Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brsegle2 Unicode version

Theorem brsegle2 24093
Description: Alternate characterization of segment comparison. Theorem 5.5 of [Schwabhauser] p. 41-42. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
brsegle2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) ) )
Distinct variable groups:    x, N    x, A    x, B    x, C    x, D

Proof of Theorem brsegle2
StepHypRef Expression
1 brsegle 24092 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
2 simprl 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  y  Btwn  <. C ,  D >. )
3 simpl1 963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  N  e.  NN )
4 simpl3l 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
5 simpl3r 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
6 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
y  e.  ( EE
`  N ) )
7 btwncolinear2 24054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( y  Btwn  <. C ,  D >.  ->  C  Colinear  <. y ,  D >. ) )
83, 4, 5, 6, 7syl13anc 1189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( y  Btwn  <. C ,  D >.  ->  C  Colinear  <. y ,  D >. ) )
98adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  (
y  Btwn  <. C ,  D >.  ->  C  Colinear  <. y ,  D >. ) )
102, 9mpd 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  C  Colinear  <.
y ,  D >. )
11 simpl2l 1013 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
12 simpl2r 1014 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
13 simprr 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )
143, 11, 12, 4, 6, 13cgrcomand 23975 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  <. C , 
y >.Cgr <. A ,  B >. )
15 simpl2 964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) ) )
16 lineext 24060 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( C  Colinear  <. y ,  D >.  /\  <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >. )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.
) )
173, 4, 6, 5, 15, 16syl131anc 1200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( C  Colinear  <. y ,  D >.  /\  <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >. )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.
) )
1817adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  (
( C  Colinear  <. y ,  D >.  /\  <. C , 
y >.Cgr <. A ,  B >. )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.
) )
1910, 14, 18mp2and 663 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.
)
20 an32 776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  <->  ( (
( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )
21 simpll1 999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  N  e.  NN )
22 simpl3l 1015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
2322adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
24 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
y  e.  ( EE
`  N ) )
25 simpl3r 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
2625adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
27 simpl2l 1013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
2827adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
29 simpl2r 1014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
3029adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
31 simplr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  x  e.  ( EE `  N ) )
32 brcgr3 24030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  x  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.  <->  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. B ,  x >. ) ) )
3321, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 32syl133anc 1210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.  <->  (
<. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) ) )
3433adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.  <->  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. B ,  x >. ) ) )
35 simp2l 986 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  y  Btwn  <. C ,  D >. )
36 simp3 962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. B ,  x >. ) )
37333ad2ant1 981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.  <->  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. B ,  x >. ) ) )
3836, 37mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >. )
39 btwnxfr 24040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  x  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >. )  ->  B  Btwn  <. A ,  x >. ) )
4021, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 39syl133anc 1210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >. )  ->  B  Btwn  <. A ,  x >. ) )
41403ad2ant1 981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  ( (
y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >. )  ->  B  Btwn  <. A ,  x >. ) )
4235, 38, 41mp2and 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  B  Btwn  <. A ,  x >. )
43 simp32 997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >. )
44 cgrcom 23974 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  <->  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )
4521, 23, 26, 28, 31, 44syl122anc 1196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( <. C ,  D >.Cgr
<. A ,  x >.  <->  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )
46453ad2ant1 981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  ( <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >. 
<-> 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )
4743, 46mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )
4842, 47jca 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr
<. C ,  D >. ) )
49483expia 1158 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  (
( <. C ,  y
>.Cgr <. A ,  B >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. )  ->  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) ) )
5034, 49sylbid 208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.  ->  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr
<. C ,  D >. ) ) )
5120, 50sylanb 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.  ->  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr
<. C ,  D >. ) ) )
5251an32s 782 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  /\  x  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.  ->  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr
<. C ,  D >. ) ) )
5352reximdva 2628 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  ( E. x  e.  ( EE `  N ) <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) ) )
5419, 53mpd 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )
5554ex 425 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) ) )
5655rexlimdva 2640 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) ) )
57 simprl 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  B  Btwn  <. A ,  x >. )
58 simpll1 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  N  e.  NN )
5927adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
60 simplr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  x  e.  ( EE `  N
) )
6129adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
62 btwncolinear1 24053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( B  Btwn  <. A ,  x >.  ->  A  Colinear  <. x ,  B >. ) )
6358, 59, 60, 61, 62syl13anc 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  ->  A  Colinear  <. x ,  B >. ) )
6457, 63mpd 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  A  Colinear  <.
x ,  B >. )
65 simprr 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )
66 simpl1 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  N  e.  NN )
67 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  x  e.  ( EE `  N ) )
68 simpl3 965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )
69 lineext 24060 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( A  Colinear  <. x ,  B >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >. ) )
7066, 27, 67, 29, 68, 69syl131anc 1200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( A  Colinear  <. x ,  B >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >. ) )
7170adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  (
( A  Colinear  <. x ,  B >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >. ) )
7264, 65, 71mp2and 663 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >. )
7327, 67, 293jca 1137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( A  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) ) )
7473adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( A  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) ) )
75 brcgr3 24030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >.  <->  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>.  /\  <. x ,  B >.Cgr
<. D ,  y >.
