Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brsegle Unicode version

Theorem brsegle 25946
Description: Binary relationship form of the segment comparison relationship. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
brsegle  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    y, C    y, D    y, N

Proof of Theorem brsegle
Dummy variables  a 
b  c  d  n  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opex 4387 . . 3  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
2 opex 4387 . . 3  |-  <. C ,  D >.  e.  _V
3 eqeq1 2410 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  <. A ,  B >.  ->  ( p  = 
<. a ,  b >.  <->  <. A ,  B >.  = 
<. a ,  b >.
) )
4 eqcom 2406 . . . . . . . 8  |-  ( <. A ,  B >.  = 
<. a ,  b >.  <->  <.
a ,  b >.  =  <. A ,  B >. )
53, 4syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( p  =  <. A ,  B >.  ->  ( p  = 
<. a ,  b >.  <->  <.
a ,  b >.  =  <. A ,  B >. ) )
653anbi1d 1258 . . . . . 6  |-  ( p  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( p  =  <. a ,  b
>.  /\  q  =  <. c ,  d >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
76rexbidv 2687 . . . . 5  |-  ( p  =  <. A ,  B >.  ->  ( E. d  e.  ( EE `  n
) ( p  = 
<. a ,  b >.  /\  q  =  <. c ,  d >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
872rexbidv 2709 . . . 4  |-  ( p  =  <. A ,  B >.  ->  ( E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( p  = 
<. a ,  b >.  /\  q  =  <. c ,  d >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
982rexbidv 2709 . . 3  |-  ( p  =  <. A ,  B >.  ->  ( E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( p  = 
<. a ,  b >.  /\  q  =  <. c ,  d >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
10 eqeq1 2410 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  <. C ,  D >.  ->  ( q  = 
<. c ,  d >.  <->  <. C ,  D >.  = 
<. c ,  d >.
) )
11 eqcom 2406 . . . . . . . 8  |-  ( <. C ,  D >.  = 
<. c ,  d >.  <->  <.
c ,  d >.  =  <. C ,  D >. )
1210, 11syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( q  =  <. C ,  D >.  ->  ( q  = 
<. c ,  d >.  <->  <.
c ,  d >.  =  <. C ,  D >. ) )
13123anbi2d 1259 . . . . . 6  |-  ( q  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( <.
a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
1413rexbidv 2687 . . . . 5  |-  ( q  =  <. C ,  D >.  ->  ( E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
15142rexbidv 2709 . . . 4  |-  ( q  =  <. C ,  D >.  ->  ( E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
16152rexbidv 2709 . . 3  |-  ( q  =  <. C ,  D >.  ->  ( E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
17 df-segle 25945 . . 3  |-  Seg<_  =  { <. p ,  q >.  |  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE
`  n ) E. b  e.  ( EE
`  n ) E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) ( p  =  <. a ,  b >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) }
181, 2, 9, 16, 17brab 4437 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
19 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  a  e. 
_V
20 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  b  e. 
_V
2119, 20opth 4395 . . . . . . . 8  |-  ( <.
a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  <-> 
( a  =  A  /\  b  =  B ) )
22 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  c  e. 
_V
23 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  d  e. 
_V
2422, 23opth 4395 . . . . . . . 8  |-  ( <.
c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  <-> 
( c  =  C  /\  d  =  D ) )
25 biid 228 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  ( EE
`  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )  <->  E. y  e.  ( EE
`  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
)
2621, 24, 253anbi123i 1142 . . . . . . 7  |-  ( (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  ( (
a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
27262rexbii 2693 . . . . . 6  |-  ( E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  (
c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
) )
28272rexbii 2693 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  ( EE
`  n ) E. b  e.  ( EE
`  n ) E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  (
c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
) )
2928rexbii 2691 . . . 4  |-  ( E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n ) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  (
c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
) )
30 simpl2l 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  ( EE
`  N ) )
3130ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
32 eleenn 25739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( EE `  N )  ->  N  e.  NN )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
34 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
35 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n
)  /\  B  e.  ( EE `  n ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  n ) )
3635adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  n ) )
37 axdimuniq 25756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  n
) ) )  ->  N  =  n )
3833, 31, 34, 36, 37syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  N  =  n )
3938fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  ( EE `  N )  =  ( EE `  n ) )
4039rexeqdv 2871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  <->  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
4140exbiri 606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  ->  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n
)  /\  B  e.  ( EE `  n ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) ) )
4241anassrs 630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) ) )
43 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  A  ->  (
a  e.  ( EE
`  n )  <->  A  e.  ( EE `  n ) ) )
44 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  B  ->  (
b  e.  ( EE
`  n )  <->  B  e.  ( EE `  n ) ) )
4543, 44bi2anan9 844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  ->  ( ( a  e.  ( EE `  n
)  /\  b  e.  ( EE `  n ) )  <->  ( A  e.  ( EE `  n
)  /\  B  e.  ( EE `  n ) ) ) )
46 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  C  ->  (
c  e.  ( EE
`  n )  <->  C  e.  ( EE `  n ) ) )
47 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  D  ->  (
d  e.  ( EE
`  n )  <->  D  e.  ( EE `  n ) ) )
4846, 47bi2anan9 844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( ( c  e.  ( EE `  n
)  /\  d  e.  ( EE `  n ) )  <->  ( C  e.  ( EE `  n
)  /\  D  e.  ( EE `  n ) ) ) )
4945, 48bi2anan9 844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( ( ( a  e.  ( EE `  n )  /\  b  e.  ( EE `  n
) )  /\  (
c  e.  ( EE
`  n )  /\  d  e.  ( EE `  n ) ) )  <-> 
( ( A  e.  ( EE `  n
)  /\  B  e.  ( EE `  n ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )
5049anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( a  e.  ( EE `  n )  /\  b  e.  ( EE `  n
) )  /\  (
c  e.  ( EE
`  n )  /\  d  e.  ( EE `  n ) ) ) )  <->  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) ) )
51 opeq12 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  -> 
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >. )
5251breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  ->  ( <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. 
