Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  btwnxfr Structured version   Unicode version

Theorem btwnxfr 25983
 Description: A condition for extending betweenness to a new set of points based on congruence with another set of points. Theorem 4.6 of [Schwabhauser] p. 36. (Contributed by Scott Fenton, 4-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
btwnxfr Cgr3

Proof of Theorem btwnxfr
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brcgr3 25973 . . . . . 6 Cgr3 Cgr Cgr Cgr
2 simp2 958 . . . . . 6 Cgr Cgr Cgr Cgr
31, 2syl6bi 220 . . . . 5 Cgr3 Cgr
4 simp1 957 . . . . . 6
5 simp21 990 . . . . . 6
6 simp22 991 . . . . . 6
7 simp23 992 . . . . . 6
8 simp31 993 . . . . . 6
9 simp33 995 . . . . . 6
10 cgrxfr 25982 . . . . . 6 Cgr Cgr3
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10syl132anc 1202 . . . . 5 Cgr Cgr3
123, 11sylan2d 469 . . . 4 Cgr3 Cgr3
1312imp 419 . . 3 Cgr3 Cgr3
14 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . 13 Cgr3 Cgr3
1514, 14jca 519 . . . . . . . . . . . 12 Cgr3 Cgr3
16 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . . . 15
17 simpl31 1038 . . . . . . . . . . . . . . 15
18 simpl33 1040 . . . . . . . . . . . . . . 15
1916, 17, 18cgrrflxd 25915 . . . . . . . . . . . . . 14 Cgr
20 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15
2116, 20, 18cgrrflxd 25915 . . . . . . . . . . . . . 14 Cgr
2219, 21jca 519 . . . . . . . . . . . . 13 Cgr Cgr
2322adantr 452 . . . . . . . . . . . 12 Cgr3 Cgr3 Cgr Cgr
24 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14 Cgr3 Cgr3
25 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14 Cgr3 Cgr3
26 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . . . . 16
27 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2817, 20, 183jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16
29 cgr3tr4 25979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Cgr3 Cgr3 Cgr3
3016, 26, 27, 28, 29syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15 Cgr3 Cgr3 Cgr3
31 cgr3com 25980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Cgr3 Cgr3
3216, 27, 17, 20, 18, 31syl113anc 1196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Cgr3 Cgr3
33 simpl32 1039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34 brcgr3 25973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Cgr3 Cgr Cgr Cgr
3516, 17, 20, 18, 17, 33, 18, 34syl133anc 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Cgr3 Cgr Cgr Cgr
36 simpr1 963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Cgr Cgr Cgr Cgr
37 simpr3 965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Cgr Cgr Cgr Cgr
3816, 20, 18, 33, 18, 37cgrcomlrand 25928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Cgr Cgr Cgr Cgr
3936, 38jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
4039ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
4135, 40sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Cgr3 Cgr Cgr
4232, 41sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . 15 Cgr3 Cgr Cgr
4330, 42syld 42 . . . . . . . . . . . . . 14 Cgr3 Cgr3 Cgr Cgr
4424, 25, 43syl2ani 638 . . . . . . . . . . . . 13 Cgr3 Cgr3 Cgr Cgr
4544imp 419 . . . . . . . . . . . 12 Cgr3 Cgr3 Cgr Cgr
4615, 23, 453jca 1134 . . . . . . . . . . 11 Cgr3 Cgr3 Cgr Cgr Cgr Cgr
4746ex 424 . . . . . . . . . 10 Cgr3 Cgr3 Cgr Cgr Cgr Cgr
48 brifs 25970 . . . . . . . . . . . 12 Cgr Cgr Cgr Cgr
49 ifscgr 25971 . . . . . . . . . . . 12 Cgr
5048, 49sylbird 227 . . . . . . . . . . 11 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
5116, 17, 20, 18, 20, 17, 20, 18, 33, 50syl333anc 1216 . . . . . . . . . 10 Cgr Cgr Cgr Cgr Cgr
5247, 51syld 42 . . . . . . . . 9 Cgr3 Cgr3 Cgr
53 cgrid2 25930 . . . . . . . . . 10 Cgr
5416, 20, 20, 33, 53syl13anc 1186 . . . . . . . . 9 Cgr
5552, 54syld 42 . . . . . . . 8 Cgr3 Cgr3
5655imp 419 . . . . . . 7 Cgr3 Cgr3
5756, 14eqbrtrrd 4227 . . . . . 6 Cgr3 Cgr3
5857expr 599 . . . . 5 Cgr3 Cgr3
5958an32s 780 . . . 4 Cgr3 Cgr3
6059rexlimdva 2823 . . 3 Cgr3 Cgr3
6113, 60mpd 15 . 2 Cgr3
6261ex 424 1 Cgr3
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2699  cop 3810   class class class wbr 4205  cfv 5447  cn 9993  cee 25820   cbtwn 25821  Cgrccgr 25822   cifs 25962  Cgr3ccgr3 25963 This theorem is referenced by:  colinearxfr  26002  brofs2  26004  brifs2  26005  endofsegid  26012  brsegle2  26036 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-inf2 7589  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060  ax-pre-sup 9061 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-se 4535  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-isom 5456  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-sup 7439  df-oi 7472  df-card 7819  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-div 9671  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-rp 10606  df-ico 10915  df-icc 10916  df-fz 11037  df-fzo 11129  df-seq 11317  df-exp 11376  df-hash 11612  df-cj 11897  df-re 11898  df-im 11899  df-sqr 12033  df-abs 12034  df-clim 12275  df-sum 12473  df-ee 25823  df-btwn 25824  df-cgr 25825  df-ofs 25910  df-ifs 25966  df-cgr3 25967
 Copyright terms: Public domain W3C validator