Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brsegle2 Unicode version

Theorem brsegle2 24804
Description: Alternate characterization of segment comparison. Theorem 5.5 of [Schwabhauser] p. 41-42. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
brsegle2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) ) )
Distinct variable groups:    x, N    x, A    x, B    x, C    x, D

Proof of Theorem brsegle2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brsegle 24803 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
2 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  y  Btwn  <. C ,  D >. )
3 simpl1 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  N  e.  NN )
4 simpl3l 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
5 simpl3r 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
6 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
y  e.  ( EE
`  N ) )
7 btwncolinear2 24765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( y  Btwn  <. C ,  D >.  ->  C  Colinear  <. y ,  D >. ) )
83, 4, 5, 6, 7syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( y  Btwn  <. C ,  D >.  ->  C  Colinear  <. y ,  D >. ) )
98adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  (
y  Btwn  <. C ,  D >.  ->  C  Colinear  <. y ,  D >. ) )
102, 9mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  C  Colinear  <.
y ,  D >. )
11 simpl2l 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
12 simpl2r 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
13 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )
143, 11, 12, 4, 6, 13cgrcomand 24686 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  <. C , 
y >.Cgr <. A ,  B >. )
15 simpl2 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) ) )
16 lineext 24771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( C  Colinear  <. y ,  D >.  /\  <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >. )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.
) )
173, 4, 6, 5, 15, 16syl131anc 1195 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( C  Colinear  <. y ,  D >.  /\  <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >. )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.
) )
1817adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  (
( C  Colinear  <. y ,  D >.  /\  <. C , 
y >.Cgr <. A ,  B >. )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.
) )
1910, 14, 18mp2and 660 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.
)
20 an32 773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  <->  ( (
( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )
21 simpll1 994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  N  e.  NN )
22 simpl3l 1010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
2322adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
24 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
y  e.  ( EE
`  N ) )
25 simpl3r 1011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
2625adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
27 simpl2l 1008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
2827adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
29 simpl2r 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
3029adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
31 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  x  e.  ( EE `  N ) )
32 brcgr3 24741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  x  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.  <->  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. B ,  x >. ) ) )
3321, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 32syl133anc 1205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.  <->  (
<. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) ) )
3433adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.  <->  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. B ,  x >. ) ) )
35 simp2l 981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  y  Btwn  <. C ,  D >. )
36 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. B ,  x >. ) )
37333ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.  <->  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. B ,  x >. ) ) )
3836, 37mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >. )
39 btwnxfr 24751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  x  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >. )  ->  B  Btwn  <. A ,  x >. ) )
4021, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 39syl133anc 1205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >. )  ->  B  Btwn  <. A ,  x >. ) )
41403ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  ( (
y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >. )  ->  B  Btwn  <. A ,  x >. ) )
4235, 38, 41mp2and 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  B  Btwn  <. A ,  x >. )
43 simp32 992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >. )
44 cgrcom 24685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  <->  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )
4521, 23, 26, 28, 31, 44syl122anc 1191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( <. C ,  D >.Cgr
<. A ,  x >.  <->  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )
46453ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  ( <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >. 
<-> 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )
4743, 46mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )
4842, 47jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr
<. C ,  D >. ) )
49483expia 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  (
( <. C ,  y
>.Cgr <. A ,  B >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. )  ->  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) ) )
5034, 49sylbid 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.  ->  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr
<. C ,  D >. ) ) )
5120, 50sylanb 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.  ->  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr
<. C ,  D >. ) ) )
5251an32s 779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  /\  x  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.  ->  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr
<. C ,  D >. ) ) )
5352reximdva 2668 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  ( E. x  e.  ( EE `  N ) <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) ) )
5419, 53mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )
5554ex 423 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) ) )
5655rexlimdva 2680 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) ) )
57 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  B  Btwn  <. A ,  x >. )
58 simpll1 994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  N  e.  NN )
5927adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
60 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  x  e.  ( EE `  N
) )
6129adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
62 btwncolinear1 24764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( B  Btwn  <. A ,  x >.  ->  A  Colinear  <. x ,  B >. ) )
6358, 59, 60, 61, 62syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  ->  A  Colinear  <. x ,  B >. ) )
6457, 63mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  A  Colinear  <.
x ,  B >. )
65 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )
66 simpl1 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  N  e.  NN )
67 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  x  e.  ( EE `  N ) )
68 simpl3 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )
69 lineext 24771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( A  Colinear  <. x ,  B >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >. ) )
7066, 27, 67, 29, 68, 69syl131anc 1195 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( A  Colinear  <. x ,  B >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >. ) )
7170adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  (
( A  Colinear  <. x ,  B >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >. ) )
7264, 65, 71mp2and 660 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >. )
7327, 67, 293jca 1132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( A  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) ) )
7473adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( A  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) ) )
75 brcgr3 24741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >.  <->  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>.  /\  <. x ,  B >.Cgr
<. D ,  y >.
