MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bwth Structured version   Unicode version

Theorem bwth 17473
Description: The glorious Bolzano-Weierstrass theorem. Certainly the first general topology theorem ever proved. In his course Weierstrass called it a lemma. He certainly didn't know how famous this theorem would be. He used an euclidian space instead of a general compact space. And he was not conscious of the Heine-Borel property. Cantor was one of his students. He used the concept of neighborhood and limit point invented by his master when he studied the linear point sets and the rest of the general topology followed from that. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
bwt2.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
bwth  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, X

Proof of Theorem bwth
Dummy variables  f 
b  o  z  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmptop 17458 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
2 bwt2.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
32islp3 17210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  x  e.  X )  ->  (
x  e.  ( (
limPt `  J ) `  A )  <->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  ( o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
433exp 1152 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  C_  X  ->  (
x  e.  X  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  ( o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) ) ) )
51, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( A 
C_  X  ->  (
x  e.  X  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  ( o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) ) ) )
65imp31 422 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )  <->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  -> 
( o  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) ) ) )
76rexbidva 2722 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X )  ->  ( E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  E. x  e.  X  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  ( o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
87notbid 286 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X )  ->  ( -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  -.  E. x  e.  X  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  ( o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
983adant3 977 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  -.  E. x  e.  X  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  ( o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) ) )
10 nrexralim 2752 . . . 4  |-  ( -. 
E. x  e.  X  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  ( o  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  <->  A. x  e.  X  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  -.  (
o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) ) )
11 uniexg 4706 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Comp  ->  U. J  e.  _V )
122, 11syl5eqel 2520 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Comp  ->  X  e. 
_V )
13 eleq2 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  ( f `  x )  ->  (
x  e.  o  <->  x  e.  ( f `  x
) ) )
14 nne 2605 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( o  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/)  <->  ( o  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )
15 ineq1 3535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  =  ( f `  x )  ->  (
o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x } ) ) )
1615eqeq1d 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  ( f `  x )  ->  (
( o  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/)  <->  (
( f `  x
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  (/) ) )
1714, 16syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  ( f `  x )  ->  ( -.  ( o  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/)  <->  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )
1813, 17anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  ( f `  x )  ->  (
( x  e.  o  /\  -.  ( o  i^i  ( A  \  { x } ) )  =/=  (/) )  <->  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) ) )
1918ac6sg 8368 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  _V  ->  ( A. x  e.  X  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  -.  ( o  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =/=  (/) )  ->  E. f
( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) ) ) )
2012, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( A. x  e.  X  E. o  e.  J  (
x  e.  o  /\  -.  ( o  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  E. f ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) ) ) )
21203ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A. x  e.  X  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  -.  ( o  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =/=  (/) )  ->  E. f
( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) ) ) )
22 frn 5597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : X --> J  ->  ran  f  C_  J )
23 vex 2959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  f  e. 
_V
2423rnex 5133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  f  e.  _V
2524elpw 3805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  f  e.  ~P J  <->  ran  f  C_  J )
2622, 25sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : X --> J  ->  ran  f  e.  ~P J )
2726adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  ran  f  e.  ~P J
)
28 uniss 4036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ran  f  C_  J  ->  U.
ran  f  C_  U. J
)
2922, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : X --> J  ->  U. ran  f  C_  U. J
)
3029, 2syl6sseqr 3395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : X --> J  ->  U. ran  f  C_  X
)
31 df-ral 2710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) 
<-> 
A. x ( x  e.  X  ->  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) ) )
32 pm2.27 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  X  ->  (
( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( f `  x )  /\  ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  -> 
( x  e.  ( f `  x )  /\  ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) ) )
33 fdm 5595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f : X --> J  ->  dom  f  =  X
)
34 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( X  =  dom  f  -> 
( x  e.  X  <->  x  e.  dom  f ) )
3534biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( X  =  dom  f  -> 
( x  e.  X  ->  x  e.  dom  f
) )
36 ffun 5593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f : X --> J  ->  Fun  f )
37 fvelrn 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( Fun  f  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( f `  x
)  e.  ran  f
)
3837ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( Fun  f  ->  ( x  e.  dom  f  ->  (
f `  x )  e.  ran  f ) )
39 elunii 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( f `  x
)  e.  ran  f
)  ->  x  e.  U.
ran  f )
4039ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( x  e.  ( f `  x )  ->  (
( f `  x
)  e.  ran  f  ->  x  e.  U. ran  f ) )
41 idd 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( f : X --> J  -> 
( x  e.  U. ran  f  ->  x  e. 