<-> 
<. A ,  B >.Cgr <.
c ,  y >.
) )
5352anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  ->  ( ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. )  <->  ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) ) )
54 opeq12 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  -> 
<. c ,  d >.  =  <. C ,  D >. )
5554breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( y  Btwn  <. c ,  d >.  <->  y  Btwn  <. C ,  D >. ) )
56 opeq1 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  C  ->  <. c ,  y >.  =  <. C ,  y >. )
5756breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  C  ->  ( <. A ,  B >.Cgr <.
c ,  y >.  <->  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )
5857adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.  <->  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )
5955, 58anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
)  <->  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
6053, 59sylan9bb 681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. )  <->  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
6160rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. )  <->  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
6261imbi1d 309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( ( E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )  <->  ( E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) ) )
6342, 50, 623imtr4d 260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( a  e.  ( EE `  n )  /\  b  e.  ( EE `  n
) )  /\  (
c  e.  ( EE
`  n )  /\  d  e.  ( EE `  n ) ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) ) )
6463com12 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( a  e.  ( EE `  n
)  /\  b  e.  ( EE `  n ) )  /\  ( c  e.  ( EE `  n )  /\  d  e.  ( EE `  n
) ) ) )  ->  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) ) )
6564exp3a 426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( a  e.  ( EE `  n
)  /\  b  e.  ( EE `  n ) )  /\  ( c  e.  ( EE `  n )  /\  d  e.  ( EE `  n
) ) ) )  ->  ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  ->  (
( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) ) ) )
66653impd 1167 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( a  e.  ( EE `  n
)  /\  b  e.  ( EE `  n ) )  /\  ( c  e.  ( EE `  n )  /\  d  e.  ( EE `  n
) ) ) )  ->  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
6766expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( EE `  n )  /\  b  e.  ( EE `  n ) ) )  ->  (
( c  e.  ( EE `  n )  /\  d  e.  ( EE `  n ) )  ->  ( (
( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) ) )
6867rexlimdvv 2796 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( EE `  n )  /\  b  e.  ( EE `  n ) ) )  ->  ( E. c  e.  ( EE `  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
6968rexlimdvva 2797 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  (
c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
)  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
7069rexlimdva 2790 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  (
c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
)  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
7129, 70syl5bi 209 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
72 simpl1 960 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  N  e.  NN )
73 simpl2l 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
74 simpl2r 1011 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
75 simpl3l 1012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  C  e.  ( EE `  N
) )
76 simpl3r 1013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  D  e.  ( EE `  N
) )
77 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >. )
78 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  <. C ,  D >.  =  <. C ,  D >. )
79 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )
80 opeq1 3944 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  C  ->  <. c ,  d >.  =  <. C ,  d >. )
8180eqeq1d 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  C  ->  ( <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  <->  <. C ,  d >.  =  <. C ,  D >. ) )
8280breq2d 4184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  C  ->  (
y  Btwn  <. c ,  d >.  <->  y  Btwn  <. C , 
d >. ) )
8382, 57anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  C  ->  (
( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. c ,  y >. )  <->  ( y  Btwn  <. C , 
d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
8483rexbidv 2687 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  C  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. c ,  y
>. )  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C , 
d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
8581, 843anbi23d 1257 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  C  ->  (
( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) )  <->  ( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. C ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. C ,  d
>.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
) ) ) )
86 opeq2 3945 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  <. C , 
d >.  =  <. C ,  D >. )
8786eqeq1d 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  ( <. C ,  d >.  =  <. C ,  D >.  <->  <. C ,  D >.  = 
<. C ,  D >. ) )
8886breq2d 4184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  D  ->  (
y  Btwn  <. C , 
d >. 
