MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  btwnz Unicode version

Theorem btwnz 10110
Description: Any real number can be sandwiched between two integers. Exercise 2 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 10-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
btwnz  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E. x  e.  ZZ  x  <  A  /\  E. y  e.  ZZ  A  <  y ) )
Distinct variable groups:    x, A    y, A

Proof of Theorem btwnz
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 9106 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
2 arch 9958 . . . 4  |-  ( -u A  e.  RR  ->  E. z  e.  NN  -u A  <  z )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  E. z  e.  NN  -u A  <  z
)
4 nnre 9749 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  RR )
5 ltnegcon1 9271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( -u A  < 
z  <->  -u z  <  A
) )
65ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
z  e.  RR  ->  (
-u A  <  z  <->  -u z  <  A ) ) )
74, 6syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
z  e.  NN  ->  (
-u A  <  z  <->  -u z  <  A ) ) )
87pm5.32d 620 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( z  e.  NN  /\  -u A  <  z )  <-> 
( z  e.  NN  /\  -u z  <  A ) ) )
9 nnnegz 10023 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  NN  ->  -u z  e.  ZZ )
10 breq1 4027 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u z  ->  (
x  <  A  <->  -u z  < 
A ) )
1110rspcev 2885 . . . . . . 7  |-  ( (
-u z  e.  ZZ  /\  -u z  <  A )  ->  E. x  e.  ZZ  x  <  A )
129, 11sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  <  A )  ->  E. x  e.  ZZ  x  <  A )
138, 12syl6bi 219 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( z  e.  NN  /\  -u A  <  z )  ->  E. x  e.  ZZ  x  <  A ) )
1413exp3a 425 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
z  e.  NN  ->  (
-u A  <  z  ->  E. x  e.  ZZ  x  <  A ) ) )
1514rexlimdv 2667 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E. z  e.  NN  -u A  <  z  ->  E. x  e.  ZZ  x  <  A ) )
163, 15mpd 14 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E. x  e.  ZZ  x  <  A
)
17 arch 9958 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  E. y  e.  NN  A  <  y
)
18 nnz 10041 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
1918anim1i 551 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  A  <  y )  -> 
( y  e.  ZZ  /\  A  <  y ) )
2019reximi2 2650 . . 3  |-  ( E. y  e.  NN  A  <  y  ->  E. y  e.  ZZ  A  <  y
)
2117, 20syl 15 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E. y  e.  ZZ  A  <  y
)
2216, 21jca 518 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E. x  e.  ZZ  x  <  A  /\  E. y  e.  ZZ  A  <  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1685   E.wrex 2545   class class class wbr 4024   RRcr 8732    < clt 8863   -ucneg 9034   NNcn 9742   ZZcz 10020
This theorem is referenced by:  lbzbi  10302  rpnnen1lem1  10338  rpnnen1lem2  10339  rpnnen1lem3  10340  rpnnen1lem5  10342
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-nn 9743  df-z 10021
  Copyright terms: Public domain W3C validator