U. ran  f )
)
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( U. ran  f  C_  X  -> 
( f : X --> J  ->  ( x  e. 
U. ran  f  ->  x  e.  U. ran  f
) ) )
4342com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( x  e.  U. ran  f  ->  ( f : X --> J  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  x  e.  U. ran  f ) ) )
4440, 43syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  e.  ( f `  x )  ->  (
( f `  x
)  e.  ran  f  ->  ( f : X --> J  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  x  e.  U. ran  f ) ) ) )
4544com4l 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( f `  x )  e.  ran  f  -> 
( f : X --> J  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  (
x  e.  ( f `
 x )  ->  x  e.  U. ran  f
) ) ) )
4638, 45syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( Fun  f  ->  ( x  e.  dom  f  ->  (
f : X --> J  -> 
( U. ran  f  C_  X  ->  ( x  e.  ( f `  x
)  ->  x  e.  U.
ran  f ) ) ) ) )
4746com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( Fun  f  ->  ( f : X --> J  ->  (
x  e.  dom  f  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  ( x  e.  ( f `  x
)  ->  x  e.  U.
ran  f ) ) ) ) )
4836, 47mpcom 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f : X --> J  -> 
( x  e.  dom  f  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  (
x  e.  ( f `
 x )  ->  x  e.  U. ran  f
) ) ) )
4948com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  dom  f  -> 
( f : X --> J  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  (
x  e.  ( f `
 x )  ->  x  e.  U. ran  f
) ) ) )
5035, 49syl6com 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  X  ->  ( X  =  dom  f  -> 
( f : X --> J  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  (
x  e.  ( f `
 x )  ->  x  e.  U. ran  f
) ) ) ) )
5150com4l 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( X  =  dom  f  -> 
( f : X --> J  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  (
x  e.  X  -> 
( x  e.  ( f `  x )  ->  x  e.  U. ran  f ) ) ) ) )
5251eqcoms 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( dom  f  =  X  -> 
( f : X --> J  ->  ( U. ran  f  C_  X  ->  (
x  e.  X  -> 
( x  e.  ( f `  x )  ->  x  e.  U. ran  f ) ) ) ) )
5333, 52mpcom 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f : X --> J  -> 
( U. ran  f  C_  X  ->  ( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( f `  x )  ->  x  e.  U. ran  f ) ) ) )
5453impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J )  ->  (
x  e.  X  -> 
( x  e.  ( f `  x )  ->  x  e.  U. ran  f ) ) )
5554com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( f `  x )  ->  (
x  e.  X  -> 
( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J )  ->  x  e.  U. ran  f
) ) )
5655adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) )  ->  ( x  e.  X  ->  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J )  ->  x  e.  U. ran  f ) ) )
5732, 56syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  X  ->  (
( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( f `  x )  /\  ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  -> 
( x  e.  X  ->  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J )  ->  x  e.  U. ran  f
) ) ) )
5857pm2.43a 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  X  ->  (
( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( f `  x )  /\  ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  -> 
( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J )  ->  x  e.  U. ran  f
) ) )
5958com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J )  ->  (
( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( f `  x )  /\  ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  -> 
( x  e.  X  ->  x  e.  U. ran  f ) ) )
6059alimdv 1631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J )  ->  ( A. x ( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  ->  A. x ( x  e.  X  ->  x  e.  U.