<->  y  Btwn  <. C ,  D >. ) )
8988anbi1d 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  (
( y  Btwn  <. C , 
d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  <->  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
9089rexbidv 2687 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C , 
d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
9187, 903anbi23d 1257 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. C ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  d >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )  <->  ( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. C ,  D >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) ) )
9285, 91rspc2ev 3020 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  ( <. A ,  B >.  = 
<. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.  = 
<. C ,  D >.  /\ 
E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )  ->  E. c  e.  ( EE `  N ) E. d  e.  ( EE
`  N ) (
<. A ,  B >.  = 
<. A ,  B >.  /\ 
<. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) ) )
9375, 76, 77, 78, 79, 92syl113anc 1196 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) ) )
94 opeq1 3944 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  A  ->  <. a ,  b >.  =  <. A ,  b >. )
9594eqeq1d 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  <->  <. A ,  b >.  =  <. A ,  B >. ) )
9694breq1d 4182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  A  ->  ( <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >.  <->  <. A ,  b >.Cgr <.
c ,  y >.
) )
9796anbi2d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  A  ->  (
( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )  <->  ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A , 
b >.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
9897rexbidv 2687 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )  <->  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A , 
b >.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
9995, 983anbi13d 1256 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
( <. a ,  b
>.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  ( <. A ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
100992rexbidv 2709 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ( E. c  e.  ( EE `  N ) E. d  e.  ( EE
`  N ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. A , 
b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
101 opeq2 3945 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  <. A , 
b >.  =  <. A ,  B >. )
102101eqeq1d 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  ( <. A ,  b >.  =  <. A ,  B >.  <->  <. A ,  B >.  = 
<. A ,  B >. ) )
103101breq1d 4182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  B  ->  ( <. A ,  b >.Cgr <. c ,  y >.  <->  <. A ,  B >.Cgr <.
c ,  y >.
) )
104103anbi2d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )  <->  ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
105104rexbidv 2687 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A , 
b >.Cgr <. c ,  y
>. )  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. c ,  y >. )
) )
106102, 1053anbi13d 1256 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  (
( <. A ,  b
>.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  ( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) ) ) )
1071062rexbidv 2709 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( E. c  e.  ( EE `  N ) E. d  e.  ( EE
`  N ) (
<. A ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. A ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) ) ) )
108100, 107rspc2ev 3020 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  E. c  e.  ( EE `  N ) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) ) )  ->  E. a  e.  ( EE `  N ) E. b  e.  ( EE
`  N ) E. c  e.  ( EE
`  N ) E. d  e.  ( EE
`  N ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
10973, 74, 93, 108syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  E. a  e.  ( EE `  N
) E. b  e.  ( EE `  N
) E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
110 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( EE `  n )  =  ( EE `  N
) )
111110rexeqdv 2871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  N  ->  ( E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )  <->  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
) )
1121113anbi3d 1260 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  (
( <. a ,  b
>.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
113110, 112rexeqbidv 2877 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  ( E. d  e.  ( EE `  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
114110, 113rexeqbidv 2877 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  ( E. c  e.  ( EE `  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
115110, 114rexeqbidv 2877 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( E. b  e.  ( EE `  n ) E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. b  e.  ( EE `  N
) E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
116110, 115rexeqbidv 2877 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  ( E. a  e.  ( EE `  n ) E. b  e.  ( EE
`  n ) E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. a  e.  ( EE `  N
) E. b  e.  ( EE `  N
) E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
117116rspcev 3012 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  E. a  e.  ( EE
`  N ) E. b  e.  ( EE
`  N ) E. c  e.  ( EE
`  N ) E. d  e.  ( EE
`  N ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )  ->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE
`  n ) E. b  e.  ( EE
`  n ) E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
11872, 109, 117syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
119118ex 424 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  ->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE
`  n ) E. b  e.  ( EE
`  n ) E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
12071, 119impbid 184 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
12118, 120syl5bb 249 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667   <.cop 3777   class class class wbr 4172   ` cfv 5413   NNcn 9956   EEcee 25731    Btwn cbtwn 25732  Cgrccgr 25733    Seg<_ csegle 25944
This theorem is referenced by:  brsegle2  25947  seglecgr12im  25948  seglerflx  25950  seglemin  25951  segletr  25952  segleantisym  25953  seglelin  25954  btwnsegle  25955
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-ee 25734  df-segle 25945
  Copyright terms: Public domain W3C validator