Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  canth4 Unicode version

Theorem canth4 8223
 Description: An "effective" form of Cantor's theorem canth 6246. For any function from the powerset of to , there are two definable sets and which witness non-injectivity of . Corollary 1.3 of [KanamoriPincus] p. 416. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
canth4.1
canth4.2
canth4.3
Assertion
Ref Expression
canth4
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem canth4
StepHypRef Expression
1 eqid 2256 . . . . . . . 8
2 eqid 2256 . . . . . . . 8
31, 2pm3.2i 443 . . . . . . 7
4 canth4.1 . . . . . . . 8
5 elex 2765 . . . . . . . . 9
653ad2ant1 981 . . . . . . . 8
7 simpl2 964 . . . . . . . . 9
8 simp3 962 . . . . . . . . . 10
98sselda 3141 . . . . . . . . 9
10 ffvelrn 5583 . . . . . . . . 9
117, 9, 10syl2anc 645 . . . . . . . 8
12 canth4.2 . . . . . . . 8
134, 6, 11, 12fpwwe 8222 . . . . . . 7
143, 13mpbiri 226 . . . . . 6
1514simpld 447 . . . . 5
164, 6fpwwelem 8221 . . . . 5
1715, 16mpbid 203 . . . 4
1817simpld 447 . . 3
1918simpld 447 . 2
20 canth4.3 . . . . 5
21 cnvimass 5007 . . . . 5
2220, 21eqsstri 3169 . . . 4
2318simprd 451 . . . . . 6
24 dmss 4852 . . . . . 6
2523, 24syl 17 . . . . 5
26 dmxpid 4872 . . . . 5
2725, 26syl6sseq 3185 . . . 4
2822, 27syl5ss 3151 . . 3
2914simprd 451 . . . . 5
3017simprd 451 . . . . . . . . 9
3130simpld 447 . . . . . . . 8
32 weso 4342 . . . . . . . 8
3331, 32syl 17 . . . . . . 7
34 sonr 4293 . . . . . . 7
3533, 29, 34syl2anc 645 . . . . . 6
3620eleq2i 2320 . . . . . . 7
37 fvex 5458 . . . . . . . 8
3837eliniseg 5016 . . . . . . . 8
3937, 38ax-mp 10 . . . . . . 7
4036, 39bitri 242 . . . . . 6
4135, 40sylnibr 298 . . . . 5
42 nelne1 2508 . . . . 5
4329, 41, 42syl2anc 645 . . . 4
4443necomd 2502 . . 3
45 df-pss 3129 . . 3
4628, 44, 45sylanbrc 648 . 2
4730simprd 451 . . . 4
48 sneq 3611 . . . . . . . . 9
4948imaeq2d 4986 . . . . . . . 8
5049, 20syl6eqr 2306 . . . . . . 7
5150fveq2d 5448 . . . . . 6
52 id 21 . . . . . 6
5351, 52eqeq12d 2270 . . . . 5
5453rcla4v 2848 . . . 4
5529, 47, 54sylc 58 . . 3
5655eqcomd 2261 . 2
5719, 46, 563jca 1137 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 5   wi 6   wb 178   wa 360   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621   wne 2419  wral 2516  cvv 2757   cin 3112   wss 3113   wpss 3114  cpw 3585  csn 3600  cuni 3787   class class class wbr 3983  copab 4036   wor 4271   wwe 4309   cxp 4645  ccnv 4646   cdm 4647  cima 4650  wf 4655  cfv 4659  ccrd 7522 This theorem is referenced by:  canthnumlem  8224  canthp1lem2  8229 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-1st 6042  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-en 6818  df-oi 7179  df-card 7526
 Copyright terms: Public domain W3C validator