ran  f ) ) )
6131, 60syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J )  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  (
f `  x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) )  ->  A. x ( x  e.  X  ->  x  e.  U. ran  f ) ) )
62613impia 1150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  ->  A. x ( x  e.  X  ->  x  e.  U.
ran  f ) )
63 dfss2 3337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X 
C_  U. ran  f  <->  A. x
( x  e.  X  ->  x  e.  U. ran  f ) )
6462, 63sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  ->  X  C_  U. ran  f
)
65 simp1 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  ->  U. ran  f  C_  X
)
6664, 65eqssd 3365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. ran  f  C_  X  /\  f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  ->  X  =  U. ran  f
)
67663exp 1152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ran  f  C_  X  -> 
( f : X --> J  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  X  =  U. ran  f ) ) )
6830, 67mpcom 34 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : X --> J  -> 
( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  X  =  U. ran  f ) )
6968imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  X  =  U. ran  f )
7027, 69jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  ( ran  f  e.  ~P J  /\  X  =  U. ran  f ) )
712iscmp 17451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Comp  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. a  e.  ~P  J ( X  =  U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. z
) ) )
72 unieq 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =  ran  f  ->  U. a  =  U. ran  f )
7372eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  ran  f  -> 
( X  =  U. a 
<->  X  =  U. ran  f ) )
74 pweq 3802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  =  ran  f  ->  ~P a  =  ~P ran  f )
7574ineq1d 3541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =  ran  f  -> 
( ~P a  i^i 
Fin )  =  ( ~P ran  f  i^i 
Fin ) )
7675rexeqdv 2911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  ran  f  -> 
( E. z  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. z  <->  E. z  e.  ( ~P ran  f  i^i  Fin ) X  = 
U. z ) )
7773, 76imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  ran  f  -> 
( ( X  = 
U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )  <->  ( X  =  U. ran  f  ->  E. z  e.  ( ~P ran  f  i^i  Fin ) X  =  U. z ) ) )
7877rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ran  f  e.  ~P J  ->  ( A. a  e. 
~P  J ( X  =  U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  ( X  =  U. ran  f  ->  E. z  e.  ( ~P ran  f  i^i  Fin ) X  =  U. z ) ) )
79 elin 3530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( ~P ran  f  i^i  Fin )  <->  ( z  e.  ~P ran  f  /\  z  e.  Fin )
)
80 sseq2 3370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( X  =  U. z  -> 
( A  C_  X  <->  A 
C_  U. z ) )
81 infssuni 7397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  z  e.  Fin  /\  A  C_  U. z )  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin )
82813exp 1152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( z  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. z  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) ) )
8382com3l 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. z  -> 
( -.  A  e. 
Fin  ->  E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b )  e.  Fin ) ) )
84 elelpwi 3809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( b  e.  z  /\  z  e.  ~P ran  f )  ->  b  e.  ran  f )
8584ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( b  e.  z  ->  (
z  e.  ~P ran  f  ->  b  e.  ran  f ) )
86 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( f : X --> J  -> 
f  Fn  X )
87 fvelrnb 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( f  Fn  X  ->  (
b  e.  ran  f  <->  E. x  e.  X  ( f `  x )  =  b ) )
88 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  F/ x  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin
89 nfra1 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  F/ x A. x  e.  X  ( x  e.  (
f `  x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) )
90 nfre1 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  F/ x E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )
9189, 90nfim 1832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  F/ x
( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)
9288, 91nfim 1832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  F/ x
( -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) )
93 ineq2 3536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( b  =  ( f `  x )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( A  i^i  (
f `  x )
) )
9493eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( b  =  ( f `  x )  ->  (