) ) )
7621, 74, 23, 26, 24, 75syl113anc 1199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >.  <-> 
( <. A ,  x >.Cgr
<. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) ) )
7776adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  ( <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >.  <->  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>.  /\  <. x ,  B >.Cgr
<. D ,  y >.
) ) )
78 simp2l 986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  B  Btwn  <. A ,  x >. )
79 simp32 997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )
80 simp2r 987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )
81 simp33 998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  <. x ,  B >.Cgr <. D ,  y
>. )
82 cgrcomlr 23982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. x ,  B >.Cgr <. D ,  y
>. 
<-> 
<. B ,  x >.Cgr <.
y ,  D >. ) )
8321, 31, 30, 26, 24, 82syl122anc 1196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( <. x ,  B >.Cgr
<. D ,  y >.  <->  <. B ,  x >.Cgr <.
y ,  D >. ) )
84833ad2ant1 981 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  ( <. x ,  B >.Cgr <. D , 
y >. 
<-> 
<. B ,  x >.Cgr <.
y ,  D >. ) )
8581, 84mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  <. B ,  x >.Cgr <. y ,  D >. )
8679, 80, 853jca 1137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr <. C , 
y >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\  <. B ,  x >.Cgr
<. y ,  D >. ) )
87 brcgr3 24030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  <. B ,  x >. >.Cgr3 <. C ,  <. y ,  D >. >.  <->  ( <. A ,  B >.Cgr <. C , 
y >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\  <. B ,  x >.Cgr
<. y ,  D >. ) ) )
8821, 28, 30, 31, 23, 24, 26, 87syl133anc 1210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( <. A ,  <. B ,  x >. >.Cgr3 <. C ,  <. y ,  D >. >.  <->  (
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. B ,  x >.Cgr <.
y ,  D >. ) ) )
89883ad2ant1 981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  ( <. A ,  <. B ,  x >. >.Cgr3 <. C ,  <. y ,  D >. >.  <->  ( <. A ,  B >.Cgr <. C , 
y >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\  <. B ,  x >.Cgr
<. y ,  D >. ) ) )
9086, 89mpbird 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  <. A ,  <. B ,  x >. >.Cgr3 <. C ,  <. y ,  D >. >. )
91 btwnxfr 24040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  <. B ,  x >. >.Cgr3 <. C ,  <. y ,  D >. >. )  ->  y  Btwn  <. C ,  D >. ) )
9221, 28, 30, 31, 23, 24, 26, 91syl133anc 1210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. A ,  <. B ,  x >. >.Cgr3 <. C ,  <. y ,  D >. >. )  ->  y  Btwn  <. C ,  D >. ) )
93923ad2ant1 981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  ( ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  <. B ,  x >. >.Cgr3 <. C ,  <. y ,  D >. >.
)  ->  y  Btwn  <. C ,  D >. ) )
9478, 90, 93mp2and 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  y  Btwn  <. C ,  D >. )
9594, 79jca 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
) )
96953expia 1158 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  (
( <. A ,  x >.Cgr
<. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. )  ->  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
9777, 96sylbid 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  ( <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >.  ->  (
y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
9897an32s 782 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >.  ->  (
y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
9998reximdva 2628 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >.  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
10072, 99mpd 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )
101100ex 425 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
102101rexlimdva 2640 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. x  e.  ( EE `  N
) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
10356, 102impbid 185 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  <->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) ) )
1041, 103bitrd 246 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    e. wcel 1621   E.wrex 2517   <.cop 3603   class class class wbr 3983   ` cfv 4659   NNcn 9700   EEcee 23877    Btwn cbtwn 23878  Cgrccgr 23879  Cgr3ccgr3 24020    Colinear ccolin 24021    Seg<_ csegle 24090
This theorem is referenced by:  segleantisym  24099  seglelin  24100  outsidele  24116
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-oadd 6437  df-er 6614  df-map 6728  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-sup 7148  df-oi 7179  df-card 7526  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-n0 9919  df-z 9978  df-uz 10184  df-rp 10308  df-ico 10614  df-icc 10615  df-fz 10735  df-fzo 10823  df-seq 10999  df-exp 11057  df-hash 11290  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-clim 11913  df-sum 12110  df-ee 23880  df-btwn 23881  df-cgr 23882  df-ofs 23967  df-ifs 24023  df-cgr3 24024  df-colinear 24025  df-segle 24091
  Copyright terms: Public domain W3C validator