Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  canthwe Unicode version

Theorem canthwe 8289
 Description: The set of well-orders of a set strictly dominates . A stronger form of canth2 7030. Corollary 1.4(b) of [KanamoriPincus] p. 417. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
canthwe.1
Assertion
Ref Expression
canthwe
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem canthwe
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . . . . . 8
2 vex 2804 . . . . . . . . 9
32elpw 3644 . . . . . . . 8
41, 3sylibr 203 . . . . . . 7
5 simp2 956 . . . . . . . . 9
6 xpss12 4808 . . . . . . . . . 10
71, 1, 6syl2anc 642 . . . . . . . . 9
85, 7sstrd 3202 . . . . . . . 8
9 vex 2804 . . . . . . . . 9
109elpw 3644 . . . . . . . 8
118, 10sylibr 203 . . . . . . 7
124, 11jca 518 . . . . . 6
1312ssopab2i 4308 . . . . 5
14 canthwe.1 . . . . 5
15 df-xp 4711 . . . . 5
1613, 14, 153sstr4i 3230 . . . 4
17 pwexg 4210 . . . . 5
18 xpexg 4816 . . . . . . 7
1918anidms 626 . . . . . 6
20 pwexg 4210 . . . . . 6
2119, 20syl 15 . . . . 5
22 xpexg 4816 . . . . 5
2317, 21, 22syl2anc 642 . . . 4
24 ssexg 4176 . . . 4
2516, 23, 24sylancr 644 . . 3
26 simpr 447 . . . . . . . 8
2726snssd 3776 . . . . . . 7
28 0ss 3496 . . . . . . . 8
2928a1i 10 . . . . . . 7
30 rel0 4826 . . . . . . . 8
31 noel 3472 . . . . . . . . . 10
32 df-br 4040 . . . . . . . . . 10
3331, 32mtbir 290 . . . . . . . . 9
34 wesn 4777 . . . . . . . . 9
3533, 34mpbiri 224 . . . . . . . 8
3630, 35mp1i 11 . . . . . . 7
37 snex 4232 . . . . . . . 8
38 0ex 4166 . . . . . . . 8
39 simpl 443 . . . . . . . . . 10
4039sseq1d 3218 . . . . . . . . 9
41 simpr 447 . . . . . . . . . 10
4239, 39xpeq12d 4730 . . . . . . . . . 10
4341, 42sseq12d 3220 . . . . . . . . 9
44 weeq2 4398 . . . . . . . . . 10
45 weeq1 4397 . . . . . . . . . 10
4644, 45sylan9bb 680 . . . . . . . . 9
4740, 43, 463anbi123d 1252 . . . . . . . 8
4837, 38, 47opelopaba 4297 . . . . . . 7
4927, 29, 36, 48syl3anbrc 1136 . . . . . 6
5049, 14syl6eleqr 2387 . . . . 5
5150ex 423 . . . 4
52 eqid 2296 . . . . . . 7
53 snex 4232 . . . . . . . 8
5453, 38opth2 4264 . . . . . . 7
5552, 54mpbiran2 885 . . . . . 6
56 vex 2804 . . . . . . 7
57 sneqbg 3799 . . . . . . 7
5856, 57ax-mp 8 . . . . . 6
5955, 58bitri 240 . . . . 5
6059a1ii 24 . . . 4
6151, 60dom2d 6918 . . 3
6225, 61mpd 14 . 2
63 eqid 2296 . . . . . . 7
6463fpwwe2cbv 8268 . . . . . 6
65 eqid 2296 . . . . . 6
66 eqid 2296 . . . . . 6
6714, 64, 65, 66canthwelem 8288 . . . . 5
68 f1of1 5487 . . . . 5
6967, 68nsyl 113 . . . 4
7069nexdv 1869 . . 3
71 ensym 6926 . . . 4
72 bren 6887 . . . 4
7371, 72sylib 188 . . 3
7470, 73nsyl 113 . 2
75 brsdom 6900 . 2
7662, 74, 75sylanbrc 645 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wex 1531   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  cvv 2801  wsbc 3004   cin 3164   wss 3165  c0 3468  cpw 3638  csn 3653  cop 3656  cuni 3843   class class class wbr 4039  copab 4092   wwe 4367   cxp 4703  ccnv 4704   cdm 4705  cima 4708   wrel 4710  wf1 5268  wf1o 5270  cfv 5271  (class class class)co 5874   cen 6876   cdom 6877   csdm 6878 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-riota 6320  df-recs 6404  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-oi 7241
 Copyright terms: Public domain W3C validator