( A  i^i  b
)  e.  Fin  <->  ( A  i^i  ( f `  x
) )  e.  Fin ) )
9594notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( b  =  ( f `  x )  ->  ( -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  <->  -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin ) )
9695biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( b  =  ( f `  x )  ->  ( -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  ->  -.  ( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin )
)
9796eqcoms 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( f `  x )  =  b  ->  ( -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  ->  -.  ( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin )
)
98 difeq1 3458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( f `  x
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  (/)  ->  (
( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  \  {
x } )  =  ( (/)  \  { x } ) )
99 0dif 3699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( (/)  \  { x } )  =  (/)
100 eqtr 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) ) 
\  { x }
)  =  ( (/)  \  { x } )  /\  ( (/)  \  {
x } )  =  (/) )  ->  ( ( ( f `  x
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  \  { x } )  =  (/) )
101100ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  \  {
x } )  =  ( (/)  \  { x } )  ->  (
( (/)  \  { x } )  =  (/)  ->  ( ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) ) 
\  { x }
)  =  (/) ) )
102 difindir 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( f `  x
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  \  { x } )  =  ( ( ( f `  x )  \  {
x } )  i^i  ( ( A  \  { x } ) 
\  { x }
) )
103 eqtr 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( ( A 
\  { x }
)  \  { x } ) )  =  ( ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) ) 
\  { x }
)  /\  ( (
( f `  x
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  \  { x } )  =  (/) )  ->  ( ( ( f `  x ) 
\  { x }
)  i^i  ( ( A  \  { x }
)  \  { x } ) )  =  (/) )
104 difabs 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( A  \  { x } )  \  {
x } )  =  ( A  \  {
x } )
105104ineq2i 3539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( ( ( f `  x
)  \  { x } )  i^i  (
( A  \  {
x } )  \  { x } ) )  =  ( ( ( f `  x
)  \  { x } )  i^i  ( A  \  { x }
) )
106 eqtr2 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( ( A 
\  { x }
)  \  { x } ) )  =  ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( A  \  { x } ) )  /\  ( ( ( f `  x
)  \  { x } )  i^i  (
( A  \  {
x } )  \  { x } ) )  =  (/) )  -> 
( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  (/) )
107 difindir 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( ( f `  x
)  i^i  A )  \  { x } )  =  ( ( ( f `  x ) 
\  { x }
)  i^i  ( A  \  { x } ) )
108107eqcomi 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( ( ( f `  x
)  \  { x } )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  ( ( ( f `  x )  i^i  A
)  \  { x } )
109 eqtr2 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  ( ( ( f `  x
)  i^i  A )  \  { x } )  /\  ( ( ( f `  x ) 
\  { x }
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  (/) )  -> 
( ( ( f `
 x )  i^i 
A )  \  {
x } )  =  (/) )
110 0fin 7336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  (/)  e.  Fin
111 incom 3533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( ( f `  x )  i^i  A )  =  ( A  i^i  (
f `  x )
)
112111difeq1i 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( ( ( f `  x
)  i^i  A )  \  { x } )  =  ( ( A  i^i  ( f `  x ) )  \  { x } )
113112eleq1i 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( ( f `  x )  i^i  A
)  \  { x } )  e.  Fin  <->  (
( A  i^i  (
f `  x )
)  \  { x } )  e.  Fin )
114 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( ( f `  x )  i^i  A
)  \  { x } )  =  (/)  ->  ( ( ( ( f `  x )  i^i  A )  \  { x } )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
115113, 114syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( ( ( ( f `  x )  i^i  A
)  \  { x } )  =  (/)  ->  ( ( ( A  i^i  ( f `  x ) )  \  { x } )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
116110, 115mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( ( ( f `  x )  i^i  A
)  \  { x } )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  ( f `  x
) )  \  {
x } )  e. 
Fin )
117 snfi 7187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  { x }  e.  Fin
118 difinf 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( -.  ( A  i^i  ( f `  x
) )  e.  Fin  /\ 
{ x }  e.  Fin )  ->  -.  (
( A  i^i  (
f `  x )
)  \  { x } )  e.  Fin )
119117, 118mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( -.  ( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin  ->  -.  ( ( A  i^i  ( f `  x
) )  \  {
x } )  e. 