) ) )
7621, 74, 23, 26, 24, 75syl113anc 1194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >.  <-> 
( <. A ,  x >.Cgr
<. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) ) )
7776adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  ( <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >.  <->  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>.  /\  <. x ,  B >.Cgr
<. D ,  y >.
) ) )
78 simp2l 981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  B  Btwn  <. A ,  x >. )
79 simp32 992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )
80 simp2r 982 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )
81 simp33 993 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  <. x ,  B >.Cgr <. D ,  y
>. )
82 cgrcomlr 24693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. x ,  B >.Cgr <. D ,  y
>. 
<-> 
<. B ,  x >.Cgr <.
y ,  D >. ) )
8321, 31, 30, 26, 24, 82syl122anc 1191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( <. x ,  B >.Cgr
<. D ,  y >.  <->  <. B ,  x >.Cgr <.
y ,  D >. ) )
84833ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  ( <. x ,  B >.Cgr <. D , 
y >. 
<-> 
<. B ,  x >.Cgr <.
y ,  D >. ) )
8581, 84mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  <. B ,  x >.Cgr <. y ,  D >. )
8679, 80, 853jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr <. C , 
y >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\  <. B ,  x >.Cgr
<. y ,  D >. ) )
87 brcgr3 24741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  <. B ,  x >. >.Cgr3 <. C ,  <. y ,  D >. >.  <->  ( <. A ,  B >.Cgr <. C , 
y >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\  <. B ,  x >.Cgr
<. y ,  D >. ) ) )
8821, 28, 30, 31, 23, 24, 26, 87syl133anc 1205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( <. A ,  <. B ,  x >. >.Cgr3 <. C ,  <. y ,  D >. >.  <->  (
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. B ,  x >.Cgr <.
y ,  D >. ) ) )
89883ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  ( <. A ,  <. B ,  x >. >.Cgr3 <. C ,  <. y ,  D >. >.  <->  ( <. A ,  B >.Cgr <. C , 
y >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\  <. B ,  x >.Cgr
<. y ,  D >. ) ) )
9086, 89mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  <. A ,  <. B ,  x >. >.Cgr3 <. C ,  <. y ,  D >. >. )
91 btwnxfr 24751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  <. B ,  x >. >.Cgr3 <. C ,  <. y ,  D >. >. )  ->  y  Btwn  <. C ,  D >. ) )
9221, 28, 30, 31, 23, 24, 26, 91syl133anc 1205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. A ,  <. B ,  x >. >.Cgr3 <. C ,  <. y ,  D >. >. )  ->  y  Btwn  <. C ,  D >. ) )
93923ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  ( ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  <. B ,  x >. >.Cgr3 <. C ,  <. y ,  D >. >.
)  ->  y  Btwn  <. C ,  D >. ) )
9478, 90, 93mp2and 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  y  Btwn  <. C ,  D >. )
9594, 79jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
) )
96953expia 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  (
( <. A ,  x >.Cgr
<. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. )  ->  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
9777, 96sylbid 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  ( <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >.  ->  (
y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
9897an32s 779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >.  ->  (
y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
9998reximdva 2668 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >.  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
10072, 99mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )
101100ex 423 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
102101rexlimdva 2680 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. x  e.  ( EE `  N
) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
10356, 102impbid 183 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  <->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) ) )
1041, 103bitrd 244 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1696   E.wrex 2557   <.cop 3656   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   NNcn 9762   EEcee 24588    Btwn cbtwn 24589  Cgrccgr 24590  Cgr3ccgr3 24731    Colinear ccolin 24732    Seg<_ csegle 24801
This theorem is referenced by:  segleantisym  24810  seglelin  24811  outsidele  24827
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-ee 24591  df-btwn 24592  df-cgr 24593  df-ofs 24678  df-ifs 24734  df-cgr3 24735  df-colinear 24736  df-segle 24802
  Copyright terms: Public domain W3C validator