MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  btwnz Structured version   Unicode version

Theorem btwnz 10365
Description: Any real number can be sandwiched between two integers. Exercise 2 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 10-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
btwnz  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E. x  e.  ZZ  x  <  A  /\  E. y  e.  ZZ  A  <  y ) )
Distinct variable groups:    x, A    y, A

Proof of Theorem btwnz
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 9357 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
2 arch 10211 . . . 4  |-  ( -u A  e.  RR  ->  E. z  e.  NN  -u A  <  z )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  E. z  e.  NN  -u A  <  z
)
4 nnre 10000 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  RR )
5 ltnegcon1 9522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( -u A  < 
z  <->  -u z  <  A
) )
65ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
z  e.  RR  ->  (
-u A  <  z  <->  -u z  <  A ) ) )
74, 6syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
z  e.  NN  ->  (
-u A  <  z  <->  -u z  <  A ) ) )
87pm5.32d 621 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( z  e.  NN  /\  -u A  <  z )  <-> 
( z  e.  NN  /\  -u z  <  A ) ) )
9 nnnegz 10278 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  NN  ->  -u z  e.  ZZ )
10 breq1 4208 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u z  ->  (
x  <  A  <->  -u z  < 
A ) )
1110rspcev 3045 . . . . . . 7  |-  ( (
-u z  e.  ZZ  /\  -u z  <  A )  ->  E. x  e.  ZZ  x  <  A )
129, 11sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  NN  /\  -u z  <  A )  ->  E. x  e.  ZZ  x  <  A )
138, 12syl6bi 220 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( z  e.  NN  /\  -u A  <  z )  ->  E. x  e.  ZZ  x  <  A ) )
1413exp3a 426 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
z  e.  NN  ->  (
-u A  <  z  ->  E. x  e.  ZZ  x  <  A ) ) )
1514rexlimdv 2822 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E. z  e.  NN  -u A  <  z  ->  E. x  e.  ZZ  x  <  A ) )
163, 15mpd 15 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E. x  e.  ZZ  x  <  A
)
17 arch 10211 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  E. y  e.  NN  A  <  y
)
18 nnz 10296 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
1918anim1i 552 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  A  <  y )  -> 
( y  e.  ZZ  /\  A  <  y ) )
2019reximi2 2805 . . 3  |-  ( E. y  e.  NN  A  <  y  ->  E. y  e.  ZZ  A  <  y
)
2117, 20syl 16 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E. y  e.  ZZ  A  <  y
)
2216, 21jca 519 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E. x  e.  ZZ  x  <  A  /\  E. y  e.  ZZ  A  <  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   E.wrex 2699   class class class wbr 4205   RRcr 8982    < clt 9113   -ucneg 9285   NNcn 9993   ZZcz 10275
This theorem is referenced by:  lbzbi  10557  rpnnen1lem1  10593  rpnnen1lem2  10594  rpnnen1lem3  10595  rpnnen1lem5  10597
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060  ax-pre-sup 9061
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-z 10276
  Copyright terms: Public domain W3C validator