Fin )
120119con4i 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( ( A  i^i  (
f `  x )
)  \  { x } )  e.  Fin  ->  ( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin )
121109, 116, 1203syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( ( ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  ( ( ( f `  x
)  i^i  A )  \  { x } )  /\  ( ( ( f `  x ) 
\  { x }
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  (/) )  -> 
( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin )
122108, 121mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( ( ( f `  x )  \  {
x } )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/)  ->  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin )
123106, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( ( ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( ( A 
\  { x }
)  \  { x } ) )  =  ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( A  \  { x } ) )  /\  ( ( ( f `  x
)  \  { x } )  i^i  (
( A  \  {
x } )  \  { x } ) )  =  (/) )  -> 
( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin )
124105, 123mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( ( ( ( f `  x )  \  {
x } )  i^i  ( ( A  \  { x } ) 
\  { x }
) )  =  (/)  ->  ( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin )
125124pm2.24d 137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( ( ( f `  x )  \  {
x } )  i^i  ( ( A  \  { x } ) 
\  { x }
) )  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) )
126103, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( ( A 
\  { x }
)  \  { x } ) )  =  ( ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) ) 
\  { x }
)  /\  ( (
( f `  x
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  \  { x } )  =  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) )
127126ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( ( f `  x )  \  {
x } )  i^i  ( ( A  \  { x } ) 
\  { x }
) )  =  ( ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  \  {
x } )  -> 
( ( ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x } ) )  \  { x } )  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
128127eqcoms 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  \  {
x } )  =  ( ( ( f `
 x )  \  { x } )  i^i  ( ( A 
\  { x }
)  \  { x } ) )  -> 
( ( ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x } ) )  \  { x } )  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
129102, 128ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  \  {
x } )  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) )
130101, 129syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  \  {
x } )  =  ( (/)  \  { x } )  ->  (
( (/)  \  { x } )  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
13198, 99, 130ee10 1385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( f `  x
)  i^i  ( A  \  { x } ) )  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A
) ) )
132131adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) )
133132imim2i 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( x  e.  X  -> 
( x  e.  ( f `  x )  /\  ( ( f `
 x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  -> 
( x  e.  X  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
134133sps 1770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( A. x ( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  -> 
( x  e.  X  ->  ( -.  ( A  i^i  ( f `  x ) )  e. 
Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
13531, 134sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) )  ->  ( x  e.  X  ->  ( -.  ( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A
) ) ) )
136135com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( -.  ( A  i^i  (
f `  x )
)  e.  Fin  ->  ( x  e.  X  -> 
( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) )
13797, 136syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( f `  x )  =  b  ->  ( -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  ->  ( x  e.  X  -> 
( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) )
138137com3r 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( x  e.  X  ->  (
( f `  x
)  =  b  -> 
( -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) )
13992, 138rexlimi 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( E. x  e.  X  ( f `  x )  =  b  ->  ( -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  (
f `  x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
14087, 139syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( f  Fn  X  ->  (
b  e.  ran  f  ->  ( -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) )
141140com24 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( f  Fn  X  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  (
f `  x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin  ->  ( b  e. 
ran  f  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) )
14286, 141syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( f : X --> J  -> 
( A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  ->  ( b  e.  ran  f  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) ) )
143142imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  ( -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  ->  ( b  e.  ran  f  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
144143com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( b  e.  ran  f  -> 
( -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) )
14585, 144syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( b  e.  z  ->  (
z  e.  ~P ran  f  ->  ( -.  ( A  i^i  b )  e. 
Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) )
146145com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( b  e.  z  ->  ( -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  ->  ( z  e.  ~P ran  f  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) )
147146rexlimiv 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( E. b  e.  z  -.  ( A  i^i  b
)  e.  Fin  ->  ( z  e.  ~P ran  f  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) )
14883, 147syl8 67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. z  -> 
( -.  A  e. 
Fin  ->  ( z  e. 
~P ran  f  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) ) ) )
149148com4r 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  ~P ran  f  ->  ( z  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. z  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) ) )
150149imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  ~P ran  f  /\  z  e.  Fin )  ->  ( A  C_  U. z  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  (
( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) ) )
151150com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A 
C_  U. z  ->  (
( z  e.  ~P ran  f  /\  z  e.  Fin )  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) )
15280, 151syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( X  =  U. z  -> 
( A  C_  X  ->  ( ( z  e. 
