ( <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  <->  <. C ,  d >.  =  <. C ,  D >. ) )
8280breq2d 4114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  C  ->  (
y  Btwn  <. c ,  d >.  <->  y  Btwn  <. C , 
d >. ) )
8382, 57anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  C  ->  (
( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. c ,  y >. )  <->  ( y  Btwn  <. C , 
d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
8483rexbidv 2640 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  C  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. c ,  y
>. )  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C , 
d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
8581, 843anbi23d 1255 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  C  ->  (
( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) )  <->  ( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. C ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. C ,  d
>.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
) ) ) )
86 opeq2 3876 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  <. C , 
d >.  =  <. C ,  D >. )
8786eqeq1d 2366 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  ( <. C ,  d >.  =  <. C ,  D >.  <->  <. C ,  D >.  = 
<. C ,  D >. ) )
8886breq2d 4114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  D  ->  (
y  Btwn  <. C , 
d >. 
<->  y  Btwn  <. C ,  D >. ) )
8988anbi1d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  (
( y  Btwn  <. C , 
d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  <->  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
9089rexbidv 2640 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C , 
d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
9187, 903anbi23d 1255 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. C ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  d >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )  <->  ( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. C ,  D >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) ) )
9285, 91rspc2ev 2968 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  ( <. A ,  B >.  = 
<. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.  = 
<. C ,  D >.  /\ 
E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )  ->  E. c  e.  ( EE `  N ) E. d  e.  ( EE
`  N ) (
<. A ,  B >.  = 
<. A ,  B >.  /\ 
<. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) ) )
9375, 76, 77, 78, 79, 92syl113anc 1194 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) ) )
94 opeq1 3875 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  A  ->  <. a ,  b >.  =  <. A ,  b >. )
9594eqeq1d 2366 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  <->  <. A ,  b >.  =  <. A ,  B >. ) )
9694breq1d 4112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  A  ->  ( <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >.  <->  <. A ,  b >.Cgr <.
c ,  y >.
) )
9796anbi2d 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  A  ->  (
( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )  <->  ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A , 
b >.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
9897rexbidv 2640 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )  <->  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A , 
b >.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
9995, 983anbi13d 1254 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
( <. a ,  b
>.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  ( <. A ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
100992rexbidv 2662 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ( E. c  e.  ( EE `  N ) E. d  e.  ( EE
`  N ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. A , 
b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
101 opeq2 3876 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  <. A , 
b >.  =  <. A ,  B >. )
102101eqeq1d 2366 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  ( <. A ,  b >.  =  <. A ,  B >.  <->  <. A ,  B >.  = 
<. A ,  B >. ) )
103101breq1d 4112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  B  ->  ( <. A ,  b >.Cgr <. c ,  y >.  <->  <. A ,  B >.Cgr <.
c ,  y >.
) )
104103anbi2d 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )  <->  ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
105104rexbidv 2640 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A , 
b >.Cgr <. c ,  y
>. )  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. c ,  y >. )
) )
106102, 1053anbi13d 1254 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  (
( <. A ,  b
>.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  ( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) ) ) )
1071062rexbidv 2662 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( E. c  e.  ( EE `  N ) E. d  e.  ( EE
`  N ) (
<. A ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. A ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) ) ) )
108100, 107rspc2ev 2968 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  E. c  e.  ( EE `  N ) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) ) )  ->  E. a  e.  ( EE `  N ) E. b  e.  ( EE
`  N ) E. c  e.  ( EE
`  N ) E. d  e.  ( EE
`  N ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
10973, 74, 93, 108syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  E. a  e.  ( EE `  N
) E. b  e.  ( EE `  N
) E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
110 fveq2 5605 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( EE `  n )  =  ( EE `  N
) )
111110rexeqdv 2819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  N  ->  ( E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )  <->  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
) )
1121113anbi3d 1258 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  (
( <. a ,  b
>.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
113110, 112rexeqbidv 2825 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  ( E. d  e.  ( EE `  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
114110, 113rexeqbidv 2825 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  ( E. c  e.  ( EE `  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
115110, 114rexeqbidv 2825 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( E. b  e.  ( EE `  n ) E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. b  e.  ( EE `  N
) E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
116110, 115rexeqbidv 2825 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  ( E. a  e.  ( EE `  n ) E. b  e.  ( EE
`  n ) E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. a  e.  ( EE `  N
) E. b  e.  ( EE `  N
) E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
117116rspcev 2960 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  E. a  e.  ( EE
`  N ) E. b  e.  ( EE
`  N ) E. c  e.  ( EE
`  N ) E. d  e.  ( EE
`  N ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )  ->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE
`  n ) E. b  e.  ( EE
`  n ) E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
11872, 109, 117syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
119118ex 423 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  ->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE
`  n ) E. b  e.  ( EE
`  n ) E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
12071, 119impbid 183 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
12118, 120syl5bb 248 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   E.wrex 2620   <.cop 3719   class class class wbr 4102   ` cfv 5334   NNcn 9833   EEcee 25075    Btwn cbtwn 25076  Cgrccgr 25077    Seg<_ csegle 25288
This theorem is referenced by:  brsegle2  25291  seglecgr12im  25292  seglerflx  25294  seglemin  25295  segletr  25296  segleantisym  25297  seglelin  25298  btwnsegle  25299
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-map 6859  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-z 10114  df-uz 10320  df-fz 10872  df-ee 25078  df-segle 25289
  Copyright terms: Public domain W3C validator