Theorem canth2g 4630

Description: Cantor's theorem with the sethood requirement expressed as an antecedent. Theorem 23 of [Suppes] p. 97.

Assertion

Ref	Expression
canth2g	|- (A e. B -> A ~< P~A)

Proof of Theorem canth2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 2460	. . 3 |- (x = A -> P~x = P~A)
2		breq12 2697	. . 3 |- ((x = A /\ P~x = P~A) -> (x ~< P~x <-> A ~< P~A))
3	1, 2	mpdan 708	. 2 |- (x = A -> (x ~< P~x <-> A ~< P~A))
4		visset 1859	. . 3 |- x e. V
5	4	canth2 4629	. 2 |- x ~< P~x
6	3, 5	vtoclg 1893	1 |- (A e. B -> A ~< P~A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   = wceq 992   e. wcel 994  P~cpw 2458   class class class wbr 2692   ~< csdm 4507

This theorem is referenced by:  pwuninel 4631  2pwuninel 4632  pwne 4633  2pwne 4634  pwfi 4714  canth3 5000  ondomon 5006

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-rab 1698  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-id 2913  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511

Copyright terms: Public domain