Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  btwnconn1lem1 Unicode version

Theorem btwnconn1lem1 24071
 Description: Lemma for btwnconn1 24085. The next several lemmas introduce various properties of hypothetical points that end up eliminating alternatives to connectivity. We begin by showing a congruence property of those hypothetical points. (Contributed by Scott Fenton, 8-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
btwnconn1lem1 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr

Proof of Theorem btwnconn1lem1
StepHypRef Expression
1 simp11 990 . 2
2 simp13 992 . 2
3 simp22 994 . 2
4 simp23 995 . 2
5 simp33 998 . 2
6 simp31 996 . 2
7 simp21 993 . 2
8 simp12 991 . . 3
9 simp1rr 1026 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr
109adantl 454 . . 3 Cgr Cgr Cgr Cgr
11 simp2ll 1027 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr
1211adantl 454 . . 3 Cgr Cgr Cgr Cgr
131, 8, 2, 3, 4, 10, 12btwnexch3and 24005 . 2 Cgr Cgr Cgr Cgr
14 simp2rl 1029 . . . . 5 Cgr Cgr Cgr Cgr
1514adantl 454 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr
16 simp3rl 1033 . . . . 5 Cgr Cgr Cgr Cgr
1716adantl 454 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr
181, 8, 7, 6, 5, 15, 17btwnexch3and 24005 . . 3 Cgr Cgr Cgr Cgr
191, 6, 7, 5, 18btwncomand 23999 . 2 Cgr Cgr Cgr Cgr
20 simp3rr 1034 . . . . 5 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
2120adantl 454 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
221, 6, 5, 3, 2, 21cgrcomand 23975 . . 3 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
231, 3, 2, 6, 5, 22cgrcomlrand 23985 . 2 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
24 simp2lr 1028 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
2524adantl 454 . . 3 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
26 simp2rr 1030 . . . . 5 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
2726adantl 454 . . . 4 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
281, 7, 6, 7, 3, 27cgrcomland 23983 . . 3 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
291, 3, 4, 6, 7, 7, 3, 25, 28cgrtr3and 23979 . 2 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 19, 23, 29cgrextendand 23993 1 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wa 360   w3a 939   wcel 1621   wne 2419  cop 3603   class class class wbr 3983  cfv 4659  cn 9700  cee 23877   cbtwn 23878  Cgrccgr 23879 This theorem is referenced by:  btwnconn1lem2  24072  btwnconn1lem4  24074 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-oadd 6437  df-er 6614  df-map 6728  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-sup 7148  df-oi 7179  df-card 7526  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-n0 9919  df-z 9978  df-uz 10184  df-rp 10308  df-ico 10614  df-icc 10615  df-fz 10735  df-fzo 10823  df-seq 10999  df-exp 11057  df-hash 11290  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-clim 11913  df-sum 12110  df-ee 23880  df-btwn 23881  df-cgr 23882  df-ofs 23967
 Copyright terms: Public domain W3C validator