~P ran  f  /\  z  e.  Fin )  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) ) )
153152com3r 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  ~P ran  f  /\  z  e.  Fin )  ->  ( X  = 
U. z  ->  ( A  C_  X  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) ) )
15479, 153sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( ~P ran  f  i^i  Fin )  -> 
( X  =  U. z  ->  ( A  C_  X  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( (
f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) ) )
155154rexlimiv 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. z  e.  ( ~P
ran  f  i^i  Fin ) X  =  U. z  ->  ( A  C_  X  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( (
f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) ) )
1561553impd 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. z  e.  ( ~P
ran  f  i^i  Fin ) X  =  U. z  ->  ( ( A 
C_  X  /\  -.  A  e.  Fin  /\  (
f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) )
15778, 156syl8 67 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ran  f  e.  ~P J  ->  ( A. a  e. 
~P  J ( X  =  U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  ( X  =  U. ran  f  -> 
( ( A  C_  X  /\  -.  A  e. 
Fin  /\  ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) ) )
158157com23 74 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  f  e.  ~P J  ->  ( X  =  U. ran  f  ->  ( A. a  e.  ~P  J
( X  =  U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. z )  ->  (
( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin  /\  ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) ) )
159158imp 419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  f  e.  ~P J  /\  X  =  U. ran  f )  ->  ( A. a  e.  ~P  J ( X  = 
U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )  -> 
( ( A  C_  X  /\  -.  A  e. 
Fin  /\  ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
160159com3l 77 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. a  e.  ~P  J
( X  =  U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. z )  ->  (
( A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin  /\  ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( ran  f  e.  ~P J  /\  X  =  U. ran  f )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) ) )
1611603expd 1170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. a  e.  ~P  J
( X  =  U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. z )  ->  ( A  C_  X  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  (
( ran  f  e.  ~P J  /\  X  = 
U. ran  f )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) ) ) )
162161adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. a  e.  ~P  J
( X  =  U. a  ->  E. z  e.  ( ~P a  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )  -> 
( A  C_  X  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  (
( ran  f  e.  ~P J  /\  X  = 
U. ran  f )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) ) ) )
16371, 162sylbi 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( A 
C_  X  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  (
( ran  f  e.  ~P J  /\  X  = 
U. ran  f )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) ) ) )
1641633imp 1147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  (
( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  -> 
( ( ran  f  e.  ~P J  /\  X  =  U. ran  f )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
165164com13 76 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  f  e.  ~P J  /\  X  =  U. ran  f )  ->  (
( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `  x
)  /\  ( (
f `  x )  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =  (/) ) )  -> 
( ( J  e. 
Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) ) )
16670, 165mpcom 34 . . . . . . 7  |-  ( ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  ( x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  (
( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) )
167166exlimiv 1644 . . . . . 6  |-  ( E. f ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  (
( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) )
168167com12 29 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( E. f ( f : X --> J  /\  A. x  e.  X  (
x  e.  ( f `
 x )  /\  ( ( f `  x )  i^i  ( A  \  { x }
) )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) )
16921, 168syld 42 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A. x  e.  X  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  -.  ( o  i^i  ( A  \  {
x } ) )  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) )
17010, 169syl5bi 209 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  E. x  e.  X  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  ( o  i^i  ( A  \  { x }
) )  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) ) )
1719, 170sylbid 207 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
) )
172171pm2.18d 105 1  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  X  x  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   {csn 3814   U.cuni 4015   dom cdm 4878   ran crn 4879   Fun wfun 5448    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454   Fincfn 7109   Topctop 16958   limPtclp 17198   Compccmp 17449
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-reg 7560  ax-inf2 7596  ax-ac2 8343
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-fin 7113  df-r1 7690  df-rank 7691  df-card 7826  df-ac 7997  df-top 16963  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-lp 17200  df-cmp 17450
  Copyright terms: Public domain W3C validator