Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  canth4 Structured version   Unicode version

Theorem canth4 8514
 Description: An "effective" form of Cantor's theorem canth 6531. For any function from the powerset of to , there are two definable sets and which witness non-injectivity of . Corollary 1.3 of [KanamoriPincus] p. 416. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
canth4.1
canth4.2
canth4.3
Assertion
Ref Expression
canth4
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem canth4
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . . . . 8
2 eqid 2435 . . . . . . . 8
31, 2pm3.2i 442 . . . . . . 7
4 canth4.1 . . . . . . . 8
5 elex 2956 . . . . . . . . 9
653ad2ant1 978 . . . . . . . 8
7 simpl2 961 . . . . . . . . 9
8 simp3 959 . . . . . . . . . 10
98sselda 3340 . . . . . . . . 9
107, 9ffvelrnd 5863 . . . . . . . 8
11 canth4.2 . . . . . . . 8
124, 6, 10, 11fpwwe 8513 . . . . . . 7
133, 12mpbiri 225 . . . . . 6
1413simpld 446 . . . . 5
154, 6fpwwelem 8512 . . . . 5
1614, 15mpbid 202 . . . 4
1716simpld 446 . . 3
1817simpld 446 . 2
19 canth4.3 . . . . 5
20 cnvimass 5216 . . . . 5
2119, 20eqsstri 3370 . . . 4
2217simprd 450 . . . . . 6
23 dmss 5061 . . . . . 6
2422, 23syl 16 . . . . 5
25 dmxpid 5081 . . . . 5
2624, 25syl6sseq 3386 . . . 4
2721, 26syl5ss 3351 . . 3
2813simprd 450 . . 3
2916simprd 450 . . . . . . 7
3029simpld 446 . . . . . 6
31 weso 4565 . . . . . 6
3230, 31syl 16 . . . . 5
33 sonr 4516 . . . . 5
3432, 28, 33syl2anc 643 . . . 4
3519eleq2i 2499 . . . . 5
36 fvex 5734 . . . . . 6
3736eliniseg 5225 . . . . . 6
3836, 37ax-mp 8 . . . . 5
3935, 38bitri 241 . . . 4
4034, 39sylnibr 297 . . 3
4127, 28, 40ssnelpssd 3684 . 2
4229simprd 450 . . . 4
43 sneq 3817 . . . . . . . . 9
4443imaeq2d 5195 . . . . . . . 8
4544, 19syl6eqr 2485 . . . . . . 7
4645fveq2d 5724 . . . . . 6
47 id 20 . . . . . 6
4846, 47eqeq12d 2449 . . . . 5
4948rspcv 3040 . . . 4
5028, 42, 49sylc 58 . . 3
5150eqcomd 2440 . 2
5218, 41, 513jca 1134 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  cvv 2948   cin 3311   wss 3312   wpss 3313  cpw 3791  csn 3806  cuni 4007   class class class wbr 4204  copab 4257   wor 4494   wwe 4532   cxp 4868  ccnv 4869   cdm 4870  cima 4873  wf 5442  cfv 5446  ccrd 7814 This theorem is referenced by:  canthnumlem  8515  canthp1lem2  8520 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-1st 6341  df-riota 6541  df-recs 6625  df-en 7102  df-oi 7471  df-card 7818
 Copyright terms: Public domain W3C validator